等分散性のソースを表示

{{refimprove|date=October 2011}}
[[ファイル:Homoscedasticity.png|thumb|right|等分散性を示すランダムデータのプロット]]
[[統計学]]において、確率変数の[[列 (数学)|列]]あるいはベクトルを構成する全ての確率変数が, 等しい[[有限集合|有限]][[分散 (確率論)|分散]]を持つとき, それらは'''等分散'''（とうぶんさん）である。英語では homoscedasticity あるいは homogeneity of variance と呼ばれる。逆は'''[[不等分散性]]''' ({{interlang|en|Heteroscedasticity}}) あるいは'''分散不均一性'''である。

等分散性の仮定は、数学的あるいは計算機的処理を単純化する。等分散性の重大な違反（実際は不等分散であるデータの分布を等分散と仮定する）は、[[相関係数|ピアソン係数]]によって計測される[[適合度]]の過大評価をもたらす。

== 回帰モデルの仮定 ==
[[単純線形回帰]]分析の記述に用いられる時、（[[ガウス＝マルコフの定理]]によって最良線形不偏推定量最小二乗推定量がそれぞれの母集団パラメータの最良線形不偏推定量であることを保証する）適合モデルの一つの仮定は、誤差項の標準偏差が一定であり、''x''値に依存しないというものである。それ故に、''y''（応答変数）のそれぞれの確率分布は、''x''値（予測変数）にかかわらず同じ標準偏差を持つ。要するに、この仮定が等分散性である。等分散性は推定量が不偏性、一致性、漸近正規性を持つことを必要としない。

== 検定 ==
平方残差を独立変数に回帰する[[ブルーシュ＝ペーガンの検定]]を用いて、残差の等分散性を検定することができる。ブルーシュ＝ペーガン検定は正規性に対して敏感であるため、コーエンカー＝バセットの検定あるいは「一般化されたブルーシュ＝ペーガンの検定」が一般的な目的のために使用される。グループワイズな等分散性は[[ゴールドフェルト＝クォントの検定]]を必要とする

== 等分散的分布 ==
2つ以上の[[正規分布]]<math>N(\mu_i,\Sigma_i)</math>が共通の[[分散共分散行列|共分散]]（あるいは[[相関と従属|相関]]）行列<math>\Sigma_i = \Sigma_j,\ \forall i,j</math>を共有しているとすると、それらは共分散的である。共分散的分布は、統計的パターン認識および[[機械学習]]アルゴリズムを導き出すために特に有用である。有名な例の一つは、フィッシャーの線形[[判別分析]]である。

等分散性の概念は、球上の分布に適用することができる<ref>Hamsici, Onur C.; Martinez, Aleix M. (2007) [http://jmlr.csail.mit.edu/papers/volume8/hamsici07a/hamsici07a.pdf "Spherical-Homoscedastic Distributions: The Equivalency of Spherical and Normal Distributions in Classification"], ''Journal of Machine Learning Research'', 8, 1583-1623</ref>。

== 出典 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[バートレット検定]]
* [[均質性]]
* [[均一性と不均一性]]

{{統計学}}

{{DEFAULTSORT:とうふんさんせい}}
[[Category:統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]