等質空間のソースを表示

[[File:Torus.png|thumb|[[トーラス]]。標準トーラスはその[[微分同相]]群と[[同相]]群のもとで等質であり、{{仮リンク|平坦トーラス|en|flat torus}}はその微分同相群、同相群、{{仮リンク|等長変換群|en|isometry group}}のもとで等質である。]]

[[数学]]、とくに[[リー群]]、[[代数群]]、[[位相群]]の理論において、[[群 (数学)|群]] {{Mvar|G}} の'''等質空間'''（とうしつくうかん、{{lang-en-short|homogeneous space}}）は、{{Mvar|G}} が[[群の作用|推移的に]]作用するような空でない[[多様体]]あるいは[[位相空間]] {{Mvar|X}} である。{{Mvar|G}} の元は {{Mvar|X}} の'''対称変換''' (symmetry) と呼ばれる。特別な場合は、問題の {{Mvar|G}} が空間 {{Mvar|X}} の[[自己同型群]]であるときである――ここで「自己同型群」は{{仮リンク|等長変換群|en|isometry group}}、[[微分同相|微分同相群]]、あるいは{{仮リンク|同相群|en|homeomorphism group}}の意味である。この場合 {{Mvar|X}} が等質空間であるとは、直感的には {{Mvar|X}} が、等長写像（リジッド幾何学）、微分同相写像（微分幾何学）、あるいは同相写像（位相幾何学）の意味において、各点で局所的に同じに見えるということである。著者によっては {{Mvar|G}} の作用が[[群作用#作用の種類|忠実]]である（非単位元は非自明に作用する）ことを要求するが、本記事ではそうしない。したがって、{{Mvar|X}} 上のある「幾何学的構造」を保ち {{Mvar|X}} を単一の [[軌道 (群論)|{{mvar|G}}-軌道]]にすると考えられるような {{Mvar|G}} の {{Mvar|X}} への[[群作用]]が存在する。

==定義==
{{Mvar|X}} を空でない集合とし {{Mvar|G}} を群とする。{{Mvar|X}} が {{Mvar|G}}-空間であるとは、{{Mvar|G}} が {{Mvar|X}} に作用していることをいう<ref>作用は''左''からであるとする。区別は ''X'' の剰余類空間としての記述においてのみ重要である。</ref>。自動的に {{Mvar|G}} は集合に自己同型（全単射）によって作用することに注意する。{{Mvar|X}} がさらにある[[圏 (数学)|圏]]に属しているならば、{{Mvar|G}} の元はその圏における[[同型射]]として作用すると仮定される。したがって {{Mvar|G}} によってもたらされる {{Mvar|X}} 上の写像は構造を保つ。等質空間は {{Mvar|G}} が推移的に作用するような {{Mvar|G}}-空間である。

簡潔には、{{Mvar|X}} が圏 {{Math|'''C'''}} の対象であれば、{{Mvar|G}}-空間の構造は圏 {{Math|'''C'''}} の対象 {{Mvar|X}} の[[自己同型]]射の群の中への[[準同型]]写像

:{{Math|''ρ'': ''G'' → Aut<sub>'''C'''</sub>(''X'')}}

である。対 {{Math|(''X'', ''ρ'')}} は {{Math|''ρ''(''G'')}} が {{Mvar|X}} の台集合の対称変換の推移的な群であるならば等質空間を定義する。

===例===
例えば、{{Mvar|X}} が[[位相空間]]であれば、群の元は {{Mvar|X}} 上の[[同相写像]]として作用すると仮定される。{{Mvar|G}}-空間の構造は {{Mvar|X}} の{{仮リンク|同相写像群|en|homeomorphism group}}の中への群準同型写像 {{Math|''ρ'': ''G'' → Homeo(''X'')}} である。

同様に、{{Mvar|X}} が[[可微分多様体]]であれば、群の元は[[微分同相写像]]である。{{Mvar|G}}-空間の構造は {{Mvar|X}} の微分同相群の中への群準同型写像 {{Math|''ρ'': ''G'' → Diffeo(''X'')}} である。

{{仮リンク|リーマンの対称空間|en|Riemannian symmetric space}}は等質空間の重要なクラスであり、以下に挙げる例の多くを含む。

具体例：

;等長変換群
*正の曲率：
# 球面（[[直交群]]）： <math>S^{n-1} \cong \mathrm{O}(n)/\mathrm{O}(n-1)</math>
# 向き付けられた球面（[[特殊直交群]]）： <math>S^{n-1} \cong \mathrm{SO}(n)/\mathrm{SO}(n-1)</math>
# 射影空間（{{仮リンク|射影直交群|en|projective orthogonal group}}）： <math>\mathrm{P}^{n-1} \cong \mathrm{PO}(n)/\mathrm{PO}(n-1)</math>
* 平坦（曲率 0）：
# ユークリッド空間（[[ユークリッド群]]、point stabilizer は直交群）： {{Math|'''A'''<sup>''n''</sup> ≅ E(''n'')/O(''n'') }}
* 負曲率：
# 双曲空間（{{仮リンク|順時ローレンツ群|en|orthochronous Lorentz group}}）、point stabilizer は直交群、{{仮リンク|双曲面モデル|en|hyperboloid model}}に対応）： '''H'''<sup>''n''</sup> ≅ O<sup>+</sup>(1, ''n'')/O(''n'')
# 向き付けられた双曲空間： {{Math|SO<sup>+</sup>(1, ''n'')/SO(''n'')}}
# [[反ド・ジッター空間]]： {{Math|1=AdS<sub>''n''+1</sub> = O(2, ''n'')/O(1, ''n'')}}

;その他
* [[アフィン空間]] ([[アフィン群]]、point stabilizer は[[一般線型群]]): {{Math|1='''A'''<sup>''n''</sup> = Aff(''n'', ''K'')/GL(''n'', ''k'')}}
* {{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian}}： <math>\mathrm{Gr}(r,n) = \mathrm{O}(n)/(\mathrm{O}(r) \times \mathrm{O}(n - r))</math>

==幾何学==
[[エルランゲン・プログラム]]の観点から、{{Mvar|X}} の[[幾何学]]において、「すべての点は同じである」と理解することができる。これは19世紀中頃の[[リーマン幾何学]]より前に提案された本質的にすべての幾何学について正しかった。

したがって、例えば、[[ユークリッド空間]]、[[アフィン空間]]、[[射影空間]]はすべて自然にそれらのそれぞれの{{仮リンク|対称変換群|en|symmetry group}}の等質空間である。同じことは{{仮リンク|双曲空間|en|Hyperbolic space}}のような定[[曲率]]の[[非ユークリッド幾何学]]のモデルについても正しい。

さらなる古典的な例は3次元の射影空間の直線のなす空間（同じことであるが4次元[[ベクトル空間]]の2次元部分空間のなす空間）である。{{Math|GL<sub>4</sub>}} がそれらに推移的に作用することを示すのは簡単な線型代数である。''line co-ordinates'' によってそれらを径数付けできる： これらは列が部分空間の2つの基底ベクトルである 4 × 2 行列の 2 × 2 {{仮リンク|小行列式|en|minor (linear algebra)|preserve=1}}である。得られる等質空間の幾何学は[[ユリウス・プリュッカー]]の{{仮リンク|直線幾何学|en|line geometry}}である。

==剰余類空間としての等質空間==
一般に、{{Mvar|X}} が等質空間であり、{{Mvar|H<sub>o</sub>}} が {{Mvar|X}} のあるマークされた点 {{mvar|o}}（[[原点 (数学)|原点]]の選択）の[[安定化群]]であれば、{{Mvar|X}} の点たちは左[[剰余類]] {{Math|''G''/''H''<sub>''o''</sub>}} たちと対応し、マークされた点 {{Mvar|o}} は単位元の剰余類に対応する。逆に、剰余類空間 {{Math|''G''/''H''}} が与えられると、これは区別された一点すなわち単位元の剰余類を持った {{Mvar|G}} の等質空間である。したがって等質空間は原点の選択なしに剰余類空間と考えることができる。

一般に、原点 {{Mvar|o}} の異なる選択は、{{Mvar|G}} の[[内部自己同型]]によって {{Mvar|H<sub>o</sub>}} と関係付けられる別の部分群 {{Mvar|H<sub>o&prime;</sub>}} による {{Mvar|G}} の商群を導く。明示的には、

:<math>H_{o'} = gH_og^{-1} \qquad \qquad (1)</math>

ただし {{Mvar|g}} は {{Math|1=''go'' = ''o''&prime;}} なる {{Mvar|G}} の任意の元である。内部自己同型 (1) はそのような {{Mvar|g}} の取り方にはよらず、{{Math|''g'' modulo ''H<sub>o</sub>''}} のみに依存することに注意する。

{{Mvar|G}} の {{Mvar|X}} への作用が連続であれば、{{Mvar|H}} は {{Mvar|G}} の[[閉部分群]]である。とくに、{{Mvar|G}} が[[リー群]]であれば、{{Mvar|H}} は[[カルタンの定理 (リー群)|カルタンの定理]]によって[[部分リー群]]である。したがって {{Math|''G''/''H''}} は[[滑らかな多様体]]であるので {{Mvar|X}} は群作用と両立する一意的な{{仮リンク|滑らかな構造|en|smooth structure}}を持っている。

{{Mvar|H}} が単位元のみからなる部分群 {{Math|{''e''<nowiki>}</nowiki>}} であれば、{{Mvar|X}} は{{仮リンク|主等質空間|en|principal homogeneous space}}である。

さらに{{仮リンク|両側剰余類|en|double coset}}空間、とりわけ{{仮リンク|クリフォード・クライン形式|en|Clifford–Klein form}} <math>\Gamma\backslash G/H,</math> へと進むことができる。ここで {{Math|Γ}} は{{仮リンク|固有不連続|en|properly discontinuously}}に作用する（{{Mvar|G}} の）離散部分群である。

==例==
例えば直線幾何の場合には、{{Mvar|H}} を、16次元[[一般線型群]] {{Math|GL(4)}} の次のような12次元部分群、すなわち行列の成分についての条件

:{{Math|1=''h''<sub>13</sub> = ''h''<sub>14</sub> = ''h''<sub>23</sub> = ''h''<sub>24</sub> = 0}}

によって定義された部分群として、次のようにして同一視できる、すなわち最初の2つの標準基底ベクトルによって張られる部分空間の安定化群を探す。これは {{Mvar|X}} の次元が 4 であることを示している。

小行列式によって与えられる{{仮リンク|斉次座標|en|homogeneous coordinates}}は6個だから、これは後者が互いに独立ではないことを意味する。実は6つの小行列式の間には1つの二次関係が成り立ち、これは19世紀の幾何学者に知られていた。

これは{{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian}}の例として射影空間の他に知られていた最初の例である。数学においてよく使われる古典的線型群の等質空間はもっとたくさんある。

==概均質ベクトル空間==
{{仮リンク|概均質ベクトル空間|en|prehomogeneous vector space}}の概念は[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]によって導入された。

それは[[代数群]] {{Mvar|G}} の[[群作用]]を持った有限次元[[ベクトル空間]] {{Mvar|V}} であって、[[ザリスキ位相]]について開な（したがって稠密な）{{Mvar|G}} の軌道が存在するようなものである。例は1次元空間に作用する {{Math|GL(1)}} である。

定義は見た目よりも制約的である。そのような空間は注目すべき性質を持ち、"castling" と呼ばれる変換の違いを除いた既約概均質ベクトル空間の分類がある。

* {{Cite journal|和書|author=佐藤文広 |date=1995-10 |url=https://hdl.handle.net/2433/59791 |title=概均質ベクトル空間のゼータ関数入門(概均質ベクトル空間の研究) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=924 |pages=46-60 |hdl=2433/59791 |CRID=1050001202061820672}}
* {{Cite journal|和書|author=雪江明彦 |year=2000 |url=https://doi.org/10.11429/emath1996.2000.autumn-meeting1_39 |title=概均質ベクトル空間入門-11世紀から現代まで |journal=総合講演・企画特別講演アブストラクト |ISSN=1884-3972 |publisher=日本数学会 |volume=2000 |issue=Autumn-Meeting1 |pages=39-49 |doi=10.11429/emath1996.2000.autumn-meeting1_39 |CRID=1390282680320027776}}
* 木村達雄：「概均質ベクトル空間」、岩波書店、{{ISBN2|978-4-00-005186-6}}（1998年12月16日）。
* {{cite journal|和書|author=谷口隆, 杉山和成, 石塚裕大, 佐藤文広, 都築正男, ThorneFrank, 鈴木雄太, 伊吹山知義, 鈴木美裕, 佐野薫, 山本修司 |date=2024 |url=https://doi.org/10.24546/0100486229 |title=概均質ベクトル空間論の発展 |journal=第30回整数論サマースクール報告集、写真なし |pages=1-421 |publisher=谷口隆 |doi=10.24546/0100486229}}

==物理学における等質空間==
[[一般相対性理論]]が用いられる[[現代宇宙論]]では、[[ビアンキ分類]]系が活用されている。相対論における等質空間はなんらかの[[宇宙モデル]]の背景[[計量テンソル|計量]]の空間部分を表現している。例えば、[[フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量]]における三つの場合は、ビアンキ I 型（平坦な宇宙）、V 型（開いた宇宙）、VII 型(平坦または開いた宇宙）、IX 型（閉じた宇宙）の部分集合で表現される。また、{{仮リンク|ミックスマスター宇宙|en|Mixmaster universe}}はビアンキ IX 型宇宙論の[[非等方性|非等方]]な例である<ref>{{citation|title=Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields|year=1980|author=Lev Landau|author2=Evgeny Lifshitz|authorlink=レフ・ランダウ|authorlink2=エフゲニー・リフシッツ|publisher=Butterworth-Heinemann|isbn=978-0-7506-2768-9}}</ref>。

{{Mvar|N}} 次元等質空間には、{{Math|{{sfrac|1|2}}''N''(''N''+1)}} 個からなる[[キリングベクトル場|キリングベクトル]]集合の存在が許される<ref>{{citation|title=Gravitation and Cosmology|year=1972|last=|author=Steven Weinberg|first=|authorlink=スティーヴン・ワインバーグ|publisher=John Wiley and Sons|isbn=}}</ref>。三次元の場合、全部で6つの線形独立なキリングベクトル場が存在する。三次元等質空間の特徴として、これらの線形結合を取ることによっていたるところ非零の三つのキリングベクトル場 <math>\xi^{(a)}_{i}</math>を見付けることができる。

:<math>\xi^{(a)}_{[i;k]}=C^{a}_{\ bc}\xi^{(b)}_i \xi^{(c)}_k</math>

ここで、<math>C^{a}_{\ bc}</math> は「構造定数」と呼ばれる、下付き添字が[[反対称テンソル|反対称]]な[[定数]]三階[[テンソル]]である（左辺の角括弧は反対称化を、";" は[[共変微分]]作用素を表わす）。[[Λ-CDMモデル|平坦で等方的な宇宙]]の場合には、一つの可能性として <math>C^{a}_{\ bc}=0</math> (type I) が挙げられるが、閉じたFLRW宇宙の場合には <math>\varepsilon^{a}_{\ bc}</math> を[[レヴィ＝チヴィタ記号]]として <math>C^{a}_{\ bc}=\varepsilon^{a}_{\ bc}</math> が挙げられる。

==関連項目==
* [[エルランゲン・プログラム]]
* {{仮リンク|クライン幾何学|en|Klein geometry}}
* {{仮リンク|heap|en|Heap (mathematics)}}
* {{仮リンク|等質多様体|en|Homogeneous variety}}

==参考文献==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:とうしつくうかん}}
[[Category:位相群]]
[[Category:リー群論]]
[[Category:等質空間|*]]
[[Category:数学に関する記事]]