等式コンパクト代数のソースを表示

[[普遍代数学]]及び[[モデル理論]]において、'''等式コンパクト'''（{{lang-en-short|equationally compact}}）とは、代数系の持つ性質の一種であり、[[位相空間論]]における[[コンパクト性]]のある種の代数的な類似物である。この概念は{{仮リンク|ヤン・ミシェルスキー|en|Jan_Mycielski}}によって導入された<ref>Jan Mycielski. "Some compactifications of general algebras." Colloquium Mathematicae 13.1 (1964): 1-9.</ref>。

== 定義 ==
[[一階述語論理]]の言語 ''L'' を固定する。''L''-論理式の部分集合 ''K'' について、{{仮リンク|構造 (数理論理学)|label=構造|en|Structure (mathematical logic)}} '''A''' が ''K''-コンパクト（弱 ''K''-コンパクト）とは、任意の <math>\Sigma \subseteq K(A)</math>（<math>\Sigma \subseteq K</math>）について、''Σ'' の任意有限部分が'''A'''で充足可能ならば ''Σ'' 自体が充足可能となるときをいう<ref>Węglorz, B.. "Equationally compact algebras (I)." Fundamenta Mathematicae 59.3 (1966): 289-298.</ref>。ここで、''K'' を論理式全体とし、''Σ'' を濃度 ''κ'' 未満に制限したとき、''K''-コンパクト性は ''κ''-級飽和性、弱 ''K''-コンパクト性は ''κ''-級広大性と呼ばれる。

代数系 '''A''' が等式コンパクト（弱等式コンパクト）であるとは、''K'' を等式全体としたとき、'''A''' が ''K''-コンパクト（弱 ''K''-コンパクト）であるときをいう。

== コンパクト性との関係 ==
代数系の等式コンパクト性は位相空間のコンパクト性を弱めた性質と見做せる。[[位相空間|位相]]を備えた代数系であって、位相空間として[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]であり、かつ各演算がその位相について[[連続写像|連続]]であるものを位相代数系と呼ぶことにする。例えば[[位相群]]はハウスドルフ位相を備えた群であって積と逆元を取る演算が連続なものをいう。位相代数系 '''A''' が位相空間としてコンパクトならば、代数系として等式コンパクトとなる。実際、任意の等式 <math>t(\vec{x}) = u(\vec{x})</math>  に対して、解全体 <math>\{ \vec{a} \in A^{X} | \mathbf{A} \models  t(\vec{a}) = u(\vec{a})\}</math>（ここで ''X'' は変数全体の集合）は[[閉集合]]となることがハウスドルフ性および演算の連続性より分かる。したがって、'''A''' において有限充足可能な等式の集合は、直積空間 <math> A^{X} </math> の[[有限交叉性]]を持つ閉集合族に対応する。[[チコノフの定理]]より <math> A^{X} </math> はコンパクトであるから、この閉集合族は空でない共通部分を持つ。すなわち等式の集合には共通解が存在する。

== 超準解析との関係 ==
代数系 '''A''' を代数系 '''B''' の[[初等部分構造]]とし、'''A''' は等式コンパクトであるとする。このとき '''A''' は '''B''' のレトラクトとなる<ref>{{Cite article | first=Tuomas | last=Korppi | title=Vanishing of derived limits of non-standard inverse systems | journal = Topology and its Applications | volume = 157 | issue = 17 | pages = 2692-2703 | year = 2010 | doi=10.1016/j.topol.2010.07.021}}</ref>。各 <math>b\in B</math> に対して相異なる変数記号 <math>x_{b}</math> を用意する。これらを自由変数として持つ '''A''' 上の等式であって <math>x_{b} = b</math> と代入したときに '''B''' において真になるもの全体を <math>\Sigma</math> とおく。<math>\Sigma</math> は '''B''' において（有限）充足可能であるから、初等性より '''A''' において有限充足可能である。'''A''' の等式コンパクト性より <math>\Sigma</math> は '''A''' において充足可能である。すなわち、写像 <math>f\colon B\to A</math> が存在して、<math>\Sigma</math> に現れる <math>x_{b}</math> を <math>f(b)</math> に置き換えたものが '''A''' において真となる。各 <math>a\in A \subseteq B</math> に対し、等式 <math>x_{a}=a</math> は <math>\Sigma</math> に属すから、<math>f(a)=a</math> が成り立つ。また、<math>F</math> を ''n''-項関数記号とすれば、等式 <math>F(x_{b_{1}}, \ldots, x_{b_{n}})=x_{F^{B}(b_{1},\ldots, b_{n})}</math> は <math>\Sigma</math> に属すから、<math>F^{A}(f(b_{1}),\ldots, f(b_{n})) = f(F^{B}(b_{1},\ldots, b_{n}))</math> が成り立つ。すなわち <math>f\colon \mathbf{B}\to \mathbf{A}</math> は準同型であって <math>A</math> を固定する。例えば、代数系 '''A''' はその[[超準解析|超準拡大]] <math>{}^{\ast}\mathbf{A}</math> のレトラクトとなる。

アーベル群 '''G''' が等式コンパクトであることと、'''G'''-係数{{仮リンク|チェック・ホモロジー|en|Čech cohomology}}がコンパクトハウスドルフ空間（またはコンパクト距離空間）に対する{{仮リンク|完全性公理|en|Eilenberg–Steenrod axioms}}を満たすこととは同値である<ref name="Gar78">{{Cite article | first = Steven | last = Garavaglia | title=Homology with equationally compact coefficients | journal = Fundamenta Mathematicae | volume = 100 | issue = 1 | pages = 89-95 | year = 1978 | doi = 10.4064/fm-100-1-89-95 }}</ref>。十分に飽和的な超準モデルにおいては、飽和性に依存したある[[基底_(位相空間論)|重み]]未満の任意のコンパクトハウスドルフ空間について、アーベル群 '''G''' の超準拡大 <math>{}^{\ast}\mathbf{G}</math> を係数に持つMcCordホモロジーとチェック・ホモロジーが同型となる<ref name="Gar78" />。一方、アーベル群 '''G''' の超準拡大 <math>{}^{\ast}\mathbf{G}</math> であって等式コンパクトでないものが存在することから、McCordホモロジーとチェック・ホモロジーの同型が成立しないような超準モデルが存在することが従う<ref name="Gar78" />。

== 関連項目 ==
* [[コンパクト性定理]]
* [[超冪]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:とうしきこんはくとくうかん}}
[[Category:普遍代数学]]
[[Category:モデル理論]]
[[Category:数学に関する記事]]