簡約群のソースを表示

数学における'''簡約群'''（かんやくぐん、{{lang-en-short|''reductive group''}}）とは[[冪単根基]]が自明となる代数閉体上の[[代数群]]のことである。[[代数的トーラス]]や[[一般線形群]]など任意の[[半単純代数群]]は簡約となる。一般の代数体上の場合には、代数閉包上で冪単根基が自明となるような滑らかなアフィン代数群を簡約代数群と呼ぶ。ここで代数閉包への移行は、定義体が有限体上の関数体などの[[完全体|不完全体]]（imperfect field）となる場合に必要である。（必ずしも完全でない）体 ''k'' 上の代数群で ''k''-冪単根基が自明となるものは[[:en:pseudo-reductive group]]と呼ばれる。簡約群の名称は線形表現の完全可約性から来ており、標数0の代数群の表現に対して成り立つ性質である。（これは代数群としての表現にのみ適用される。離散群としての有限次元表現は標数0の場合でさえ必ずしも完全可約にならない。）Haboushの定理は、幾何学的簡約性と呼ばれるより弱い条件が正標数の場合の簡約群に対しても成立していることを示す。

''G''&nbsp;≤&nbsp;'''GL'''<sub>''n''</sub> を滑らかな<math>k</math>-閉部分群としたとき、<math>k</math> 上の <math>n</math> 次元アフィン空間への作用が既約であるならば ''G'' は簡約である。<ref>See {{harvnb|Springer|1998}}, exercise 2.4.15</ref> そのため '''GL'''<sub>''n''</sub> 及び '''SL'''<sub>''n''</sub> は簡約である（後者はより強く[[半単純代数群|半単純]]となる）。

==リー群の場合==
[[リー群]]の場合には[[簡約リー群]] ''G'' はリー代数の言葉を用いて定義される。簡約リー群とはその[[リー代数]] ''g'' が[[簡約リー代数]]、つまり可換リー代数と[[半単純リー代数]]の直和となるものである。''G'' の連結成分が有限個であるという条件を課す場合もある。

リー代数の簡約性はその[[リー代数の随伴表現|随伴表現]]の完全可約性と同値である。しかしその一般の有限次元表現は必ずしも完全可約ではない。またリー群と代数群では簡約性の概念は必ずしも一致しない。

例えば一次元可換リー代数 '''R''' は明らかに簡約であり、簡約代数群 '''G'''<sub>''m''</sub> (ゼロでない実数の乗法群) と（簡約でない）冪単代数群 '''G'''<sub>''a''</sub> (実数の加法群）の両方のリー代数となっている. これらはリー群としては同型であるが代数群としては同型ではない。

==関連項目==
*[[:en:Luna's slice theorem]]
*[[:en:Root datum]]
*[[:en:Pseudo-reductive group]]

==脚注==
<references/>

==参考文献==
* {{Citation| last1=Borel| first1=Armand| author-link=Armand Borel| year=1991| title=Linear Algebraic Groups| location= New York| edition=2nd| volume = 126| series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher=Springer-Verlag| isbn = 978-0-387-97370-8 | url=http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-97370-8}}.
*A. Borel,   [[J. Tits]],   [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__27__55_0 ''Groupes réductifs'']  Publ. Math. IHES, 27  (1965)  pp.&nbsp;55–150; [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1972__41__253_0 ''Compléments à l'article «Groupes réductifs».''] Publications Mathématiques de l'IHÉS, 41 (1972), p.&nbsp;253–276
*[[François Bruhat|Bruhat, François]]; Tits, Jacques ''Groupes réductifs sur un corps local'' :  [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1972__41__5_0  I. Données radicielles valuées.] Publications Mathématiques de l'IHÉS, 41 (1972), p.&nbsp;5–251 [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1984__60__5_0 II. Schémas en groupes. Existence d'une donnée radicielle valuée.] Publications Mathématiques de l'IHÉS, 60 (1984), p.&nbsp;5–184
*{{SpringerEOM|title=Reductive group|author=[[Vladimir L. Popov|V.L. Popov]]|urlname=Reductive_group}}
*{{SpringerEOM|title=Lie algebra, reductive|author=A.L. Onishchik|urlname=Lie_algebra,_reductive}}
*{{citation
|first=Tonny A.
|last=Springer
|authorlink=T. A. Springer
|chapterurl=http://www.ams.org/online_bks/pspum331/pspum331-ptI-1.pdf
|chapter=Reductive groups
|pages=3–27
|url=http://www.ams.org/online_bks/pspum331/
|title=Automorphic forms, representations, and L-functions
|volume=1
|ISBN=0-8218-3347-2
|year=1979
}}
* {{Citation | last1=Springer | first1=Tonny A. | authorlink=T. A. Springer | title=Linear algebraic groups | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | edition=2nd | series=Progress in Mathematics | isbn=978-0-8176-4021-7 |mr=1642713 | year=1998 | volume=9}}

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[[Category:リー群論]]
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