符号関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年8月}}
{{Expand English|Sign function|date=2024年5月}}
[[Image:Signum function.svg|thumb|実数に対する符号関数 <math>y = \sgn x</math>]]
'''符号関数'''（ふごうかんすう、{{lang-en-short|sign function, signum function}}）は、[[実数]]に対しその[[符号 (数学)|符号]]に応じて[[1]]、[[−1]]、[[0]]のいずれかを返す[[関数 (数学)|関数]]。

:<math> \sgn x = \begin{cases}
  1 & :\ x > 0 \\
  0 & :\ x = 0 \\
 -1 & :\ x < 0 \end{cases}</math>

およびそれを拡張した[[複素数|複素]]関数。

記号は {{math|sgn ''x''}} のほかに、{{math|sgn(''x''),}} {{math|Sgn ''x'',}} {{math|sign ''x''}} なども使われる。記号としての sgn は[[レオポルト・クロネッカー]]が導入した<ref>{{Cite |和書 | author = 黒木哲徳 | title = なっとくする数学記号 | date = 2021 | pages = 147 | publisher = 講談社 | isbn = 9784065225509 | series = ブルーバックス | ref = harv }}</ref>。

[[英語]]から「'''サイン関数'''」とも呼ぶが、この名は[[正弦関数]] {{math|sin}} と非常に紛らわしい。区別するために sign の[[ラテン語]]形の signum（シグヌム、英語読みはシグナム）から「'''シグナム関数'''」(signum function) と呼ぶことがある。英語以外でも[[ドイツ語]]などいくつかの言語で signum 系の名前で呼ばれる。

==複素数への拡張==
実数に対する符号関数は[[絶対値]]を用いて
:<math>\sgn x = \begin{cases}
  {x}/{|x|} & :\ x \ne 0 \\
  0         & :\ x = 0 \end{cases}</math>
と書くこともできる。符号関数の複素数への拡張は、この式を複素数へも適用することで得られる。複素数に対する符号関数は、[[複素数平面]]上で[[空間ベクトル|ベクトル]]に対し同方向の[[単位ベクトル]]を求める操作と同等である（ただし[[零ベクトル]]以外のとき）。

なおこのほかに、[[gnuplot]]では、複素数に対し符号関数を
:<math> \sgn x = \sgn \operatorname{Re} x </math>
と定義している。また[[Maple]] Vでは
:<math>\operatorname{csgn} x = \begin{cases}
       \sgn \operatorname{Re} x & :\ \operatorname{Re} x \ne 0 \\
       \sgn \operatorname{Im} x & :\ \operatorname{Re} x = 0 \end{cases}</math>
という関数を定義している（<math>\operatorname{Re}</math> と <math>\operatorname{Im}</math> はそれぞれ複素数の実部と虚部）。しかしこれ以降は、これらの定義は使わず、最初の定義の符号関数について述べる。

==性質==
符号関数は、以下のような性質を持つ（これらは複素数に対し成り立つ）。

極形式との関係:
*<math>|\sgn x| = \begin{cases}
  1 & :\ x \neq 0 \\
  0 & :\ x = 0 \end{cases}</math>
*<math>\arg \sgn x = \arg x</math> 、ただし <math>\arg</math> は偏角
*<math>x = |x| \sgn x</math>
*<math>\sgn x = \exp(i \arg x) \quad (x \ne 0)</math>

符号の演算:
*<math>\sgn \sgn x = \sgn x</math> （[[冪等性]]）
*<math>\sgn (-x) = -\sgn x</math>（[[奇関数]]）
*<math>\sgn \frac{1}{x} = \frac{1}{\sgn x} \quad (x \ne 0)</math>
*<math>\sgn xy = \sgn x \sgn y</math>
*<math>\sgn \frac{x}{y} = \frac{\sgn x}{\sgn y} \quad (y \ne 0)</math>
*<math>\sgn x^y = (\sgn x)^y</math>

実数に対しては、加えて次のような性質を持つ。
*<math> \frac d {d x} \sgn x = 2 \operatorname{\delta}(x)</math> 、ただし <math>\operatorname{\delta}</math> は[[ディラックのデルタ関数]]
*<math>\sgn x = \frac d {d x} |x| \quad (x \ne 0)</math>
*<math>\sgn x = 2 \operatorname{H}_{1/2}(x) - 1 \,</math> 、ただし <math>\operatorname{H_{1/2}}</math> は[[ヘヴィサイドの階段関数]]
*<math>\sgn x = [x > 0] - [x < 0] \,</math> 、ただし <math>[\,]</math> は[[アイバーソンの記法|アイヴァーソンのブラケット]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:ふこうかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]