第一可算的空間のソースを表示

[[数学]]の[[位相空間論]]において、'''第一可算空間'''（だいいちかさんくうかん、{{lang-en-short|''first-countable space''}}）とは、"'''第一可算公理'''"を満たす[[位相空間]]のこと。位相空間 ''X'' が第一可算公理を満たすとは「各点 ''x'' が高々[[可算]]な近傍からなる[[基本近傍系]]（局所基）をもつこと」を指す。すなわち''x'' の可算個の開近傍 ''U''<sub>1</sub>, ''U''<sub>2</sub>, …で以下の性質を満たすものが存在するということである：''x'' の任意の近傍 ''V'' に対しある<math>i\in\mathbb{N}</math> が存在し、''V''は ''U''<sub>''i''</sub>を部分集合として含む。

== 例と反例 ==

普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、[[距離空間]]はすべて第一可算的である。というのは、各点 ''x'' に対し、それを中心とする半径 1/''n'' (''n'' は正の整数) の開球の系列は ''x'' の可算な基本近傍系となっている。

第一可算的でない空間の例として、[[補有限|補有限位相]]を入れた ([[実数]]直線などの) 非可算集合がある。

別の反例としては[[順序数空間]] ω<sub>1</sub>+1 = &#x5b;0, ω<sub>1</sub>&#x5d; がある。ここで ω<sub>1</sub> は[[最小の非可算順序数]]である。

点 ω<sub>1</sub> は &#x5b;0, ω<sub>1</sub>) の[[極限点]]であるが、そのどんな可算[[点列]]を持ってきても ω<sub>1</sub> を極限としては持てない。特に、
ω<sub>1</sub>+1 = &#x5b;0, ω<sub>1</sub>&#x5d; の点である ω<sub>1</sub> は可算な基本近傍系を持てない。部分空間である ω<sub>1</sub> = &#x5b;0, ω<sub>1</sub>) は第一可算的である。

[[商位相空間]] '''R'''/'''N''' （実数直線上の自然数全体を一つの点と見なした空間）は第一可算的でない。しかしながら、この空間には「任意の部分集合 ''A'' とその閉包の任意の点 ''x'' に対し、''A'' の点列で ''x'' に収束するものがある」という性質がある。このような性質をもつ空間を[[列型空間|フレシェ・ウリゾーン空間]]という。

== 性質 ==

第一可算的空間の最も重要な性質の一つが、閉集合と開集合を点列の収束で特徴づけられる事 （すなわち[[列型空間]]であること） がある。
さらに第一可算的空間では部分集合 ''A'' の閉包に点 ''x'' が属することの必要十分条件は、''A'' の点列 {''x''<sub>''n''</sub>} で ''x'' に収束するものがあること（すなわち[[列型空間|フレシェ・ウリゾーン空間]]であること）である。

特に、''f'' を第一可算的空間の上の写像とすると、''f'' が ''x'' で極限値 ''L'' をもつことと、''x'' に収束する点列 {''x''<sub>''n''</sub>} ですべての ''n'' に対して ''x'' &ne; ''x''<sub>''n''</sub> であるようなものをどのようにとっても点列 {''f''(''x''<sub>''n''</sub>)} が ''L'' に収束することとは同値である。また、第一可算空間上の写像 ''f'' が連続となるのは、''x''<sub>''n''</sub> &rarr; ''x'' なるとき常に ''f''(''x''<sub>''n''</sub>) &rarr; ''f''(''x'') が成り立つ場合に限る。

T1を満たす第一可算的空間では[[点列コンパクト空間|点列コンパクト性]]と[[可算コンパクト空間|可算コンパクト性]]は同値である。しかしながら、点列コンパクトな第一可算的空間で[[コンパクト空間|コンパクト]]でない例はある (それは距離空間でない必要がある)。そのような空間の例として[[順序数空間]] ω<sub>1</sub> = &#x5b;0, ω<sub>1</sub>) がある。第一可算的空間は[[コンパクト生成空間]]である。

第一可算的空間の[[部分位相空間|部分空間]]は第一可算的である。第一可算的空間の可算個の[[直積位相空間|直積]]は第一可算的であるが、非可算個の積については必ずしもそうならない。

== 関連項目 ==
*[[第二可算的空間]]
*[[可分空間]]

== 参考文献 ==
*{{SpringerEOM|title=first axiom of countability|urlname=first_axiom_of_countability}}

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