第一基本形式のソースを表示


[[微分幾何学]]における'''第一基本形式'''（{{lang-en-short|first fundamental form}}）とは、 {{Math|'''R'''<sup>3</sup>}}の[[ドット積|標準内積]]から標準的に誘導される3次元[[ユークリッド空間]]中の曲面の[[接ベクトル空間|接空間]]上の[[内積]]を言う。これにより全体空間（ambient space）と一致する方法で曲面の曲率や例えば長さと面積などの曲面の計量的性質を計算することができるようになる。第一基本形式は、ローマ数字の {{Math|I}} で表示される。<math display="block">\mathrm{I}(x,y)= \langle x,y \rangle.</math>

== 定義 ==
{{Math|''X''(''u'', ''v'')}}を媒介変数表示された曲面（parametric surface）とする。このとき、2つの[[接ベクトル|接線ベクトル]]の内積は次のようになる。<math display="block">
\begin{align}
& {} \quad \mathrm{I}(aX_u+bX_v,cX_u+dX_v) \\
& = ac \langle X_u,X_u \rangle + (ad+bc) \langle X_u,X_v \rangle + bd \langle X_v,X_v \rangle \\
& = Eac + F(ad+bc) + Gbd,
\end{align}
</math>ここで、 {{Mvar|E}} 、 {{Mvar|F}} 、および{{Mvar|G}}は'''、第一基本形式の係数'''（coefficients of the first fundamental form）である。

第一基本形式は[[対称行列]]として表現することもできる。<math display="block">\mathrm{I}(x,y) = x^\mathsf{T}
\begin{bmatrix}
E & F \\
F & G
\end{bmatrix}y
</math>

== ほかの表記法 ==
第一基本形式がただ1つの引数のみで記述される場合、第一基本形式はそのベクトルとそれ自身の内積を表示することになる。<math display="block">\mathrm{I}(v)= \langle v,v \rangle = |v|^2</math>第一基本形式は、しばしば、[[計量テンソル]]の現代的な表記として記述される。このとき、係数は {{Mvar|g<sub>ij</sub>}} として以下のように記述される。<math display="block"> \left(g_{ij}\right) = \begin{pmatrix}
g_{11} & g_{12} \\
g_{21} & g_{22}
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
E & F \\
F & G
\end{pmatrix}</math>計量テンソルの成分は接ベクトル {{Math|''X''<sub>1</sub>}} と {{Math|''X''<sub>2</sub>}} の内積として計算される。<math display="block">g_{ij} = X_i \cdot X_j</math>ただし、{{Math|1=''i'', ''j'' = 1, 2}} 。以下の例を参照せよ。

== 長さと面積の計算 ==
第一基本形式は、曲面の計量的な性質を完全に記述する。したがって、第一基本形式によって曲面上の曲線の長さや曲面上の領域の面積の計算ができるようになる。線素（line element）{{Math|''ds''}} は、第一基本形式の係数を用いて次のように表すことができる。<math display="block">ds^2 = E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2 \,.</math>古典的な面積要素 {{Math|1=''dA'' = {{abs|''X<sub>u</sub>'' × ''X<sub>v</sub>''}} ''du'' ''dv''}} は、ラグランジュの恒等式（Lagrange's identity）を補助的に使って、第一基本形式を用いて表すことができる。<math display="block">dA = |X_u \times X_v| \ du\, dv= \sqrt{ \langle X_u,X_u \rangle \langle X_v,X_v \rangle - \left\langle X_u,X_v \right\rangle^2 } \, du\, dv = \sqrt{EG-F^2} \, du\, dv.</math>

=== 例：球面上の曲線 ===
{{Math|'''R'''<sup>3</sup>}}の[[単位球面|単位球]]上の[[球面|球面曲線]]は、次のように媒介変数表示することができる。<math display="block">X(u,v) = \begin{bmatrix} \cos u \sin v \\ \sin u \sin v \\ \cos v \end{bmatrix},\ (u,v) \in [0,2\pi) \times [0,\pi].</math>{{Math|''X''(''u'',''v'')}} を {{Mvar|u}} と {{Mvar|v}} に関して微分すると、次のようになる。<math display="block">\begin{align}
X_u &= \begin{bmatrix} -\sin u \sin v \\ \cos u \sin v \\ 0 \end{bmatrix},\\
X_v &= \begin{bmatrix} \cos u \cos v \\ \sin u \cos v \\ -\sin v \end{bmatrix}.
\end{align}</math>第一基本形式の係数は、この[[偏微分|偏導関数]]の内積を取ることで得ることもできる。<math display="block">\begin{align}
E &= X_u \cdot X_u = \sin^2 v \\
F &= X_u \cdot X_v = 0 \\
G &= X_v \cdot X_v = 1
\end{align}</math>すなわち、次のようになる。<math display="block"> \begin{bmatrix}E & F \\F & G\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \sin^2 v & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}.</math>

==== 球面上の曲線の長さ ====
単位球面の[[赤道]]は、次の式で与えられる媒介変数表示された曲線である。<math display="block">(u(t),v(t))=(t,\tfrac{\pi}{2})</math>{{Mvar|t}} の範囲は 0 から 2{{Pi}} である。線素は曲線の長さを計算するために用いられることもある。<math display="block">\int_0^{2\pi} \sqrt{ E\left(\frac{du}{dt}\right)^2 + 2F \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2 } \,dt = \int_0^{2\pi} \left|\sin v\right| dt = 2\pi \sin \tfrac{\pi}{2} = 2\pi</math>

==== 球面上の領域の面積 ====
面積要素は、単位球面の面積を計算するために用いられることもある。<math display="block">\int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \sqrt{ EG-F^2 } \ du\, dv = \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \sin v \, du\, dv = 2\pi \left[-\cos v\right]_0^{\pi} = 4\pi</math>

== ガウス曲率 ==
曲面の[[ガウス曲率]]は次の式で与えられる。<math display="block"> K = \frac{\det \mathrm{I\!I}}{\det \mathrm{I}} = \frac{ LN-M^2}{EG-F^2 }, </math>ここで、 {{Mvar|L}} 、 {{Mvar|M}} 、および{{Mvar|N}}は、第二基本形式の係数である。

[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]の[[Theorema Egregium]]は、曲面のガウス曲率は第一基本形式とその微分を用いるだけで表すことができるということを主張しており、したがって、ガウス曲率 {{Mvar|K}} は、事実として、曲面の内在的な不変量であるということを主張している。第一基本形式に関するガウス曲率の明示的な表現は、 [[ガウス曲率|Brioschiの式]]によって与えられる。

== 関連項目 ==
* [[計量テンソル]]
* [[第二基本形式]]
* [[第三基本形式]]
* トートロジー形式

== 外部リンク ==

* [http://mathworld.wolfram.com/FirstFundamentalForm.html 第一基本形式—WolframMathWorldから]
{{デフォルトソート:たいいちきほんけいしき}}
[[Category:曲面]]
[[Category:曲面の微分幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:微分幾何学]]