約数のソースを表示

{{脚注の不足|date=2022年2月}}
[[数学]]において[[整数]] {{mvar|N}} の'''約数'''（やくすう、{{lang-en-short|''divisor''}}）とは、{{mvar|N}} を[[除法|割り切る]]整数またはそれらの[[集合]]のことである。割り切るかどうかということにおいて、[[符号]]は本質的な問題ではないため、{{mvar|N}} を正の整数（[[自然数]]）に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や[[抽象代数学]]における[[整域]]などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「'''因数'''」（いんすう）、「'''因子'''」（いんし、{{lang-en-short|''factor''}}）が使われることが多い。特に[[素数]]である約数を「'''[[素因数]]'''」と言う（素約数とも言われた<ref>{{Cite book|和書 |title=輓近高等数学講座 第6巻 |publisher=[[共立社書店]] |year=1934 |pages=1-5 |last=国枝 |first=元治 |author-link=国枝元治 |id={{NDLJP|1215132}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=算術教科書 上巻 |publisher=[[金港堂]] |year=1899 |page=79 |last=林 |first=鶴一 |author-link=林鶴一 |id={{NDLJP|826833}}}}</ref>）。

整数 {{mvar|a}} が整数 {{mvar|N}} の約数であることを、記号 | を用いて {{math|''a'' {{!}} ''N''}} と表す。

約数の定義を式で表すと、「整数 {{math|''a'' ≠ 0}} が {{mvar|N}} の'''約数'''であるとは、ある整数 {{mvar|b}} をとると {{math|''N'' {{=}} ''ab''}} が成立することである」であるが、条件「{{math|''a'' ≠ 0}}」を外すこともある（その場合、{{math|''N'' {{=}} 0}} のとき {{math|0}} も約数になる）。

[[自然数]]（正の整数）で考えている文章では、ことわりがなくても「約数」を前提にしていることは多い。

== 定義 ==
整数 {{math|''a'' ≠ 0}} が {{mvar|N}} の'''約数'''であるとは、「ある整数 {{mvar|b}} をとると {{math|''N'' {{=}} ''ab''}} が成立することである」であるが、条件「{{math|''a'' ≠ 0}}」を外すこともある。このときは、{{math|''N'' {{=}} 0}} のときに限り {{math|0}} も約数になる。約数が無数にある整数は {{math|0}} だけである。

負の[[符号]]は本質的な問題ではないため、ここでは以下現れる数はすべて[[自然数]]とする。

どのような自然数 {{mvar|N}} に対しても、{{math|1}} と自分自身 {{mvar|N}} は {{mvar|N}} の約数である。{{math|2}} 以上の自然数はさらに、約数の個数が {{math|2}} であるかそれより大かで分けられる。{{math|1}} と自分自身以外に約数をもたない自然数を'''[[素数]]'''といい、そうでない自然数を'''[[合成数]]'''という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。

例えば、
:{{math2|[[2]], [[3]], [[5]], [[7]], [[11]], [[13]], [[17]], [[19]], [[23]], [[29]], [[31]], [[37]], [[41]], [[43]], [[47]], …}}（<!--50以下の素数、-->{{OEIS|id=A40}}）
は素数であるが、{{math|12}} の約数は、
:{{math|12 ÷ 1 {{=}} 12}}
:{{math|12 ÷ 2 {{=}} 6}}
:{{math|12 ÷ 3 {{=}} 4}}
:{{math|12 ÷ 4 {{=}} 3}}
:{{math|12 ÷ 6 {{=}} 2}}
:{{math|12 ÷ 12 {{=}} 1}}
より、{{math|1, 2, 3, 4, 6, 12}} の6個である。

合成数の列は
:{{math2|[[4]], [[6]], [[8]], [[9]], [[10]], [[12]], [[14]], [[15]], [[16]], [[18]], [[20]], [[21]], [[22]], [[24]], [[25]], [[26]], [[27]], [[28]], [[30]], …}}（{{OEIS|A002808}}）

例えば {{math|60}} は約数の個数が12個もあり、もれなく挙げるのはたいへんである。そこで、「'''{{mvar|a}} が {{mvar|N}} の約数ならば、{{mvar|{{sfrac|N|a}}}} も {{mvar|N}} の約数である'''」ことを使うと、半分程度の労力で済む。
:{{math|60}} の約数：{{math2|[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[6]], {{sfrac|60|6}}, {{sfrac|60|5}}, {{sfrac|60|4}}, {{sfrac|60|3}}, {{sfrac|60|2}}, {{sfrac|60|1}}}}
一般に、[[平方数]]のときに限り約数の個数は[[奇数]]になる。
:{{math|36}} の約数：{{math2|1=[[1]], [[2]], [[3]], [[4]],[[6]](={{sfrac|36|6}}), {{sfrac|36|4}},{{sfrac|36|3}}, {{sfrac|36|2}}, {{sfrac|36|1}}}}
一般に、約数の個数を求めるとなると、[[素因数分解]]が効果を発揮する。
:{{mvar|N}} の素因数分解を {{math|''N'' {{=}} 2{{sup|''a''{{sub|1}}}}3{{sup|''a''{{sub|2}}}}5{{sup|''a''{{sub|3}}}}⋯}} とすると、{{mvar|N}} の約数の個数は {{math|(''a''{{sub|1}} + 1)(''a''{{sub|2}} + 1)(''a''{{sub|3}} + 1)⋯}}個
素因数分解の可能性と一意性（特に一意性）は自明な定理ではない（これを'''[[算術の基本定理]]'''という）。しかし、これにより約数を式で表すことができる：
:{{math|60 {{=}} 2{{sup|2}} × 3 × 5}} より、
:{{math|60}} の約数：{{math|2{{sup|''a''}} × 3{{sup|''b''}} × 5{{sup|''c''}} (0 ≤ ''a'' ≤ 2, 0 ≤ ''b'' ≤ 1, 0 ≤ ''c'' ≤ 1)}}

== 約数に関する定義と性質 ==
*整数 {{mvar|N}} に対して、{{math|±1, ±''N''}} を {{mvar|N}} の'''自明な約数'''という。自明でない約数を'''真の約数'''という。
*{{math|0}} の約数は、全ての（{{math|0}} でない）整数である。
*自然数 {{mvar|N}} の正の約数の個数を {{math|''d''(''N'')}} で表す。これは'''[[約数関数]]''' {{math|σ{{sub|''x''}}}} の {{math|''x'' {{=}} 0}} の場合である。
:{{mvar|N}} の素因数分解を {{math|''N'' {{=}} 2{{sup|''a''{{sub|1}}}}3{{sup|''a''{{sub|2}}}}5{{sup|''a''{{sub|3}}}}⋯}} とすると、
:{{math|''d''(''N'') {{=}} (''a''{{sub|1}} + 1)(''a''{{sub|2}} + 1)(''a''{{sub|3}} + 1)⋯}}

== 約数の個数 ==
自然数 {{mvar|N}} の正の約数の個数を {{math|''d''(''N'')}} で表す。
*{{mvar|N}} の素因数分解を {{math|''N'' {{=}} 2{{sup|''a''{{sub|1}}}}3{{sup|''a''{{sub|2}}}}5{{sup|''a''{{sub|3}}}}…}} とすると、{{math|''d''(''N'') {{=}} (''a''{{sub|1}} + 1)(''a''{{sub|2}} + 1)(''a''{{sub|3}} + 1)…}}
{|class="wikitable" 
!個数!!数!!概要!![[OEIS]]
|-
|{{center|1}}
|[[1]]
|
|
|-
|{{center|2}}
|[[2]], [[3]], [[5]], [[7]], [[11]], [[13]], [[17]], [[19]], [[23]], [[29]], [[31]], [[37]], [[41]], …
|[[素数]]
|{{OEIS|A000040}}
|-
|{{center|3}}
|[[4]], [[9]], [[25]], [[49]], [[121]], [[169]], [[289]], [[361]], [[529]], [[841]], …
|[[素数]]の[[自乗]]
|{{OEIS|A001248}}
|-
|{{center|4}}
|[[6]], [[8]], [[10]], [[14]], [[15]], [[21]], [[22]], [[26]], [[27]], [[33]], [[34]], [[35]], …
|[[素数]]の立方<br />{{mvar|pq}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A030513}}
|-
|{{center|5}}
|[[16]], [[81]], [[625]], [[2401]], [[14641]], [[28561]], [[83521]], …
|[[素数]]の4乗
|{{OEIS|A030514}}
|-
|{{center|6}}
|[[12]], [[18]], [[20]], [[28]], [[32]], [[44]], [[45]], [[50]], [[52]], [[63]], [[68]], …
|[[素数]]の5乗<br />{{math|''pq''{{sup|2}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A030515}}
|-
|{{center|7}}
|[[64]], [[729]], [[15625]], 117649, 1771561, …
|[[素数]]の6乗
|{{OEIS|A030516}}
|-
|{{center|8}}
|[[24]], [[30]], [[40]], [[42]], [[54]], [[56]], [[66]], [[70]], [[78]], [[88]], …
|[[素数]]の7乗<br />[[楔数]]<br />{{math|''pq''{{sup|3}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A030626}}
|-
|{{center|9}}
|[[36]], [[100]], [[196]], [[225]], [[256]], [[441]], [[484]], [[676]], …
|[[素数]]の8乗<br />{{math|''p''{{sup|2}}''q''{{sup|2}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A030627}}
|-
|{{center|10}}
|[[48]], [[80]], [[112]], [[162]], [[176]], [[208]], [[272]], [[304]], [[368]], …
|[[素数]]の9乗<br />{{math|''pq''{{sup|4}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A030628}}
|-
|{{center|11}}
|[[1024]], 59049, 9765625, 282475249, …
|[[素数]]の10乗
|{{OEIS|A030629}}
|-
|{{center|12}}
|[[60]], [[72]], [[84]], [[90]], [[96]], [[108]], [[126]], [[132]], [[140]], [[150]], …
|[[素数]]の11乗<br />{{math|''p''{{sup|2}}''q''{{sup|3}}}}<br />{{math|''pq''{{sup|5}}}}<br />{{math|''pqr''{{sup|2}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}}, {{mvar|r}} は異なる素数）
|{{OEIS|A030630}}
|-
|{{center|13}}
|[[4096]], 531441, 244140625, …
|[[素数]]の12乗
|{{OEIS|A030631}}
|-
|{{center|14}}
|[[192]], [[320]], [[448]], [[704]], [[832]], 1088, 1216, [[1458]], …
|[[素数]]の13乗<br />{{math|''pq''{{sup|6}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A030632}}
|-
|{{center|15}}
|[[144]], [[324]], [[400]], [[784]], [[1936]], [[2025]], [[2500]], [[2704]], …
|[[素数]]の14乗<br />{{math|''p''{{sup|2}}''q''{{sup|4}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A030633}}
|-
|{{center|16}}
|[[120]], [[168]], [[210]], [[216]], [[264]], [[270]], [[280]], [[312]], [[330]], …
|
|{{OEIS|A030634}}
|-
|{{center|17}}
|[[65536]], 43046721, 152587890625, …
|[[素数]]の16乗
|{{OEIS|A030635}}
|-
|{{center|18}}
|[[180]], [[252]], [[288]], [[300]], [[396]], [[450]], [[468]], [[588]], [[612]], …
|
|{{OEIS|A030636}}
|-
|{{center|19}}
|[[262144]], 387420489, 3814697265625, …
|[[素数]]の18乗
|{{OEIS|A030637}}
|-
|{{center|20}}
|[[240]], [[336]], [[432]], [[528]], [[560]], [[624]], [[648]], [[810]], [[816]], …
|
|{{OEIS|A030638}}
|-
|{{center|21}}
|[[576]], [[1600]], [[2916]], [[3136]], [[7744]], [[10816]], …
|[[素数]]の20乗<br />{{math|''p''{{sup|2}}''q''{{sup|6}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A137484}}
|-
|{{center|22}}
|3072, 5120, 7168, 11264, 13312, 17408, …
|[[素数]]の21乗<br />{{math|''pq''{{sup|10}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A137485}}
|-
|{{center|23}}
|4194304, 31381059609, 2384185791015625, …
|[[素数]]の22乗
|{{OEIS|A137486}}
|-
|{{center|24}}
|[[360]], [[420]], [[480]], [[504]], [[540]], [[600]], [[630]], [[660]], [[672]], …
|
|{{OEIS|A137487}}
|-
|{{center|25}}
|[[1296]], [[10000]], 38416, 50625, 194481, …
|[[素数]]の24乗<br />{{math|''p''{{sup|4}}''q''{{sup|4}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A137488}}
|-
|{{center|26}}
|12288, 20480, 28672, 45056, 53248, 69632, …
|[[素数]]の25乗<br />{{math|''pq''{{sup|12}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A137489}}
|-
|{{center|27}}
|[[900]], [[1764]], [[2304]], [[4356]], [[4900]], [[6084]], [[6400]], …
|
|{{OEIS|A137490}}
|-
|{{center|28}}
|[[960]], [[1344]], [[1728]], 2112, 2240, 2496, 3264, …
|
|{{OEIS|A137491}}
|-
|{{center|29}}
|268435456, 22876792454961, …
|[[素数]]の28乗
|{{OEIS|A137492}}
|-
|{{center|30}}
|[[720]], [[1008]], [[1200]], [[1584]], [[1620]], [[1872]], [[2268]], …
|
|{{OEIS|A137493}}
|-
|{{center|31}}
|1073741824, 205891132094649, …
|[[素数]]の30乗
|{{OEIS|A139571}}
|-
|{{center|32}}
|[[840]], [[1080]], [[1320]], [[1512]], 1560, [[1848]], 1890, …
|
|{{OEIS|A175742}}
|-
|{{center|33}}
|9216, 25600, 50176, 123904, …
|[[素数]]の32乗<br />{{math|''p''{{sup|2}}''q''{{sup|10}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A175743}}
|-
|{{center|34}}
|196608, 327680, 458752, 720896, …
|[[素数]]の33乗<br />{{math|''pq''{{sup|16}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A175744}}
|-
|{{center|35}}
|[[5184]], [[11664]], [[40000]], 153664, 250000, …
|[[素数]]の34乗<br />{{math|''p''{{sup|4}}''q''{{sup|6}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A175745}}
|-
|{{center|36}}
|[[1260]], [[1440]], [[1800]], [[1980]], [[2016]], [[2100]], …
|
|{{OEIS|A175746}}
|-
|{{center|37}}
|68719476736, 150094635296999121, …
|[[素数]]の36乗
|{{OEIS|A139572}}
|-
|{{center|38}}
|786432, 1310720, 1835008, …
|[[素数]]の37乗<br />{{math|''pq''{{sup|18}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A175747}}
|-
|{{center|39}}
|36864, 102400, 200704, 495616, …
|[[素数]]の38乗<br />{{math|''p''{{sup|2}}''q''{{sup|12}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A175748}}
|-
|{{center|40}}
|[[1680]], 2160, 2640, 3024, 3120, [[3240]], …
|
|{{OEIS|A175749}}
|-
|{{center|41}}
|1099511627776, 12157665459056928801, …
|[[素数]]の40乗
|{{OEIS|A139573}}
|-
|{{center|42}}
|[[2880]], 4032, 4800, 6336, 7488, 9408, …
|
|{{OEIS|A175750}}
|-
|{{center|43}}
|4398046511104, 109418989131512359209, …
|[[素数]]の42乗
|{{OEIS|A139574}}
|-
|{{center|44}}
|15360, 21504, 27648, 33792, 35840, …
|
|{{OEIS|A175751}}
|-
|{{center|45}}
|[[3600]], [[7056]], [[8100]], 15876, 17424, 19600, …
|
|{{OEIS|A175752}}
|-
|{{center|46}}
|12582912, 20971520, 29360128, …
|[[素数]]の45乗<br />{{math|''pq''{{sup|22}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A175753}}
|-
|{{center|47}}
|70368744177664, 8862938119652501095929, …
|[[素数]]の46乗
|{{OEIS|A139575}}
|-
|{{center|48}}
|[[2520]], 3360, 3780, 3960, 4200, [[4320]], …
|
|{{OEIS|A175754}}
|-
|{{center|49}}
|46656, [[1000000]], 7529536, 11390625, …
|[[素数]]の48乗<br />{{math|''p''{{sup|6}}''q''{{sup|6}}}}（{{mvar|p}}, {{mvar|q}} は異なる素数）
|{{OEIS|A175755}}
|-
|{{center|50}}
|6480, 9072, 14256, 16848, 22032, …
|
|{{OEIS|A175756}}
|}

上記の表で先頭の数は{{OEIS|A005179}}を参照。

*正の約数の個数の列は
:{{math2|[[1]], [[2]], [[2]], [[3]], [[2]], [[4]], [[2]], [[4]], [[3]], [[4]], [[2]], [[6]], [[2]], [[4]], [[4]], [[5]], [[2]], [[6]], [[2]], [[6]], [[4]], [[4]], [[2]], [[8]], [[3]], [[4]], [[4]], [[6]], [[2]], [[8]], …}}（{{OEIS|A000005}}）
*正の約数の個数が奇数である自然数は[[平方数]]に限られる。
*正の約数の個数が自分自身までのどの自然数よりも大きい自然数（[[252]]の倍数に多い）については[[高度合成数]]を参照。
*正の約数の個数の総和の列は
:{{math2|[[1]], [[3]], [[5]], [[8]], [[10]], [[14]], [[16]], [[20]], [[23]], [[27]], [[29]], [[35]], [[37]], [[41]], [[45]], [[50]], [[52]], [[58]], [[60]], [[66]], [[70]], [[74]], [[76]], [[84]], [[87]], [[91]], [[95]], [[101]], …}}（{{OEIS|A006218}}）
*正の約数の個数の総和が自身の整数倍になる数の列は
:{{math2|[[1]], [[4]], [[5]], [[15]], [[42]], [[44]], [[47]], [[121]], [[336]], [[340]], [[347]], 930, 2548, …}}（{{OEIS|A050226}}）
:このときの約数の個数の総和は{{OEIS|A218464}}を参照。
*約数の個数が[[三角数]]になる三角数の列は
:{{math2|[[1]], [[28]], [[45]], [[153]], [[171]], [[325]], [[496]], [[2016]], 3321, …}}（{{OEIS|A116541}}）
*約数の個数が三角数になる三角数で前の約数の個数を上回る数の列は
:{{math2| [[1]], [[28]], [[496]], [[2016]], 41616, 270480, …}}（{{OEIS|A076172}}）
*自身の約数の個数で割りきれる数は
:{{math2| [[1]], [[2]], [[8]], [[9]], [[12]], [[18]], [[24]], [[36]], [[40]], [[56]], [[60]], [[72]], [[80]], [[84]], [[88]], [[96]], [[104]], [[108]], [[128]], [[132]], [[136]], [[152]], [[156]], [[180]],…}}({{OEIS|A033950}})

== 約数の和 ==
自然数 {{mvar|N}} の正の約数の和を、'''[[約数関数]]''' {{math|σ(''N'')}} で表す。素因数分解により、正の約数の和も式で表すことができる。

{{mvar|N}} の素因数分解を {{math|''N'' {{=}} 2{{sup|''a''{{sub|1}}}}3{{sup|''a''{{sub|2}}}}5{{sup|''a''{{sub|3}}}}…}} とすると、
:<math>\begin{align}
\sigma (N) &=(1+2^1 +\cdots +2^{a_1} )(1+3^1 +\cdots +3^{a_2} )(1+5^1 +\cdots +5^{a_3} )\cdots \\
 &=\frac{2^{a_1 +1} -1}{2-1} \cdot \frac{3^{a_2 +1} -1}{3 -1} \cdot \frac{5^{a_3 +1} -1}{5-1} \cdot \cdots
\end{align}</math>
*正の約数の和が奇数になる自然数は、平方数と平方数の2倍のみである。これは平方数の約数の個数が奇数個になることと偶数の素数が {{math|[[2]]}} しかないからである。
:{{math2|[[1]], [[2]], [[4]], [[8]], [[9]], [[16]], [[18]], [[25]], [[32]], [[36]], [[49]], [[50]], [[64]], [[72]], [[81]], [[98]], [[100]], [[121]], [[128]], [[144]], …}}（{{OEIS|A028982}}）
:奇数になる正の約数の和の列は {{math2|[[1]], [[3]], [[7]], [[13]], [[15]], [[31]], [[39]], [[57]], [[63]], [[91]], [[93]], [[121]], [[127]], [[133]], [[171]],…}}（{{OEIS|A060657}}）
*正の約数の和が[[素数]]になる自然数は{{math|[[2]], [[4]], [[9]], [[16]], [[25]], [[64]], [[289]], [[729]], [[1681]], [[2401]],…}}である。（{{OEIS|A023194}}）
:{{math|[[2]]}} 以外は平方数である。これらの数の正の平方根は {{math2|[[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[8]], [[17]], [[27]], …}}である。（{{OEIS|A055638}}）
:[[素数]]になる約数の和の列は {{math|[[3]], [[7]], [[13]], [[31]], [[127]], [[307]], [[1093]], 1723, 2801,…}}である。（{{OEIS|A023195}}）
*自然数 {{math|''n'', ''d''}} に対し、
:{{math|σ(''N'')/''N'' {{=}} ''n''/''d''}}
:を満たす奇数の自然数 {{mvar|N}} が {{mvar|k}} 個の相異なる素因数を持つとき、
:{{math|''N'' < (''d'' + 1){{sup|4{{sup|''k''}}}}}}
:が成り立つ。(Nielsen, 2003)

=== 約数の和の一覧 ===
*正の約数の和の列は {{math|[[1]], [[3]], [[4]] ,[[6]], [[7]], [[8]], [[12]], [[13]], [[14]], [[15]], [[18]], [[20]], [[24]], …}}（{{OEIS|A002191}}）
*各数列における正の約数の和は以下の[[オンライン整数列大辞典]]を参照。
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!数!!約数の和 ([[OEIS]])!!数!!約数の和 ([[OEIS]])
|-
![[自然数]]
|{{OEIS|A000203}}
![[フィボナッチ数]]
|{{OEIS|A063477}}
|-
![[素数]]
|{{OEIS|A008864}}
![[三角数]]
|{{OEIS|A074285}}
|-
![[平方数]]
|{{OEIS|A065764}}
![[立方数]]
|{{OEIS|A065764}}
|-
![[完全数]]
|{{OEIS|A139256}}
![[倍積完全数]]
|{{OEIS|A081756}}
|-
![[階乗数]]
|{{OEIS|A062569}}
![[高度合成数]]
|{{OEIS|A007626}}
|-
![[矩形数]]
|{{OEIS|A083539}}
![[楔数]]
|{{OEIS|A271329}}
|-
!{{mvar|n{{sup|n}}}}
|{{OEIS|A062727}}
![[五角数]]
|{{OEIS|A117948}}
|-
![[回文数]]
|{{OEIS|A076887}}
![[リュカ数]]
|{{OEIS|A272439}}
|}
*正の約数の和に等しくなる自然数の個数が自身までの自然数より大きくなる自然数がある。
:{|class="wikitable" style="text-align:center"
!個数!!約数の和!!数
|-
!1
|{{math|[[1]]}}||{{math|[[1]]}}
|-
!2
|{{math|[[12]]}}||{{math|[[6]], [[11]]}}
|-
!3
|{{math|[[24]]}}||{{math|[[14]], [[15]], [[23]]}}
|-
!5
|{{math|[[72]]}}||{{math|[[30]], [[46]], [[51]], [[55]], [[71]]}}
|-
!6
|{{math|[[168]]}}||{{math|[[60]], [[78]], [[92]], [[123]], [[143]], [[167]]}}
|-
!7
|{{math|[[240]]}}||{{math|[[114]], [[135]], [[158]], [[177]], [[203]], [[209]], [[239]]}}
|}
*正の約数の和に等しくなる自然数が2個以上ある自然数の列は {{math2|[[12]], [[18]], [[24]], [[31]], [[32]], [[42]], [[48]], [[54]], [[56]], [[60]], [[72]], [[80]], …}}（{{OEIS|A159886}}）
:{|class="wikitable"
!style="white-space:nowrap"|約数の和<br>になる個数!!数!!参照
|-
!1
|{{math2|[[1]], [[3]], [[4]], [[6]], [[7]], [[8]], [[13]], [[14]], [[15]], [[20]], [[28]], [[30]], [[36]], [[38]], [[39]], [[40]], [[44]], [[57]], …}}||{{OEIS|A007370}}
|-
!2
|{{math2|[[12]], [[18]], [[31]], [[32]], [[54]], [[56]], [[80]], [[98]], [[104]], [[108]], [[114]], [[124]], [[126]], [[128]], [[132]], [[140]], [[152]], [[156]],…}}||{{OEIS|A007371}}
|-
!3
|{{math2|[[24]], [[42]], [[48]], [[60]], [[84]], [[90]], [[224]], [[228]], [[234]], [[248]], [[270]], [[294]], [[324]], [[450]], [[468]], [[528]],…}}||{{OEIS|A007372}}
|-
!4
|{{math2|[[96]], [[120]], [[180]], [[312]], [[372]], [[420]], [[434]], [[456]], [[540]], [[546]], [[560]], [[624]], [[702]], [[728]], [[798]], [[816]], [[930]], 1064, …}}||{{OEIS|A060660}}
|-
!5
|{{math2|[[72]], [[144]], [[192]], [[216]], [[588]], [[600]], [[648]], [[792]], [[936]], [[992]], [[1056]], …}}||{{OEIS|A060661}}
|-
!6
|{{math2| [[168]], [[252]], [[288]], [[384]], [[768]], [[1248]], [[1584]], …}}||{{OEIS|A060662}}
|-
!7
|{{math2|[[240]], [[684]], [[744]], [[912]], [[1092]], [[1176]], [[1200]], 1368, …}}||{{OEIS|A060663}}
|-
!8
|{{math2|[[336]], [[432]], [[672]], [[756]], [[840]], [[1536]], [[1620]], [[1764]], …}}||{{OEIS|A060664}}
|-
!9
|{{math2|[[360]], [[480]], 1488, [[1800]], [[1824]], [[2184]], …}}||{{OEIS|A060665}}
|-
!10
|{{math2|[[504]], [[864]], [[960]], [[1152]], [[1260]], [[2400]], [[3276]], 3888, 4992, …}}||{{OEIS|A060666}}
|-
!11
|{{math2|[[576]], [[1296]], 2976, 3168, 3648, …}}||{{OEIS|A060678}} 
|-
!12
|{{math2|[[1512]], [[1872]], [[2352]], 3192, [[3780]], [[4104]], 4560, …}}||{{OEIS|A060676}}
|}
:*上記の表で先頭の数は{{OEIS|A007368}}を参照
*正の約数の和が[[完全数]]になる自然数の列は {{math2|[[5]] ([[6]]), [[12]] ([[28]]) , [[427]] ([[496]]), 10924032 (33550336), …}}（{{OEIS|A146542}}）
*正の約数の和が[[倍積完全数]]になる自然数の列は {{math2|[[1]], [[5]], [[12]], [[54]], [[56]], [[87]], [[95]], [[276]], [[308]], [[427]], …}}（{{OEIS|A066961}}）
*正の約数の和が[[三角数]]になる自然数の列は {{math2|[[1]], [[2]], [[5]], [[8]], [[12]], [[22]], [[36]], [[45]], [[54]], [[56]], [[87]], [[95]], [[98]], [[104]], …}}({{OEIS|A045746}}) 
*正の約数の和が[[平方数]]になる数の列は {{math2|[[1]], [[3]], [[22]], [[66]], [[70]], [[81]], [[94]], [[115]], [[119]], [[170]], [[210]], …}}（{{OEIS|A006532}}）
*正の約数の和が[[立方数]]になる数の列は {{math2|[[1]], [[7]], [[102]], [[110]], [[142]], [[159]], [[187]], [[381]], [[690]], [[714]], …}}（{{OEIS|A020477}}）

=== 約数の和から元の自然数の求め方 ===
正の約数の和が {{mvar|n}} となる自然数 {{mvar|N}} を求めるには、初項 {{math|1}} の素因数のべき和の積を既知とするところから求める必要がある。
:初項 {{math|1}} の素数のべき和の列は {{math2|[[1]], [[3]], [[4]], [[6]], [[7]], [[8]], [[12]], [[13]], [[14]], [[15]], [[18]], [[20]], [[24]], [[30]], …}}（{{OEIS|A108348}}）
例：正の約数の和が {{math|60}} になる自然数 {{mvar|N}} の求め方：
:{{math2|60 {{=}} 1 × 60 {{=}} 2 × 30 {{=}} 3 × 20 {{=}} 4 × 15 {{=}} 5 × 12 {{=}} 6 × 10 {{=}} 2 × 3 × 10 {{=}} 2 × 5 × 6 {{=}} 3 × 4 × 5 {{=}} 2 × 2 × 3 × 5}}
:これらのうち初項 {{math|1}} の素数のべき和の積になっているのは
:① {{math|1 × 60}}  ② {{math|3 × 20}}  ③ {{math|4 × 15}}
:の3通りである。
:① {{math|σ(''N'') {{=}} 1 × (1 + 59{{sup|1}})}} → {{math|''N'' {{=}} 1 × 59 {{=}} 59}}
:② {{math|σ(''N'') {{=}} (1 + 2{{sup|1}}) × (1 + 19{{sup|1}})}} → {{math|''N'' {{=}} 2 × 19 {{=}} 38}}
:③ {{math|σ(''N'') {{=}} (1 + 3{{sup|1}}) × (1 + 2{{sup|1}} + 2{{sup|2}} + 2{{sup|3}})}} → {{math|''N'' {{=}} 3 × 2{{sup|3}} {{=}} 24}}
:（ただし因数が {{math|[[31]]}} または {{math|8191}} のときは、初項 {{math|1}} の素数のべき和の表示が一意でなく、2通りなので、答えが複数求まる。
::{{math|31 {{=}} 1 + 2{{sup|1}} + 2{{sup|2}} + 2{{sup|3}} + 2{{sup|4}} {{=}} 1 + 5{{sup|1}} + 5{{sup|2}}}}
::{{math|8191 {{=}} 1 + 2{{sup|1}} + 2{{sup|2}} + … + 2{{sup|12}} {{=}} 1 + 90{{sup|1}} + 90{{sup|2}}}}

=== 約数の和の総和 ===
*正の約数の和の総和の列は {{math2|[[1]], [[4]], [[8]], [[15]], [[21]], [[33]], [[41]], [[56]], [[69]], [[87]], [[99]], [[127]], [[141]], [[165]], [[189]], …}}（{{OEIS|A024916}}）
**正の約数の和の総和が自身の整数倍になる自然数の列は {{math2|[[1]], [[2]], [[8]], [[11]], [[17]], [[63]], [[180]], [[259]], 818, 2161, …}}（{{OEIS|A056550}}）
**:このときの約数の和の総和の列は {{OEIS|A168133}} を、何倍になるかは {{OEIS|A168132}} を参照。
**正の約数の和の総和が自身の正の約数の和の整数倍になる自然数の列は {{math2|[[1]], [[3]], [[29]], [[365]], [[1225]], 81595, …}}（{{OEIS|A168127}}）、このときの約数の和の総和は {{OEIS|A168130}} を、何倍になるかは {{OEIS|A168128}} を参照。

=== その他 ===
*正の約数の和がそれまでより大きい自然数を[[高度過剰数]]という。[[約数関数]]で表すと {{math|''k'' < ''N''}} のとき {{math|σ(''k'') < σ(''N'')}} となる {{mvar|N}} のことである。
:{{math2|[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[6]], [[8]], [[10]], [[12]], [[16]], [[18]], [[20]], [[24]], [[30]], [[36]], [[42]], [[48]], [[60]], [[72]], [[84]], [[90]], [[96]], [[108]], [[120]], [[126]], …}}（{{OEIS|A002093}}）
*連続する2つの整数で正の約数の和が等しくなる2数がある。約数関数で表すと {{math|σ(''N'') {{=}} σ(''N'' + 1)}} となる {{mvar|N}} のことである。
:小さい方の数の列は {{math2|[[14]], [[206]], 957, 1334, 1364, 1634, …}}（{{OEIS|A002961}}）
:大きい方の数は{{OEIS|A231546}}を参照、約数の和の列は{{OEIS|A053215}}を参照。
*正の約数の和にならない自然数の列は
:{{math2|[[2]], [[5]], [[9]], [[10]], [[11]], [[16]], [[17]], [[19]], [[21]], [[22]], [[23]], [[25]], [[26]], [[27]], [[29]], [[33]], [[34]], [[35]], [[37]], [[41]], [[43]], [[45]], [[46]], [[47]], [[49]], [[50]], …}}（{{OEIS|A007369}}）
*''N'' で <math>\sigma^m(n)=N~(m\geqq 1)</math> を満たす ''n'' が何個あるかの数列については、{{OEIS|A241954}}を参照。

== 未解決問題 ==
*正の約数の総和が素数になる自然数は無数に存在するか。
*2個以上の正の約数の総和になる奇数は無数に存在するか。
*2個以上連続で正の約数の総和になる自然数の組は無数に存在するか。
*連続して正の約数の和にならない数の組の最大個数は何個連続か。

== 一般化 ==
約数の概念は、[[除法の原理]]が定義される、[[整域]]で一般化される。[[ユークリッド環|ユークリッド整域]]などの[[一意分解整域]]、例えば[[可換体]]上の一変数[[多項式環]] {{math|''K''[''x'']}} などである。

すなわち、任意の元 {{mvar|f}} に対し、{{mvar|f}} を余りなく割り切る元を {{mvar|f}} の'''約元'''（divisor）あるいは'''因子'''（factor）という。{{mvar|f}} が真の約元を持たないとき {{mvar|f}} を'''既約元'''という（'''素因子'''あるいは'''既約因子'''ともいう）。

ユークリッド整域では単元（unit, 可逆元 invertible element）倍の違いを除いて素因数分解の一意性が成り立つ。素因数分解の一意性を要求しないならば、さらに一般の[[可換環]] {{mvar|R}} に対しても、単項イデアルの包含関係により約数の概念を拡張することができる。すなわち、{{math|''a'', ''b'' ∈ ''R''}} に対し、単項イデアル {{math|(''a'') {{=}} ''aR'',}} {{math|(''b'') {{=}} ''bR''}} が {{math|(''a'') ⊃ (''b'')}} を満たすとき、{{mvar|a}} は {{mvar|b}} の約元（あるいは約数、因子）であるといい、{{math|''a'' {{!}} ''b''}} と表す<ref>{{citation
|title=Encyclopedic Dictionary of Mathematics
|edition=Second
|volume=I
|editor=Kiyosi Itô
|isbn=978-0-262-09026-1
|publisher=MIT Press
|year=1987
|page={{google books quote|id=WHjO9K6xEm4C|page=251|251}}
}}</ref>。このとき、{{mvar|b}} は {{mvar|a}} の倍元（または倍数）であるともいう。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[倍数]]
*[[公約数]]、[[最大公約数]]
*[[素因数分解]]
*[[約数関数]]
*[[友愛数]]、[[婚約数]]、[[社交数]]、[[拡大友愛数]]
*[[完全数]]
*[[アリコット数列]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Divisor|title=Divisor}}
* {{SpringerEOM|urlname=Divisor_(of_an_integer_or_of_a_polynomial)|title=Divisor (of an integer or of a polynomial)}}
{{Divisor classes}}

{{DEFAULTSORT:やくすう}}
[[Category:除法]]
[[Category:初等整数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]