等力点のソースを表示


[[ファイル:Isodynamic_Point.svg|サムネイル|
緑の円はアポロニウスの円

青い直線は内角の二等分線

赤い直線は外角の二等分線である。
]]
[[ユークリッド幾何学]]において、'''等力点''' ({{要出典範囲|とうりきてん|date=2024年10月}}、{{Lang-en-short|Isodynamic point}}) あるいは、'''等力中心'''<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂書店]] |page=574 |author=るーしえ |author-link=ウジェーヌ・ルーシェ |author2=こんふるーす |author2-link=シャルル・ド・コンブルース |id={{NDLJP|930885}} |translator=[[小倉金之助]]}}</ref>とは[[三角形の中心]]の一つである<ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学続編 |year=1909 |publisher=[[有朋堂]] |page=247 |author-link=ジョン・ケイシー (数学者) |author=ジョン・ケージ |translator=[[山下安太郎]], [[高橋三蔵]] |id={{NDLJP|828521}}}}</ref>。この点を中心とする[[反転幾何学|反転]]は元の[[三角形]]を[[正三角形]]に変換する性質を持つ。また等力点と頂点の距離の比は対辺の逆数の比と等しい。ほかの中心とは異なり[[メビウス変換]]で不変である。正三角形の場合、等力点は[[重心]]や[[外心]]と一致するが、正三角形でない場合は2つ存在する。等力点は[[ヨーゼフ・ジャン・バティスト・ノイベルグ|ノイベルグ]]によって研究・命名された<ref>For the credit to Neuberg, see e.g. {{Harvtxt|Casey|1893}} and {{Harvtxt|Eves|1995}}.</ref>。

== 距離の比 ==
等力点は、もともと2点間の距離の比（あるいは積）のある等式から定義されていた。 <math>S</math> または <math>S'</math> を三角形 <math>ABC</math>の等力点とし <math>AS:BS:CS=\frac{1}{BC}:\frac{1}{CA}:\frac{1}{AB}</math> が成り立つ。 <math>S'</math>についても同様の等式が成り立つ<ref>{{Harvtxt|Neuberg|1885}} states that this property is the reason for calling these points "isodynamic".</ref>。

<math>S</math> と <math>S'</math> は 三角形 <math>ABC</math>の一つの頂点を通り、ほか2つの頂点との距離の比が等しい[[アポロニウスの円]]の交点である<ref name="botjo">{{Harvtxt|Bottema|2008}}; {{Harvtxt|Johnson|1917}}.</ref>。したがって直線 <math>SS'</math> は3つのアポロニウスの円の[[根軸]]である。線分<math>SS'</math>の垂直二等分線は[[中心線 (幾何学)#重心の中心線:ルモワーヌ軸|ルモワーヌ線]]で3つのアポロニウスの円の中心を通る。

== 変換 ==
等力点 <math>S</math> 、 <math>S'</math> は三角形 <math>ABC</math> に対する[[点対称]]や[[メビウス変換]]によって定義することもできる。三角形 <math>ABC</math> を等力点で反転すると[[正三角形]]となる<ref name="casjo">{{Harvtxt|Casey|1893}}; {{Harvtxt|Johnson|1917}}.</ref>。[[外接円]]による反転は、等力点をもう一方の等力点に変換する<ref name="botjo">{{Harvtxt|Bottema|2008}}; {{Harvtxt|Johnson|1917}}.</ref>。より一般にそれぞれの等力点は、<math>ABC</math>の内側を三角形の外接円の内側に写す[[メビウス変換]]で不変であり、外接円の内側と外側を交換する変換によって入れ替わる<ref name="rigby">{{Harvtxt|Rigby|1988}}.</ref>。

== 角度 ==
[[ファイル:Isodynamic-lenses.svg|サムネイル|三角形の頂点で外接円と60°で交わる円の交点は第一等力点である。]]
等力点はアポロニウスの円とは他の円の交点でもある。第一等力点は三角形 <math>ABC</math>の外接円と 頂点で120°のレンズを作る3つの円の交点である。同様に,第二等力点は三角形 <math>ABC</math>の外接円と 頂点で60°のレンズを作る3つの円の交点である。

第一等力点と三角形の頂点が成す角は次の等式を満たす。

<math>\angle ASB =\angle 
ACB + \pi/3,</math> <math>\angle ASC =\angle ABC + \pi/3,</math>  <math>\angle BSC =\angle  BAC + \pi/3.</math>

同様に、第二等力点も次の等式を満たす。

<math>\angle AS'B =\angle  ACB - \pi/3,</math> <math>\angle AS'C =\angle  ABC - \pi/3,</math>  <math>\angle BS'C =\angle  BAC - \pi/3.</math><ref name="rigby">{{Harvtxt|Rigby|1988}}.</ref>

等力点の[[垂足三角形]]は正三角形で<ref>{{Cite book|和書 |title=Sekai dai hyakka jiten |url=https://www.google.co.jp/books/edition/Sekai_dai_hyakka_jiten/DofQAAAAMAAJ |date=1964 |language=ja |publisher=Heibonsha |page=303}}</ref>、等力点を各辺で鏡映した点も当然正三角形である<ref name="casjo">{{Harvtxt|Casey|1893}}; {{Harvtxt|Johnson|1917}}.</ref><ref>{{Harvtxt|Carver|1956}}.</ref>。

また三角形 <math>ABC</math>に内接する正三角形の中で最も小さいのは第一等力点の垂足三角形である<ref>{{Harvtxt|Moon|2010}}.</ref>。

== その他の性質 ==
等力点の等角共役点は[[フェルマー点]]である<ref>{{Harvtxt|Eves|1995}}; {{Harvtxt|Wildberger|2008}}.</ref>。二つの等力点は[[ブロカール点|ブロカール軸]]、[[ノイベルグ三次曲線]]上にある<ref name="wildberger">{{Harvtxt|Wildberger|2008}}.</ref><ref>{{Cite web |title=Brocard Axis |url=https://mathworld.wolfram.com/BrocardAxis.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-05-04 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

== 作図方法 ==
[[ファイル:Isodynamic_from_reflections.svg|サムネイル|頂点をその対辺で鏡映した点と、三角形の辺を一辺とする内側の正三角形の頂点を結んだ直線の交点は第一等力点。]]
等力点を作図する方法の一つに、二等分線を用いるものがある。<math>AB</math>,<math>AC</math>の内角及び外角の[[二等分線]] と <math>BC</math>の交点は<math>A</math>を通る<math>BC</math>のアポロニウスの円の直径となる。したがって、アポロニウスの円を作図することができ他二つのアポロニウスの円も同様にして描くことで等力点を見つけることができる<ref name="botjo">{{Harvtxt|Bottema|2008}}; {{Harvtxt|Johnson|1917}}.</ref>。

もう一つの作図方法に鏡映を用いるものがある。 <math>A'</math> を <math>A</math> を <math>BC</math> で鏡映したもの、 <math>A''</math>を<math>BC</math>を一辺とする内側の正三角形の<math>B</math>,<math>C</math>でない点とする。<math>A'A''</math>と同様に<math>B'B''</math>,<math>C'C''</math>を作図し、この3直線は第一等力点で交わる。内側から外側に手順を変えると、第二等力点が作図できる<ref>{{Harvtxt|Evans|2002}}.</ref>。

第一等力点の[[三線座標]]は以下の式の様になる<ref>{{Harvtxt|Kimberling|1993}}.</ref>。

<math>\sin(A+\pi/3):\sin(B+\pi/3):
\sin(C+\pi/3)</math>

第二等力点の三線座標も<math>\pi/3</math>を <math>-\pi/3</math> とすることで得られる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
*{{citation|和書|title=Topics in elementary geometry|last=Bottema|first=Oene|author-link=Oene Bottema|year=2008|url=https://books.google.com/books?id=oznMpzdFsWYC&pg=PA108|edition=2nd|publisher=Springer|page=108|isbn=9780387781303}}.
*{{citation|和書|title=Some geometry of the triangle|last=Carver|first=Walter B.|author-link=Walter Buckingham Carver|year=1956|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=63|issue=9|pages=32–50|doi=10.2307/2309843|jstor=2309843}}.
*{{citation|和書|title=A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections: containing an account of its most recent extensions, with numerous examples|last=Casey|first=John|author-link=ジョン・ケイシー (数学者)|year=1893|url=https://books.google.com/books?id=Ah5IAAAAIAAJ&pg=PA303|publisher=Hodges, Figgis, & Co.|series=Dublin University Press series|page=303}}.
*{{citation|和書|title=A rapid construction of some triangle centers|last=Evans|first=Lawrence S.|year=2002|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200109.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=2|pages=67–70|mr=1907780}}.
*{{citation|和書|title=College geometry|last=Eves|first=Howard Whitley|author-link=Howard Eves|year=1995|url=https://books.google.com/books?id=B81gnTjNazMC&pg=PA69|publisher=Jones & Bartlett Learning|pages=69–70|isbn=9780867204759}}.
*{{citation|和書|title=Introducing isodynamic points for binary forms and their ratios|last1=Hägg|first1=Christian|last2=Shapiro|first2=Boris|last3=Shapiro|first3=Michael|year=2023|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s40627-022-00112-4|journal=Complex Anal Synerg|volume=9|issue=2|arxiv=2207.01658|doi=10.1007/s40627-022-00112-4}}.
*{{citation|和書|title=The Conformal Center of a Triangle or a Quadrilateral|last1=Iannaccone|first1=Andrew|last2=Walden|first2=Byron|year=2003|url=https://scholarship.claremont.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1152&context=hmc_theses|publisher=Harvey Mudd College Department of Mathematics}}.
*{{citation|和書|title=Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem|last=Johnson|first=Roger A.|author-link=Roger A. Johnson|year=1917|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=24|issue=7|pages=313–317|doi=10.2307/2973552|jstor=2973552}}.
*{{citation|和書|title=Functional equations associated with triangle geometry|last=Kimberling|first=Clark|authorlink=Clark Kimberling|year=1993|url=http://www.digizeitschriften.de/download/PPN356261603_0045/PPN356261603_0045___log25.pdf|journal=[[Aequationes Mathematicae]]|volume=45|issue=2–3|pages=127–152|doi=10.1007/BF01855873|mr=1212380|s2cid=189834484}}.
*{{citation|和書|title=The Apollonian circles and isodynamic points|last=Moon|first=Tarik Adnan|year=2010|url=http://awesomemath.org/wp-content/uploads/reflections/2010_6/Isodynamic_moon_c.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20130420164948/http://awesomemath.org/wp-content/uploads/reflections/2010_6/Isodynamic_moon_c.pdf|archive-date=2013-04-20|journal=Mathematical Reflections|issue=6|access-date=2012-03-22|url-status=dead}}.
*{{citation|和書|title=Sur le quadrilatère harmonique|last=Neuberg|first=J.|author-link=ジョゼフ・ノイベルグ|year=1885|url=https://books.google.com/books?id=LhFOAAAAMAAJ|journal=[[Mathesis (雑誌)|Mathesis]]|volume=5|pages=202–204, 217–221, 265–269|language=French}}. The definition of isodynamic points is in a footnote on page 204.
*{{citation|和書|title=Napoleon revisited|last=Rigby|first=J. F.|year=1988|journal=Journal of Geometry|volume=33|issue=1–2|pages=129–146|doi=10.1007/BF01230612|mr=963992|s2cid=189876799}}. The discussion of isodynamic points is on pp. 138–139. Rigby calls them "[[ナポレオン点|Napoleon points]]", but that name more commonly refers to a different triangle center, the point of concurrence between the lines connecting the vertices of [[ナポレオンの定理|Napoleon's equilateral triangle]] with the opposite vertices of the given triangle.
*{{citation|和書|title=Algebraic geometry and its applications|last=Wildberger|first=N. J.|year=2008|publisher=World Sci. Publ., Hackensack, NJ|series=Ser. Number Theory Appl.|volume=5|pages=488–504|contribution=Neuberg cubics over finite fields|arxiv=0806.2495|doi=10.1142/9789812793430_0027|mr=2484072|s2cid=115159205}}. See especially [https://books.google.com/books?id=bKUQ-JpsbKEC&pg=PA498 p. 498].
{{refend}}

== 外部リンク ==
{{Commonscat|Isodynamic points}}

* [https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X15#X15 Isodynamic points X(15) and X(16)] in the Encyclopedia of Triangle Centers, by Clark Kimberling
* {{MathWorld|title=Isodynamic Points|urlname=IsodynamicPoints}}
* {{Cite web |url=https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/Isodynamic_points.html |title=等力点 |access-date=2024-10-28 |publisher=新ユークリッド幾何学}}
{{デフォルトソート:とうりきてん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形の中心]]