等差数列のソースを表示

{{出典の明記|date=2017-07}}
[[数学]]における{{読み仮名|'''等差数列'''|とうさすうれつ}}または{{読み仮名|'''算術数列'''|さんじゅつすうれつ|{{lang-en-short|arithmetic progression, arithmetic sequence}}}}とは、隣接する各項の差が等しい[[数列]]である。隣接する項の差を{{読み仮名|'''公差'''|こうさ|{{lang-en-short|common difference}}}}という。

例えば、{{math2|5, 7, 9, …}} は初項 {{math|5}}, 公差 {{math|2}} の等差数列である。同様に、{{math2|1, 7, 13, …}} は公差 {{math|6}} の等差数列である。

等差数列の初項を {{math|''a''{{sub|0}}}} とし、その公差を {{mvar|d}} とすれば、第{{mvar|n}} 項 {{mvar|a{{sub|n}}}} は
: <math>a_n = a_0 + nd</math>
であり、一般に
: <math>a_n = a_m + (n - m)d</math>
と書ける。

等差数列の和は'''算術級数''' ({{en|arithmetic series}}) という。等差数列の無限和（[[無限算術級数]]）は[[発散級数]]である。

== 総和 ==
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:220px">
{|style="background-color:white;width:220px"
|2|| +||5|| +||8|| +||11|| +||14|| =||40
|-
|14||+||11||+||8||+||5|| +||2|| =||40
|-
|colspan="11"|<hr />
|-
|16|| +||16|| +||16|| +||16|| +||16|| =||80
|}
<div class="thumbcaption">
和 {{math2|2 + 5 + 8 + 11 + 14}} の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ1つの値を繰り返す（その値はもとの数列の初項と末項の和）。ゆえに、{{math2|1=2 + 14 = 16, 16 × 5 = 80}} が求める和の2倍に等しい。
</div>
</div>
</div>
{{See also|無限算術級数}}
有限の{{efn|通常の意味では[[無限算術級数]]は[[発散級数|発散]]するから、その和はそもそも無意味である。}}等差数列の和を'''算術級数'''と言う。公差 {{mvar|d}} の等差数列の第 {{mvar|n}} 項まで {{math2|''a''{{sub|0}}, ''a''{{sub|1}}, …, ''a{{sub|n}}''}} の総和は、
:<math>\begin{align}
S_n &= \textstyle\sum\limits_{k=0}^n a_k \\
  &= a_0 + a_1 + \dotsb + a_n \\
  &= (n+1) \frac{a_0 + a_n}{2} \\
  &= (n+1) \frac{2a_0 + nd}{2}
\end{align}</math>
と表される。この種の式は、[[レオナルド・フィボナッチ|フィボナッチ]]の『[[算盤の書]]』（"''Liber Abaci''"; [[1202年]], ch. II.12）に登場する{{efn|よく聞かれる伝承として、[[カール・フリードリヒ・ガウス]]がこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師[[J. G. Bütner]]が生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答 (5050) を出したため、Bütner と助手の{{ill2|Martin Bartels|en|Johann Christian Martin Bartels}}）がいたく驚いた、というものである。}}。
[[画像:Animated proof for the formula giving the sum of the first integers 1+2+...+n.gif|thumb|GIF動画: 自然数の和 {{math2|1 + 2 + … + ''n''}} を求める公式の導出]]
算術級数の公式は、算術級数 {{mvar|S{{sub|n}}}} の各項を初項 {{math|''a''{{sub|0}}}} で書き換えたものと、末尾の項 {{mvar|a{{sub|n}}}} で書き換えたもの和から {{math|2''S{{sub|n}}''}} を求めることで得られる：
: <math>
\begin{align}
  S_n &= 
    \color{red} a_0
    \color{green} + (a_0+d)
    \color{blue} + (a_0+2d)
    \color{black} + \dotsb
    \color{magenta} + (a_0+nd)
    \\[5pt]
  {}+ S_n &=
    \color{red} a_n
    \color{green} + (a_n-d)
    \color{blue} + (a_n-2d)
    \color{black} + \dotsb
    \color{magenta} + (a_n-nd) \\
  \hline
  2S_n &=
    \color{red} (a_0 + a_n)
    \color{green} + (a_0 \bcancel{{}+ d} + a_n \bcancel{{}- d})
    \color{blue} + (a_0 \bcancel{{}+ 2d} + a_n \bcancel{{}- 2d})
    \color{black} + \dotsb
    \color{magenta} + (a_0 \bcancel{{}+ nd} + a_n \bcancel{{}- nd})
\end{align}</math>
右辺では公差 {{mvar|d}} を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局 {{math2|1=2''S{{sub|n}}'' = (''n'' + 1)(''a''{{sub|0}} + ''a{{sub|n}}'')}} となる。両辺を {{math|2}} で割れば
: <math>S_n = (n+1)\frac{a_0 + a_n}{2}</math>
を得る。そして算術級数の平均値 {{math2|{{sfrac|''S{{sub|n}}''|''n'' + 1}}}} は、明らかに {{math2|{{sfrac|''a''{{sub|0}} + ''a{{sub|n}}''|2}}}} である。499年に、インド[[インドの数学|数学]]・{{ill2|インドの天文学|en|Indian astronomy|label=天文学}}古典期の[[数学者]]であり[[天文学者]]である[[アーリヤバタ]]は、{{ill2|Aryabhatiya|en|Aryabhatiya}} (section 2.18) でこのような方法を与えている。

== 総乗 ==
初項 {{math|''a''{{sub|0}}}} で、公差 {{mvar|d}} の等差数列に対して、初項から 第 {{mvar|n}} 項までの[[総乗]]
: <math>\begin{align}
P_n &:= a_0 \cdot a_1 \cdot \dotsb \cdot a_n \\
  &= a_0 \cdot (a_0 + d) \cdot \dotsb \cdot(a_0 + nd) \\
  &= d\frac{a_0}{d} \cdot d\left( \frac{a_0}{d}+1 \right) \cdot \dotsb \cdot d\left( \frac{a_0}{d}+n \right) \\
  &= d^{n+1} {\left( \frac{a_0}{d} \right)}^{\overline{n+1}}
\end{align}</math>（<math>x^{\overline{n}}</math> は[[上昇階乗冪]]）は[[ガンマ関数]] {{math|Γ}} を用いて
: <math>P_n = d^{n+1} \frac{\Gamma \left(\tfrac{a_0}{d} + n + 1\right)}{\Gamma \left(\tfrac{a_0}{d}\right)}</math>
という{{ill2|閉じた式|en|Closed-form expression}}によって計算できる（ただし、{{math|''a''{{sub|0}}/''d''}} が負の整数や {{math|0}} となる場合は、式は意味を持たない）。{{math2|1=Γ(''n'' + 1) = ''n''!}} に注意すれば、上記の式は、{{math|1}} から {{mvar|n}} までの積 {{math2|1=1 × 2 × ⋯ × ''n'' = ''n''!}} および正の整数 {{mvar|m}} から {{mvar|n}} までの積 {{math2|1=''m'' × (''m'' + 1) × ⋯ × (''n'' &minus; 1) × ''n'' = {{sfrac|''n''!|(''m'' &minus; 1)!}}}} を一般化するものであることが分かる。

== 共通項 ==
任意の両側無限等差数列が2つ与えられたとき、それらに共通に現れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである（[[中国の剰余定理]]から示せる）。両側無限等差数列からなる[[族 (数学)|族]]に対し、どの2つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族は{{ill2|ヘリー族|en|Helly family}}である<ref>{{Citation |last=Duchet |first=Pierre |editor1-last=Graham |editor1-first=R. L. |editor2-last=Grötschel |editor2-first=M. |editor3-last=Lovász |editor3-first=L. |contribution=Hypergraphs |location=Amsterdam |mr=1373663 |pages=381-432 |publisher=Elsevier |title=Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2 |year=1995}}. See in particular Section 2.5, "Helly Property", [https://books.google.com/books?id=5Y9NCwlx63IC&pg=PA393 pp. 393–394].</ref>。しかし、無限個の無限等差数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。

== 注釈・出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
;注釈
{{notelist}}
;出典
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |title=Fibonacci's Liber Abaci |first=Leonardo |last=Fibonacci |translator=; Sigler, Laurence E. |publisher=Springer-Verlag |year=2002 |isbn=0-387-95419-8 |pages=259-260}}

== 関連項目 ==
* [[線型差分方程式]]
* [[等差×等比数列]]
* [[一般化算術数列]]：算術数列の構成を複数の差を用いて行ったもの
* [[調和数列]]
* {{ill2|三辺が算術整数列を成すヘロン三角形|en|Integer triangle#Heronian triangles with sides in arithmetic progression}}
* {{ill2|算術数列を含む問題|en|Problems involving arithmetic progressions}}
* [[Utonality]]
* [[等比数列]]
* [[算術級数定理]]

== 外部リンク ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* {{高校数学の美しい物語|1120|等差数列の和}}
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticProgression|title=Arithmetic Progression}}
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticSeries|title=Arithmetic Series}}
* {{SpringerEOM|urlname=Arithmetic_progression|title=Arithmetic progression}}
* {{PlanetMath|urlname=ArithmeticProgression|title=arithmetic progression}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Arithmetic_Progression|title=Definition:Arithmetic Progression}}
* {{ProofWiki|urlname=Sum_of_Arithmetic_Progression|title=Sum of Arithmetic Progression}}

{{Algebra-stub}}
{{級数}}

{{DEFAULTSORT:とうさすうれつ}}
[[Category:数列]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]