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'''等エントロピー過程'''（isentropic process）とは、系の[[エントロピー]]が一定な[[熱力学]]過程<ref>Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E., ''Fundamentals of Classical Thermodynamics'', Section 7.4</ref><ref>Massey, B.S. (1970), ''Mechanics of Fluids'', Section 12.2 (2nd edition) Van Nostrand Reinhold Company, London.  Library of Congress Catalog Card Number: 67-25005</ref>。任意の[[可逆]][[断熱過程]]は等エントロピー過程であることを証明できる。

== 背景 ==

[[熱力学第二法則]]によれば次が成り立つ。
:<math>\delta Q \le TdS</math>
ここで、<math>\delta Q</math>は加熱によって系が獲得するエネルギー量、<math>T</math>は系の[[温度]]、<math>dS</math>はエントロピーの変化量である。等号があるのは、[[可逆]]過程の場合を意味している。可逆等エントロピー過程では、外部との熱エネルギーのやりとりがないので、[[断熱過程]]でもある。非可逆過程の場合、エントロピーは増大する。したがって系から熱を奪う（冷却する）ことで内部エントロピーを一定に保ち、等エントロピーな非可逆過程とする。したがって、非可逆等エントロピー過程は断熱過程ではない。

可逆過程の場合、等エントロピー変化は周囲の環境からその系を熱的に「絶縁」することでなされる。温度はエントロピーの熱力学的[[共役変数 (熱力学)|共役変数]]であり、したがって共役過程は[[等温過程]]である。等温過程では系は外界（[[恒温槽]]）と熱的に「接続」されている。

== 等エントロピー流 ==
'''等エントロピー流''' (isentropic flow) は、断熱的で可逆な[[流れ]]である。すなわち、流れに対してエネルギーは加えられず、[[摩擦]]や[[散逸]]によるエネルギー損失も起きない。理想気体の等エントロピー流において、流線に沿った圧力、密度、温度の関係式が定義できる。

=== 等エントロピー関係式の導出 ===
閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。
: <math>dU = dW + dQ\,\!</math>
体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。
:<math>dW = -pdV\,\!</math>
ここで<math>p</math>は[[圧力]]、<math>V</math>は[[体積]]である。[[エンタルピー]] (<math>H = U + pV\,\!</math>) の変化は次のようになる。
:<math>dH = dU + pdV + Vdp = n C_p dT\,\!</math>

可逆過程は断熱過程なので（すなわち、熱を外界とやり取りしない）、<math>dQ = 0, dS=0\,\!</math> である。ここから次の重要な2つの式が導出される。
: <math>dU = -pdV\,\!</math>, および
: <math>dH = Vdp\,\!</math> または <math>dQ = dH - Vdp = 0\,\!</math>
: <math>dQ = TdS\,\!</math> ⇒ <math>dS = (1/T) dH - (V/T) dp\,\!</math>

すると、[[比熱比]]は次のようになる。
:<math>\gamma = \frac{C_p}{C_V} = -\frac{dp/p}{dV/V}\,\!</math>

理想気体では<math>\gamma\,\!</math>は定数なので、理想気体であることを前提として上の式を積分すると、次が得られる。
: <math> pV^{\gamma} = \mbox{constant} \,</math>  であるから
: <math>\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}</math>

理想気体の[[状態方程式 (化学)#理想気体|状態方程式]] <math>p V = n R T\,\!</math> を使うと、次のようになる。
: <math> TV^{\gamma-1} = \mbox{constant} \,</math>
: <math> \frac{p^{\gamma -1}}{T^{\gamma}} = \mbox{constant} </math>

また、<math>C_p = C_v + R</math>（モル単位）が成り立つので、
: <math> \frac{V}{T} = \frac{nR}{p}</math> かつ <math>p = \frac{nRT}{V}</math>
: <math> S_2-S_1 = nC_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - nR\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)</math>
: <math> \frac{S_2-S_1}{n} = C_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\left (\frac{T_2V_1}{T_1V_2} \right ) = C_v\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)</math>

以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。
: <math> T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{(R/C_v)}</math> または <math> V_2 = V_1\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{(C_v/R)}</math>

=== 理想気体の等エントロピー関係式一覧 ===

:{| style="bgcolor:white" cellpadding=5
|-
| align="center" | <math>\frac {p_2} {p_1}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math> \left (\frac{T_2}{T_1} \right )^\frac {\gamma}{\gamma-1}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math> \left (\frac{\rho_2}{\rho_1} \right )^{\gamma}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math>\left (\frac{V_1}{V_2} \right )^{\gamma}</math>
|-
| align="center" | <math>\frac {T_2} {T_1}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math> \left (\frac{p_2}{p_1} \right )^\frac {\gamma-1}{\gamma}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math> \left (\frac{\rho_2}{\rho_1} \right )^{(\gamma - 1)}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math>\left (\frac{V_1}{V_2} \right )^{(\gamma-1)}</math>
|-
| align="center" | <math>\frac {\rho_2} {\rho_1}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math> \left (\frac{T_2}{T_1} \right )^\frac {1}{\gamma-1}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math> \left (\frac{p_2}{p_1} \right )^\frac {1}{\gamma}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math>\frac{V_1}{V_2}</math>
|-
| align="center" | <math>\frac {V_2} {V_1}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math> \left (\frac{T_1}{T_2} \right )^\frac {1}{\gamma-1}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math>\frac{\rho_1}{\rho_2}</math>
| align="center" | <math>=\,\!</math>
| align="center" | <math> \left (\frac{p_1}{p_2} \right )^\frac {1}{\gamma}</math>
|-
|}

前提は次の通り。

: <math>
pV^{\gamma} = \text{constant}
\,\!</math>
: <math>
pV = m R_s T
\,\!</math>
: <math>
p = \rho R_s T\,\!
\,\!</math>

::ここで:
:::<math>p\,\!</math> = 圧力
:::<math>V\,\!</math> = 体積
:::<math>\gamma\,\!</math> = 比熱比 = <math>C_p/C_v\,\!</math>
:::<math>T\,\!</math> = 温度
:::<math>m\,\!</math> = 質量
:::<math>R_s\,\!</math> = 特定の気体の[[気体定数]] = <math>R/M\,\!</math>
:::<math>R\,\!</math> = 標準気体定数
:::<math>M\,\!</math> = 特定の気体の分子量
:::<math>\rho\,\!</math> = 密度
:::<math>C_p\,\!</math> = 定圧比熱
:::<math>C_v\,\!</math> = 定積比熱

== 参考文献 ==
* Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E. (1965), ''Fundamentals of Classical Thermodynamics'', John Wiley & Sons, Inc., New York.  Library of Congress Calatog Card Number: 65-19470

== 脚注・出典 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[断熱過程]]

{{DEFAULTSORT:とうえんとろひかてい}}
[[Category:熱力学行程]]
[[Category:エントロピー]]
{{Physics-stub}}