等角写像のソースを表示

[[ファイル:Conformal map.svg|right|thumb|矩形格子(上)と等角写像 ''f'' によるその像(下)。''f'' が、90&deg;で交差している2つの直線をなおも90&deg;で交差している2つの曲線へ移していることが確認できる。]]

'''等角写像'''（とうかくしゃぞう、{{lang-en-short|''conformal transformation''}}）とは、2次元以上の[[ユークリッド空間]]からユークリッド空間への[[写像]]であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の[[関数行列]]が[[回転行列]]のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換（写像）したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。

一見すると、原形から大きく図形が変わったように見えても、対応する微小部分に注目すると、原形の図形と相似になっているのが、等角写像である。等角写像は、[[複素関数論]]と深い関係があり、工学上、流体の挙動の記述などにおいて非常に有用である<ref>{{Cite book|和書 |title=複素解析と流体力学 |year=1989 |publisher=[[日本評論社]] |author=今井功 |author-link=今井功 (物理学者) |isbn=4-53560601-3 |location=東京}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=等角写像とその応用 |year=1979 |publisher=[[岩波書店]] |isbn=4-00-005726-X |author=今井功}} オンデマンド版あり</ref>。

== 複素関数の等角写像 ==
[[複素平面]] ''z'' から複素平面 ''w'' への写像である関数 ''w'' = ''f''(''z'') について、[[正則関数]]は等角写像である。逆命題も成り立つ<ref>[[:ru:Меньшов, Дмитрий Евгеньевич|Меньшов, Д. Е.]] (1936): Les conditions de monogénéité, Hermann & cie, Paris. {{oclc|6698975}}</ref>。

関数 ''f'' によって点 ''z''<sub>0</sub> とその近傍にある2点 ''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub> が点 ''w''<sub>0</sub> とその近傍にある2点 ''w''<sub>1</sub>, ''w''<sub>2</sub> に写像されるとき、''f'' が正則であれば点の近づき方には依らずに微分値が一定になることから

:<math>
\lim_{z_1 \to z_0} \frac{w_1 - w_0}{z_1 - z_0}
= \lim_{z_2 \to z_0} \frac{w_2 - w_0}{z_2 - z_0}
= f'(z_0)
... (1)
</math>

ここで <math>z_0 = |z_0|\exp(i\arg(z_0))\,\!</math> のように展開して整理すれば

:<math>
\lim\frac{|w_1-w_0|}{|w_2-w_0|}e^{i\arg(w_1-w_2)}
= \lim\frac{|z_1-z_0|}{|z_2-z_0|}e^{i\arg(z_1-z_2)}
</math>

この式の偏角をとれば

:<math>
\lim\arg(w_1-w_2)
= \lim\arg(z_1-z_2)
</math>

すなわち、全ての正則関数による写像は微小な角を保存する。また、(1) の絶対値は

:<math>
\left|\frac{dw}{dz}\right|
= |f'(z)|
</math>

であり、これは微小線分の拡大率がその方向によらないことを示している。

== 地図投影法の等角写像 ==
[[地図投影法]]のうち等角写像であるものが[[正角図法]]と呼ばれる。

=== 球面の場合 ===
球面からの投影法は通常は球座標から地図上の座標への写像 <math>m: (\varphi, \lambda) \to (x, y)</math> として記述される。この場合は関数行列の代わりに
:<math>
 \begin{pmatrix}
  \frac{\partial x}{\partial\varphi} & 
  \frac{1}{\cos\varphi}\frac{\partial x}{\partial\lambda} \\
  \frac{\partial y}{\partial\varphi} &
  \frac{1}{\cos\varphi}\frac{\partial y}{\partial\lambda} \\
 \end{pmatrix}
</math>
が回転行列のスカラー倍となるものが等角写像である。

冒頭の定義との関係では、球面に任意の点で接する接平面に直交座標系 <math>(\xi, \eta)\,\!</math> をとれば、等角性を判断するための写像は <math>f: (\xi, \eta) \to (x, y)</math> であり、これは <math>g: (\xi, \eta) \to (\varphi, \lambda)</math> と <math>m\,\!</math> の合成であるから
:<math>
J_f = J_m J_g 
= \begin{pmatrix}
   \frac{\partial x}{\partial\lambda} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} \\
   \frac{\partial y}{\partial\lambda} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \frac{\partial\lambda}{\partial\xi} & \frac{\partial\lambda}{\partial\eta} \\
   \frac{\partial\varphi}{\partial\xi} & \frac{\partial\varphi}{\partial\eta} \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
   \frac{\partial x}{\partial\lambda} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} \\
   \frac{\partial y}{\partial\lambda} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \frac{1}{a\cos\varphi} & 0 \\
   0 & \frac{1}{a} \\
  \end{pmatrix}
</math>
として得られる。

=== 回転楕円体から球への等角写像 ===
[[回転楕円体]]（[[扁球]]）からの投影法についても同様にして等角写像を定義することができるが、投影法の表式に[[楕円積分]]を含むこととなり、解析的に求めることが難しい場合があるので、かつては既に知られた回転楕円体から球面への等角写像によって回転楕円体上の地物を球面に写像した後、球面からの正角図法で地図に投影することが行われた（二重投影）。

最も簡単なものは[[経度]]を変えないもので、[[地球楕円体]]の[[離心率]]を <math>e\,\!</math> とするとき、地球楕円体上の[[緯度#地理緯度 (geographic latitude)|地理緯度]] <math>\varphi\,\!</math> から球面上の緯度（[[緯度#正角緯度 (conformal latitude)|正角緯度]]）<math>\chi\,\!</math> は次のように与えられる:
:<math>\chi=\operatorname{gd}\left(\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)\right)</math>
ただし、<math>\operatorname{gd}(x)</math> は[[グーデルマン関数]]であり、<math>\operatorname{gd}^{-1}(x)</math> はその[[逆関数]]を表す。

もうひとつの方法は経度方向に拡大を行う（つまり全球を写像すると重なりが出てしまう）代わりに緯度方向の[[縮尺]]の変化を抑えようとしたものである。投影しようとする範囲の中心地点の地理緯度を <math>\varphi_0\,\!</math> 、経度を <math>\lambda_0\,\!</math> とすると、この中心地点における縮尺係数の、投影先の球面緯度についての二階までの[[微分係数]]を0とする条件を課したとき、地球楕円体上の点 <math>P(\varphi, \lambda)\,\!</math> は、球上の点 <math>P'(\Phi, \Lambda)\,\!</math> に次のようにして投影される<ref name="小牧">小牧和雄 (1988): 回転楕円体に準拠した空間座標の決定, 現代測量学, 第4巻, 測地測量①, 日本測量協会, 東京, 第4章.</ref>：

:<math>
\begin{align}
 \Phi & = \operatorname{gd}\left(\alpha\left\{\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-\operatorname{gd}^{-1}(\varphi_0)
-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)+e\tanh^{-1}(e\sin\varphi_0)\right\}
+\tanh^{-1}\left(\frac{\sin\varphi_0}{\alpha}\right)
\right) \\
 \Lambda & = \alpha(\lambda-\lambda_0) \\
 \alpha & = \sqrt{1+\frac{e^2\cos^4\varphi_0}{1-e^2}} \\
\end{align}
</math>

この投影法は[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]正角二重投影 (Gauss conformal double projection) と呼ばれ、戦前の日本においてもこの方法により平面直角座標系（旧座標系）が形成されていた。

=== 回転楕円体から平面への等角写像 ===
このうち最も重要なもののひとつは、投影しようとする範囲の中心地点を通る[[子午線]]（中央子午線）の[[子午線弧]]長を保存するものである。これは、今日では[[ガウス・クリューゲル図法]]と呼ばれるもの<ref>Krüger, L. (1912): ''[https://doi.org/10.2312/GFZ.b103-krueger28 Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene]'', Veröffentlichung Königlich Preuszischen geodätischen Institutes, Neue Folge, '''52''', Druck und Verlag von B. G. Teubner, Potsdam.</ref>で、現在の日本における[[平面直角座標系]]（[[平成14年]][[国土交通省]][[告示]]第9号）[https://www.gsi.go.jp/LAW/heimencho.html]にも採用されている。

かつて日本で一般的に用いられていた方法は、中央子午線からの経度差が小さい範囲に限って当該差について[[冪級数]]展開したもの<ref name="小牧" />であったが、もう一つの方法として、実用的な範囲内においては特に制限を設けないもので、地球楕円体の第三[[扁平率]]のみを係数に含む冪級数展開により表されるもの<ref>{{Cite journal|和書|author=河瀬和重|author-link=河瀬和重|year=2011|title=Gauss-Krüger投影における経緯度座標及び平面直角座標相互間の座標換算についてのより簡明な計算方法|url=https://www.gsi.go.jp/common/000061216.pdf|journal=国土地理院時報|volume=121|pages=109–124|publisher=[[国土地理院]]}}</ref>がある。この表式は、2013年度から[[公共測量]]における作業規程の準則[http://psgsv2.gsi.go.jp/koukyou/jyunsoku/pdf/H25_junsoku_furoku6.pdf#page=22]において、また[[国土地理院]]が提供する測量計算サイト[http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/main.html]においても採用されることとなった[http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/surveycalc/bl2xyf.html], [http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/surveycalc/xy2blf.html]。

地球表面全体を完全に投影するには、[[ヤコビの楕円函数]]を駆使した表式<ref>{{Cite journal|和書|author = 河瀬和重|year = 2024|title = 横Mercator図法を“真球でなく扁平な”地球に適用することの無意味さについて|url=https://www.gsi.go.jp/common/000260575.pdf|journal = 国土地理院時報|volume = 137|pages =7–12|publisher = 国土地理院|doi = 10.57499/JOURNAL_137_02}}</ref><ref>[[:de:Konrad Ludwig (Mathematiker)|Ludwig, K.]] (1943): ''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0185/dmdlog19 Die der transversalen Mercatorkarte der Kugel entsprechende Abbildung des Rotationsellipsoids]'', [[:de:Journal für die reine und angewandte Mathematik|Journal für die reine und angewandte Mathematik]], '''185'''(4), 193–230.</ref>を用いることになる。

== 引用文献 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ジュコーフスキー変換]]
* [[複素解析]]
* [[流体力学]]
* [[翼型]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:とうかくしやそう}}

[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:地図の図法]]