約数関数のソースを表示

[[Image:Divisor.svg|thumb|right|nの約数の個数を表す<br> σ<sub>0</sub>(n)≡d(n) のグラフ(n≦250)]]
[[Image:Sigma_function.svg|thumb|right|nの約数の総和を表す<br> σ<sub>1</sub>(n)≡σ(n) のグラフ(n≦250)]]
'''約数関数'''（やくすうかんすう、{{lang-en-short|divisor function}}）は、[[自然数]] ''n'' を[[変数 (数学)|変数]]とする[[関数 (数学)|関数]]で、''n'' の全ての[[約数]]を整数乗した数の[[総和]]を値にとるものである。

== 定義 ==
自然数 {{mvar|n}} に対して、約数関数 {{math|σ{{sub|''x''}}(''n'')}} とは、{{mvar|n}} の約数 {{mvar|d}} の {{mvar|x}} 乗和を値に取る関数である：
:<math>\sigma_x (n)= \textstyle\sum\limits_{d|n} d^x</math>
特に、{{math2|''x'' {{=}} 0}} のとき {{math|σ{{sub|0}}(''n'')}} は {{mvar|n}} の約数の個数を表し、{{math|d(''n'')}} や {{math|τ(''n'')}} と表されることもある。{{math2|''x'' {{=}} 1}} のとき {{math|σ{{sub|1}}(''n'')}} は {{mvar|n}} の約数の総和であり、単に省略して {{math|σ(''n'')}} と表す場合もある。

また、約数関数 {{math|σ{{sub|''x''}}(''n'')}} の[[写像の反復|{{mvar|k}}階反復]]を
:<math>{\sigma_x}^k (n):= \underbrace{\sigma_x(\cdots(\sigma_x}_k (n)\cdots)</math>
と書く。例えば <math>{\sigma_x}^2(n)=\sigma_x(\sigma_x(n)), \quad {\sigma_x}^3 (n)=\sigma_x(\sigma_x(\sigma_x(n)))

</math> である。

''k'' = 1 、''x'' = 1 のときはどちらもそれぞれ省略して、σ(''n'') = σ{{sub|1}}(''n'')（k=x=1の場合）、σ{{sup|2}}(''n'')（k=2,x=1の場合）などと表記する場合もある。

== 概要 ==
{{math|σ{{sub|0}}(''n'')}} の値は、小さい順に次のようになる：
:1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4 …（{{OEIS|A000005}}）
{{math|σ{{sub|1}}(''n'')}} の値は、小さい順に次のようになる：
:1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24 …（{{OEIS|A000203}}）
{{math|σ{{sub|2}}(''n'')}} の値は、小さい順に次のようになる：
:1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, 122, 210, 170, 250, 260 …（{{OEIS|A001157}}）

== 計算例 ==
例えば ''n'' = 15 では、
:d(15) = σ{{sub|0}}(15) = 1{{sup|0}} + 3{{sup|0}} + 5{{sup|0}} + 15{{sup|0}} = 4,
:σ(15) = σ{{sub|1}}(15) = 1{{sup|1}} + 3{{sup|1}} + 5{{sup|1}} + 15{{sup|1}} = 24,
:σ{{sub|2}}(15) = 1{{sup|2}} + 3{{sup|2}} + 5{{sup|2}} + 15{{sup|2}} = 260

== 特徴 ==
{{mvar|p}} を[[素数]]とすると、{{mvar|p}} の約数は {{math|1}} と {{mvar|p}} の 2個のみであるから {{math2|1=d(''p'') = 2, σ(''p'') = ''p'' + 1}} となる。また、{{mvar|n}} を自然数とすると、{{mvar|p{{sup|n}}}} の約数は {{math2|1, ''p'', ''p''{{sup|2}}, …, ''p{{sup|n}}''}} の {{math2|''n'' + 1}}個なので {{math2|1=d(''p{{sup|n}}'') = ''n'' + 1, σ(''p{{sup|n}}'') = (''p''{{sup|''n''+1}} &minus; 1)/(''p'' &minus; 1)}} となる。

{{math|d(''n'')}} および {{math|σ(''n'')}} は {{math2|''n'' {{=}} 1}} のとき[[最小値]] 1 をとる。{{math2|d(''n'') {{=}} ''n''}} の解は {{math2|''n'' {{=}} 1, 2}} の 2 個のみであり、{{math2|σ(''n'') {{=}} ''n''}} の解や {{math2|d(''n'') {{=}} σ(''n'')}} の解は {{math2|''n'' {{=}} 1}} のみである。{{math2|''n'' ≥ 3}} では {{math2|2 ≤ d(''n'') < ''n'' < σ(''n'')}} が成り立つ。

約数関数 {{math|σ{{sub|''x''}}(''n'')}} は[[乗法的関数]]（{{Lang-en-short|Multiplicative function}}）であるが、{{仮リンク|完全乗法的関数|en|Completely multiplicative function}}ではない。

:<math>\gcd(a, b)=1 \Longrightarrow \sigma_x(ab)=\sigma_x(a)\sigma_x(b).</math>

{{mvar|n}} を[[素因数分解]]して以下の式の形で表す。
:<math>n= \textstyle\prod\limits_{i=1}^r {p_i}^{a_i}
</math>
ここで ''r'' は ''n'' の[[素因子]]の個数、''p{{sub|i}}'' はその中で ''i'' 番目に小さい素因子、''a{{sub|i}}'' は素因数分解で現れる各素因子の[[冪乗|指数]]部である。ここから
:<math>\sigma_x (n)= \textstyle\prod\limits_{i=1}^r \frac{{p_i}^{(a_i +1)x} -1}{{p_i}^x -1} \quad (x \ne 0)
</math>
が導かれる。これは
:<math>\sigma_x (n) = \textstyle\prod\limits_{i=1}^r \sum\limits_{j=0}^{a_i} {p_i}^{jx} = \prod\limits_{i=1}^r (1+ {p_i}^x + {p_i}^{2x} + \cdots + {p_i}^{a_i x} )</math>
と[[同値]]である。''x'' = 0 のときは 
:<math>\sigma_0(n)\equiv d(n)= \textstyle\prod\limits_{i=1}^r (a_i+1)</math>
となる。例えば ''n'' = ''pq'' （''p'', ''q'' は素数）とすると、σ(''n'') = (1 + ''p'')(1 + ''q'') = ''n'' + ''p'' + ''q'' + 1, d(''n'')=(1 + 1)(1 + 1) = 4 となる。

*約数関数から導き出される数列 <math>a_n=\sigma(a_{n-1})</math> はその初期値によって異なる発散の仕方をする。( ''a''{{sub|1}} = 1 を除く)
:例. ''a''{{sub|1}} = 2 のとき [[2]], [[3]], [[4]], [[7]], [[8]], [[15]], [[24]], [[60]], [[168]], [[480]], … ({{OEIS|A007497}})
::''a''{{sub|1}} = 5 のとき [[5]], [[6]], [[12]], [[28]], [[56]], [[120]], [[360]], 1170, 3276, … ({{OEIS|A051572}})
::''a''{{sub|1}} = 16 のとき [[16]], [[31]], [[32]], [[63]], [[104]], [[210]], [[576]], 1651, 1792, … ({{OEIS|A257349}})
::この初期値は [[2]], [[5]], [[16]], [[19]], [[27]], [[29]], [[33]], [[49]], [[50]], [[52]], [[66]], [[81]], [[85]], [[105]],… ({{OEIS|A257348}})

== その他の公式 ==
[[オイラー]]は約数関数が以下のように表されることを示した。<ref>{{Cite arXiv|eprint=math/0411587|last1=Euler|first1=Leonhard|last2=Bell|first2=Jordan|title=An observation on the sums of divisors|year=2004}}</ref>

　　<math>\begin{align}
\sigma_1(n) &= 
\sigma_1(n-1) + 
\sigma_1(n-2)
-\sigma_1(n-5)
-\sigma_1(n-7)
+\sigma_1(n-12)
+\sigma_1(n-15) - ... \\
&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}}
\left(
\sigma_1
\left(
n-\frac{1}{2}(3i^2-i)
\right)
+
\sigma_1
\left(
n-\frac{1}{2}(3i^2+i)
\right)
\right)
\end{align}</math>

なおこの数式で、<math>n<0</math> のとき <math>\sigma_1(n)=0
</math> とし、<math>\sigma_1(0) = n</math> とする。

約数関数の母関数は{{仮リンク|ランベルト級数|en|Lambert series}}である。

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n^a x^n}{1-x^n} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty n^a x^{m\,n} = \sum_{n=1}^\infty x^n \sigma_a(n)</math>

約数関数は以下の[[三角関数]]を用いた式で表すこともできる。
{{Indent|<math>\sigma_x (n)= \sum_{\mu=1}^n \mu^{x-1} \sum_{\nu=1}^{\mu} \cos \frac{2\pi\nu n}{\mu}</math>}}

また[[リーマンゼータ関数|ゼータ関数]] ζ(s) とは
{{Indent|<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a (n)}{n^s} =\zeta(s) \zeta(s-a)</math>}}
という関係式をもつ。

σ(''n'')の増加の割合は以下の式で表される。
{{Indent|<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma</math>}}
γ は[[オイラー定数]]である。

また、d(''n'')の増加の割合は以下の式で表される。
{{Indent|<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\log d(n) \log\log n}{\log n}=\log 2</math>}}
実際、左辺の[[上極限]]記号内の分数の値が最大となるのは <math>n=6983776800</math> のときで、その値は <math>1.0660186\ldots </math> であることが知られている<ref>J. L. Nicolas et G. Robin, Majorations explicites pour le nombre de diviseurs de $N$, ''Canad. Math. Bull.'' '''26''' (1983), 485--492.</ref>。
特に、任意の &epsilon; > 0 に対して、d(''n'') = o(''n''<sup>&epsilon;</sup>) が成り立つ。

:<math>\sigma (n)<e^{\gamma} n\log \log n \,</math>　(''n'' > [[5040]]) 
が真であるなら[[リーマン予想]]も真であることが証明されている。つまりこの不等式を満たさない最大の数が 5040 であり<ref>σ(5040) = 19344, ''e''<sup>γ</sup> ･ 5040 log log 5040 = 19237.84...</ref>、5041 以上の全ての自然数がこの不等式を満たすならばリーマン予想は真である。もしリーマン予想が偽ならこの不等式を満たさない ''n'' は無数に存在する。


== 約数関数の値 ==

''x''=0～21についてのσ<sub>x</sub>(''n'')の値はオンライン整数列大辞典に数列として掲載されている。
{| class="wikitable"
|+ オンライン整数列大辞典に掲載されている約数関数
! x !! 約数関数 σ<sub>x</sub>(''n'') !! !!値のリスト 
|-
! 0
| σ<sub>0</sub>(''n'')||({{OEIS|A000005}}) ||[https://oeis.org/A000005/b000005.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 1
| σ<sub>1</sub>(''n'')||({{OEIS|A000203}}) ||[https://oeis.org/A000203/b000203.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 2
| σ<sub>2</sub>(''n'')||({{OEIS|A001157}}) ||[https://oeis.org/A001157/b001157.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 3
| σ<sub>3</sub>(''n'')||({{OEIS|A001158}}) ||[https://oeis.org/A001158/b001158.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 4
| σ<sub>4</sub>(''n'')||({{OEIS|A001159}}) ||[https://oeis.org/A001159/b001159.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 5
| σ<sub>5</sub>(''n'')||({{OEIS|A001160}}) ||[https://oeis.org/A001160/b001160.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 6
| σ<sub>6</sub>(''n'')||({{OEIS|A13954}}) ||[https://oeis.org/A013954/b013954.txt  Table of n, a(n) for n = 1..1000]
|-
! 7
| σ<sub>7</sub>(''n'')||({{OEIS|A008410}}) ||[https://oeis.org/A008410/b008410.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 8
| σ<sub>8</sub>(''n'')||({{OEIS|A013956}}) ||[https://oeis.org/A013956/b013956.txt  Table of n, a(n) for n = 1..1000]
|-
! 9
| σ<sub>9</sub>(''n'')||({{OEIS|A013957}}) ||[https://oeis.org/A013957/b013957.txt  Table of n, a(n) for n = 1..1000]
|-
! 10
| σ<sub>10</sub>(''n'')||({{OEIS|A013958}}) ||[https://oeis.org/A013958/b013958.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 11
| σ<sub>11</sub>(''n'')||({{OEIS|A013959}}) ||[https://oeis.org/A013959/b013959.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 12
| σ<sub>12</sub>(''n'')||({{OEIS|A013960}}) ||[https://oeis.org/A013960/b013960.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 13
| σ<sub>13</sub>(''n'')||({{OEIS|A013961}}) ||[https://oeis.org/A013961/b013961.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 14
| σ<sub>14</sub>(''n'')||({{OEIS|A015773}}) ||[https://oeis.org/A015773/b015773.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 15
| σ<sub>15</sub>(''n'')||({{OEIS|A015774}}) ||[https://oeis.org/A015774/b015774.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 16
| σ<sub>16</sub>(''n'')||({{OEIS|A013964}}) ||[https://oeis.org/A013964/A013964.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 17
| σ<sub>17</sub>(''n'')||({{OEIS|A013965}}) ||[https://oeis.org/A013965/b013965.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 18
| σ<sub>18</sub>(''n'')||({{OEIS|A094470}}) ||[https://oeis.org/A094470/b094470.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 19
| σ<sub>19</sub>(''n'')||({{OEIS|A013967}}) ||[https://oeis.org/A013967/b013967.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 20
| σ<sub>20</sub>(''n'')||({{OEIS|A013968}}) ||[https://oeis.org/A013968/b013968.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|-
! 21
| σ<sub>21</sub>(''n'')||({{OEIS|A013969}}) ||[https://oeis.org/A013969/b013969.txt  Table of n, a(n) for n = 1..10000]
|}

== 例 ==

σ(''n'') < 2''n'' を満たす ''n'' を[[不足数]]、σ(''n'') = 2''n'' を満たす ''n'' を[[完全数]]、σ(''n'') > 2''n'' を満たす ''n'' を[[過剰数]]という。

6, 28, 496 などが完全数として知られている。偶数の完全数全体は[[メルセンヌ素数]] 2<sup>''p''</sup> &minus; 1 に対して 2<sup>''p''&minus;1</sup>(2<sup>''p''</sup> &minus; 1) と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の完全数が存在するかどうかは古くからの[[数学上の未解決問題|数論の未解決問題]]として有名である。
*完全数が 2<sup>''n''&minus;1</sup> × (2<sup>''n''</sup> &minus; 1) で表せることからある数 ''n'' とその約数の和 σ(''n'') との積が完全数となる場合がある。この完全数を含む ''n'' × σ(''n'') の数列は [[1]], [[6]], [[12]], [[28]], [[30]], [[72]], [[56]], [[120]], [[117]], [[180]], [[132]], [[336]], [[182]], [[336]], [[360]], [[496]], …である。({{OEIS|A064987}})
このほかにも、約数関数、特に約数の和の関数 σ(''n'') の値に関しては多くの概念が考察され、多くの未解決問題が提示されている。いくつかの例を挙げる。
*σ(''n'') = 2''n'' &minus; 1 を満たす ''n'' を[[概完全数]]といい、σ(''n'') = 2''n'' + 1 を満たす ''n'' を[[準完全数]]という。概完全数は 2 の累乗（1 も含む）が知られているが、それ以外に存在するかどうか知られていない。準完全数は存在するかどうか未だに分かっていない。準完全数が存在するならば、それは奇数の平方数でなければならないことが知られている。
*σ(''n'') = ''kn'' (''k'':整数) を満たす ''n'' を ''k''-[[倍積完全数|倍完全数]]という。例えば [[120]] は3倍完全数である。現在知られている[[倍積完全数]]は ''n'' = 1(このとき、''k'' = 1)を除いて全て偶数である。1 以外に奇数の[[倍積完全数]]が存在するか否かは知られていない。
* σ(σ(''n'')) = 2''n'' を満たす ''n'' を[[超完全数]]という。偶数の[[超完全数]]は[[メルセンヌ素数]] 2<sup>''p''</sup> &minus; 1 に対して、2<sup>''p''&minus;1</sup> と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の[[超完全数]]が存在するか否かは知られていない。奇数の[[超完全数]]が存在するならば、それは平方数で少なくとも2つの相異なる素因数を持たなければならないことが知られている。
**[[超完全数]]は [[2]], [[4]], [[16]], [[64]], [[4096]], [[65536]], 262144,…である。 ({{OEIS|A019279}})
*σ(''n'') = σ(''m'') = ''n'' + ''m'' を満たす相異なる数 ''n'', ''m'' の組を[[友愛数]]という。(''n'', ''m'') = ([[220]], [[284]])などがそれである。[[友愛数]]が無限に存在するか否かは知られていない。
**それと対照的に、 σ(''n'') = σ(''m'') = ''n'' + ''m'' + 1 を満たす相異なる数 ''n'', ''m'' の組を[[婚約数]]という。(''n'', ''m'') = ([[140]], [[195]])などがそれである。[[婚約数]]は無限に存在するか否かは証明されていない。
*d(''n'') = d(''n'' + 1) を満たす ''n'' は無数に存在することが証明されている。 (例 : ''n'' = [[2]], [[14]], [[21]], [[26]], [[33]], [[34]], ･･･({{OEIS|A005237}}))
**d(''n'') = d(''n'' + 1) = d(''n'' + 2) を満たす ''n'' は[[33]], [[85]], [[93]], [[141]], [[201]], [[213]], [[217]], [[230]], …である。({{OEIS|A005238}})中央の数の数列は{{OEIS|A169834}}を参照。
**d(''n'') = d(''n'' + 1) = d(''n'' + 2) = d(''n'' + 3) を満たす ''n'' は[[242]], 3655, 4503, 5943, 6853, 7256, …である。({{OEIS|A006601}})
**5連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 11605, 12855, 13782, 19142, 21494, 28374,…である。({{OEIS|A049051}})
**6連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 28374, 90181, 157493, 171893, 171894,…である。({{OEIS|A049052}})
**7連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 171893, 180965, 647381,…である。({{OEIS|A049053}})
**約数の個数が同じ連続整数の最初の数は [[1]], [[2]], [[33]], [[242]], 11605, 28374, 171893, 1043710445721, 2197379769820 ({{OEIS|A006558}})、9連続整数まであることが知られている。

== 関連項目 ==
*[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]
*[[リーマン予想]]
*[[不足数]]-[[完全数]]-[[過剰数]]
*[[友愛数]]

== 注釈 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:やくすうかんすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数論的関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[de:Teilersumme]]
[[hu:Osztóösszeg-függvény]]
[[pl:Funkcja σ]]
{{Divisor classes}}