等長写像のソースを表示

{{出典の明記|date=2022年2月}}
[[数学]]、とくに[[幾何学]]において'''等長写像'''（とうちょうしゃぞう）または'''等距離写像'''（とうきょりしゃぞう）とは、"長さ" を変えない（距離を保つ、distance preserving）[[写像]]のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。

== 定義 ==
[[距離空間]] (''X'', ''d'') の任意の元を ''x'', ''y'' とする（''d'' は距離関数）。このとき、''X'' から別の距離空間 ('' X' '', '' d' '') への写像 ''f'' が、
:<math>d(x, y) = d' (f(x), f(y))</math>
なる関係を満たすとき、写像 ''f'' は'''距離を保つ'''、あるいは ''f'' は'''等長写像'''であるという。定義から、等長写像が[[単射]]であることはすぐに分かる。

距離空間 ''X'', ''Y'' の間に距離を保つ全単射 (isometry) が存在するとき、''X'' と ''Y'' は距離空間として等長 (isometric) であるという。また、距離空間 ''X'' からそれ自身への距離を保つ全単射を ''X'' 上の'''等長変換'''という。''X'' 上の等長変換の全体は群を成し、それを ''X'' の'''等長変換群'''とよぶ。

定義を[[ノルム空間]]に適用すると、ベクトル空間 ''X'' におけるノルムを || · ||<sub>''X''</sub> で表すとき、写像 ''f'': ''X'' → ''X''' が等長写像であるための条件は
:||''x'' - ''y''||<sub>''X''</sub> = ||''f''(''x'') - ''f''(''y'')||<sub>''X'''</sub>
となる。特に ''f'' が[[線形写像]]ならばこれは ||''x''||<sub>''X''</sub> = ||''f''(x)||<sub>''X'''</sub> と同じである。

== 計量 ==
以下では ''X'' をノルム空間とする。''X'' の部分集合 ''W'' に対して、''f''(''W''):= {''f''(''x'') | ''x''∈''W''} とする。''X'' 内の二つの部分集合 ''C'', ''C''' に対し、等長写像 ''f'' が存在して ''f''('' C' '') = ''C'' が言えるとき、''C'' と '' C' '' は'''[[図形の合同|合同]]'''であるという。また、''aC'':= {''ax'' | ''x''∈''C''} としたとき、ある正数 ''k'' が存在して ''f''('' C' '') = ''kC'' がいえれば、''C'' と '' C' '' は'''[[相似]]'''であるという。

''X'' がさらに[[計量ベクトル空間]]であって、||''x''|| = &lt;''x'', ''x''&gt;<sup>1/2</sup> であり、''f'' が[[線形変換]]ならば、''f'' は[[内積]]を変えない。これは次のようにして分かる。''X'' の元 ''x'', ''y'' に対し、内積の実部に関して
{|- align="center" cellspacing="0" cellpadding=0"
|<math>\Re\langle f(x),f(y) \rangle</math>
|<math>
  = \frac{1}{2}(||f(x)+f(y)||^2 - ||f(x)||^2 - ||f(y)||^2)
</math>
|-
| ||<math>= \frac{1}{2}(||x+y||^2-||x||^2-||y||^2)</math>
|-
| ||<math>=\Re\langle x,y \rangle</math> 
|}
となる。虚部が等しいことは、''x'' を -''ix'' に置き換えると &lt;-''ix'', ''y''&gt; の実部が &lt;''x'', ''y''&gt; の虚部に等しいことから確かめられる。逆に内積を保てばもちろん等長写像になる。

== 直交変換・ユニタリ変換 ==
''X'' が[[実ベクトル空間]]であるとき、線形な等長変換として'''直交変換'''が対応する。これは[[直交行列]] ''T'' を用いて ''Tx'' と書くことができる。複素ベクトル空間では同様な写像に'''ユニタリ変換'''（およびその行列表現としての[[ユニタリ行列]]）が対応する。

一般に、実ベクトル空間内の等長写像は直交行列 ''T'' とあるベクトル ''a'' を用いて ''Tx'' + ''a'' と書くことができる（[[アフィン写像|アフィン変換]]）。このうち、|''T''| = 1であるものを特に[[ユークリッドの運動]]と呼ぶ。これは "回転"・"平行移動" の二つを合成してできるものである。上述の通り、等長写像はユークリッド空間の図形の間の合同をもたらすが、さらに一般に、[[リーマン多様体]]の間の等長写像（各点の微分が等長写像になるというように定義される。''詳しい方の加筆を求む!''）はその構造をすべて保存する。このような等長写像は'''運動'''と呼ばれ、運動の全体はある[[群 (数学)|群]]をなす。

== 関連項目 ==
*[[等角写像]]
*[[縮小写像]]

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{{DEFAULTSORT:とうちようしやそう}}
[[Category:同値 (数学)]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]