第二可算的空間のソースを表示

[[数学]]の[[位相空間論]]おける'''第二可算空間'''（だいにかさんくうかん、{{lang-en-short|''second-countable space''}}）とは、'''第二可算公理'''を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が[[可算集合|可算]]な[[開基 (位相空間論)|開基]]を持つ」ということを言う。つまり、位相空間 ''T'' が第二可算的であるとは、''T'' の可算個の[[開集合]]からなる[[族 (数学)|族]] <math>\mathcal{U} = \{U_i\}_{i=1}^\infty</math> が存在して、''T'' の任意の開集合が <math>\mathcal{U}</math> の適当な部分族に属する開集合の[[和集合|和]]に表されることをいう。他の[[可算公理]]と同様に、第二可算であるという性質は、その空間が持つことのできる開集合の数を制限するものになっている。

「素性のよい」空間のほとんどは第二可算的である。例えば、普通の位相を入れた[[ユークリッド空間]] ('''R'''<sup>''n''</sup>) がそうである。全ての[[開球体]]を考える通常の開基をとるとこれは可算ではないけれども、半径が有理数で中心が[[格子点|有理点]]であるような開球体全体のなす集合を考えると、これは可算であり、開基も成す。

== 性質 ==

第二可算性は[[第一可算公理|第一可算性]]よりも強い概念である（つまり、第二可算空間は必ず第一可算にもなる）。空間が第一可算であるというのは、各点が可算な基本近傍系を持つことであった。位相の開基と一点 ''x'' が与えられたとき、開基に属する集合で ''x'' を含むようなものの全体は ''x'' の基本近傍系を成すから、考えている位相が可算開基を持つならば、各点が可算基本近傍系をもつことは明らかである。

第二可算性は他の特定の位相的性質を含意している。具体的には、第二可算空間は[[可分空間|可分]] (可算な[[稠密部分集合]]を持つ) かつ [[リンデレーフ空間|リンデレーフ]] (任意の[[開被覆]]が可算部分開被覆を持つ) である。逆は成り立たない。例えば、実数直線に下限位相を与えたものは、第一可算的、可分、リンデレーフであるが第二可算的ではない。しかし、[[距離空間]]に対しては可分性とリンデレーフ性と第二可算性は全て同値である。つまり、実数直線に[[下限位相]]を入れたものは距離付け不可能である。

（距離空間としての）第二可算空間においては、[[コンパクト空間|コンパクト性]]、点列コンパクト性、可算コンパクト性は全て同値である。

[[ウリゾーンの距離化可能定理]]は第二可算な[[正則空間]]は距離付け可能であるということを言っている。従って、このような空間は[[パラコンパクト空間|パラコンパクト]]であるとともに[[完全正規]]である。ゆえに第二可算性は、分離公理を課すだけで距離化可能性が導かれる、位相空間に対するかなり強い制約的性質である。

; その他の性質
:* 第二可算空間の[[連続写像|連続]][[開写像]]による[[像 (数学)|像]]はやはり第二可算である。
:* 第二可算空間の[[部分位相空間|部分空間]]はやはり第二可算である。
:* 第二可算空間の[[商位相空間|商空間]]は必ずしも第二可算ではないが、'''開'''商空間は常に第二可算になる。
:* 第二可算空間の可算個の[[直積位相空間|直積]]は第二可算である。非可算個の直積についてはこの限りでない。
:* 第二可算空間の位相の[[濃度 (数学)|濃度]]は高々[[連続体濃度]] ''c'' である。
:* 第二可算空間の任意の開基は、それ自身開基を成すような可算部分族を持つ。
:* 第二可算空間における互いに素な開集合から成る族は、全て可算である。

== 例 ==
* 可算直和 <math>X = [0,1]\sqcup [2,3]\sqcup [4,5]\sqcup\cdots\sqcup [2k, 2k+1]\sqcup\cdots </math>　を考え、同値関係と[[商位相]]を各区間の左端をすべて同一視することによって定める。すなわち、0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k ~ … は全て同一の点と見なす。''X'' は第二可算空間の可算和として第二可算になるが、商空間 ''X''/~ は先ほど同一視した点の属する同値類において第一可算でなく、したがって第二可算にもならない。

== 関連項目 ==
* [[可算公理]]

== 参考文献 ==
* Stephen Willard, ''General Topology'', (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. 

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=SecondCountableSpace|title=Second Countable Space}}
* {{PlanetMath|urlname=SecondCountable|title=second countable}}

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[[Category:位相的構造]]
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