素因数のソースを表示

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'''素因数'''（そいんすう、{{lang-en-short|prime factor}}）とは、[[数学]]における[[自然数]]の[[約数]]になる[[素数]]のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを[[素因数分解]]という。例えば 60 は 2<sup>2</sup>×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の3つである。また 7 は素数であるため、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを'''素因子'''（そいんし）、素因数分解のことを素因子分解ということもある。

2つの自然数が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であることと、2つの自然数が共通の素因数を持たないことは[[同値]]である。なお [[1]] は素因数を持たない数であり、したがって 1 は全ての（1 自身を含めた）自然数と互いに素である。

自然数の素因数分解の結果は、素因数を掛ける順番の違いを除けば一意的に決まる。この事実は[[算術の基本定理]]と呼ばれている。

==素因数の個数==
自然数 {{mvar|n}} の'''相異なる素因数の個数'''を与える[[関数 (数学)|関数]]を {{math|''&omega;''(''n'')}} と表記し、{{mvar|n}} の'''重複も含めた素因数の総数'''を与える関数を {{math|&Omega;(''n'')}} と表記する。{{mvar|n}} が
:<math>n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i} = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dotsm p_k^{\alpha_k}</math>
（ただし {{math|''p''<sub>1</sub>}}, {{math|''p''<sub>2</sub>}}, ..., {{math|''p''<sub>''k''</sub>}} は相異なる素数、{{math|''&alpha;''<sub>1</sub>}}, ..., {{math|''&alpha;''<sub>''k''</sub>}} は {{math|1}} 以上の整数） と素因数分解されるとき、
:<math>\omega(n)=k,</math>
:<math>\Omega(n) = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i = \alpha_1+\dotsb+\alpha_k</math>
である。例えば、{{math|1=60 = 2<sup>2</sup>・3・5}} であるから、{{math|1=''&omega;''(60) = 3}}, {{math|1=&Omega;(60) = 2 + 1 + 1 = 4}} である。

素因数は {{math|2}} 以上であるから
:<math>\Omega(n)\leq \log n/\log 2</math>
が任意の {{mvar|n}} に対して成り立ち、等号はちょうど {{mvar|n}} が[[2の冪乗]]であるときに成り立つ。

また、{{math|''ω''(''n'')}} の増加の割合は以下の式で表される。
:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\omega(n) \log\log n}{\log n}=1.</math>

より厳密には、以下の式が成り立つ{{sfn|Robin|1983}}。

:<math>\begin{align}
\omega(n) &\leq 1.38402\,\frac{\log n}{\log\log n} &(n\geq 3),\\
\omega(n) &\leq \frac{\log n}{\log\log n}+1.45743\,\frac{\log n}{(\log\log n)^2} &(n\geq 3),\\
\omega(n) &\leq \frac{\log n}{\log\log n-1.1714} &(n\geq 26).
\end{align}</math>

自然数における具体的な ω(''n'') の値については{{OEIS|A001221}}を、 Ω(''n'') の値は{{OEIS|A001222}}を参照。

==最大素因数==

最大素因数（さいだいそいんすう、英: largest prime factor）とは、その数における最大の素因数になる素数のことである。その数が素数の場合はその数自身が最大素因数となる。

{|class="wikitable" style="text-align:center"
!数!! 最大素因数([[OEIS]])!!数!!最大素因数 ([[OEIS]])
|-
![[フィボナッチ数]]
|{{OEIS2C|A060385}}
![[三角数]]
|{{OEIS2C|A069902}}
|-
!''n''!&minus;1
|{{OEIS2C|A002582}}
!''n''!+1
|{{OEIS2C|A002583}}
|-
!2{{sup|''n''}}&minus;1
|{{OEIS2C|A005420}}
!2{{sup|''n''}}+1
|{{OEIS2C|A002587}}
|-
!3{{sup|''n''}}&minus;1
|{{OEIS2C|A074477}}
!3{{sup|''n''}}+1
|{{OEIS2C|A074476}}
|-
!5{{sup|''n''}}&minus;1
|{{OEIS2C|A074479}}
!5{{sup|''n''}}+1
|{{OEIS2C|A074478}}
|-
!7{{sup|''n''}}&minus;1
|{{OEIS2C|A074249}}
!7{{sup|''n''}}+1
|{{OEIS2C|A227575}}
|-
!11{{sup|''n''}}&minus;1
|{{OEIS2C|A274910}}
!11{{sup|''n''}}+1
|{{OEIS2C|A062308}}
|}

==最小素因数==

最小素因数（さいしょうそいんすう、英: smallest prime factor）とは、その数における最小の素因数になる素数のことである。その数が素数の場合はその数自身が最小素因数となる。

{|class="wikitable" style="text-align:center"
!数!! 最小素因数([[OEIS]])!!数!!最小素因数 ([[OEIS]])
|-
![[フィボナッチ数]]
|{{OEIS2C|A060383}}
![[三角数]]
|{{OEIS2C|A069901}}
|-
!''n''!&minus;1
|{{OEIS2C|A054415}}
!''n''!+1
|{{OEIS2C|A051301}}
|-
!2{{sup|''n''}}&minus;1
|{{OEIS2C|A049479}}
!2{{sup|''n''}}+1
|{{OEIS2C|A002586}}
|}

==関連する数==

*[[スミス数]]とは、合成数であって、その素因数の数字の和と各桁の数字の和が等しい数のことである。
*[[ルース＝アーロン・ペア]]とは、連続する自然数の組であって、それぞれの素因数の和が互いに等しくなる2つの数の組のことである。

*2以上の自然数における素因数の和は 2, 3, 2, 5, 5, 7, 2, 3, 7, … である。({{OEIS|A008472}})
**[[完全数]]における素因数の和は [[5]], [[9]], [[33]], [[129]], 8193, … である。({{OEIS|A239546}})
*2以上の自然数における素因数の積は 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, … である。({{OEIS|A007947}})
**[[完全数]]における素因数の積は  [[6]], [[14]], [[62]], [[254]], 16382,  … である。これは[[メルセンヌ素数]]の2倍の数である。({{OEIS|A139257}})

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite journal|first=Guy|last=Robin|title=Estimation de la fonction de Tchebychef {{mvar|θ}} sur le {{mvar|k}}-ième nombre premier et grandes valeurs de la fonction {{math|''ω''(''n'')}} nombre de diviseurs premiers de {{mvar|n}}|journal=Acta Arith.|volume=42|date=1983|pages=367&ndash;389|ref=harv}}

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[算術の基本定理]]
{{Divisor classes}}

{{DEFAULTSORT:そいんすう}}
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]