素数の間隔のソースを表示

[[画像:Prime-gap-frequency-distribution.svg|400px|thumb|16億までの素数の間隔の[[度数分布]]。ピークは6の倍数で生じている<ref>[https://arxiv.org/abs/cond-mat/0310148 "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?", S. Ares & M. Castro, 2005]</ref>。]]
'''素数の間隔'''（そすうのかんかく、prime gap）は、連続する2つの[[素数]]の差。{{mvar|g{{sub|n}}}} もしくは {{math|''g''(''p{{sub|n}}'')}} で表される {{mvar|n}} 番目の素数の間隔は、{{math2|''n'' + 1}} 番目の素数と {{mvar|n}} 番目の素数の差である。すなわち
:<math>g_n = p_{n+1} - p_n</math>
{{math2|1=''g''{{sub|1}} = 1, ''g''{{sub|2}} = ''g''{{sub|3}} = 2, ''g''{{sub|4}} = 4}} である。素数の間隔の[[数列|列]]は広く研究されてきたが、多くの疑問や仮説が残っている。

初めから60個の素数の間隔は
:1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, …<ref>{{OEIS|A001223}}</ref>
{{mvar|g{{sub|n}}}} の定義により、全ての素数は次のように書ける。
:<math>p_{n+1} = 2 + \sum_{i=1}^n g_i</math>

== 簡単な観察 ==
最初の間隔は1 (=3-2) であり、2を除く素数がすべて[[奇数]]であることから、1は唯一かつ最小の間隔である。以降の間隔はすべて2以上の偶数となるが、値 2 の間隔が連続しているのは素数 {{math2|3, 5, 7}} の間の間隔である {{math|''g''{{sub|2}}}} と {{math|''g''{{sub|3}}}} の1組だけである。

任意の整数 {{mvar|n}} に対して、{{mvar|n}} の[[階乗]]（{{mvar|n}} を含む {{mvar|n}} までの全ての正の整数の[[積]]）を用いると、数列
: <math>n!+2, n!+3, n!+4, \ldots,n!+n</math>
において1番目の項は2で割り切れ、2番目の項は3で割り切れ、これが続く。よって、これは{{math|''n'' − 1}}個の連続した[[合成数]]の数列であり、長さがn以上の間隔を与える隣り合う素数の間の連続した整数の列（の全体あるいは一部）になる。このことから隣り合う素数の間隔にはいくらでも大きいものが常に存在すること、すなわち、任意に与えた整数Nに対して {{math|''g{{sub|m}}'' ≥ ''N''}} となる添字mが常に存在することが分かる。

しかし、n個の数の素数の間隔は、n!よりもずっと小さい数で生じることがある。例えば、素数の間隔が14よりも大きい最初の場所は523と541の間であるが、その一方で15!は1 307 674 368 000という非常に大きな数である。

素数の平均間隔は整数の[[自然対数]]が大きくなるにつれて長くなり、したがって関係する整数と、これに対する素数の間隔との比は小さくなる（漸近的に0になる）。これは[[素数定理]]の結果である[[ヒューリスティック]]な観点から見ると、自然対数に対する間隔の長さの比が固定の正数''k''以上である確率は{{math|''e''<sup>−''k''</sup>}}であると予想される。結果として比は任意に大きくなる。実際、整数の桁数に対する間隔の比は際限なく増加する。これは[[エリック・ウェストジンティウス]]による結果の帰結である<ref name="Westzynthius">{{Citation |last=Westzynthius |first=E. |title=Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind |language=de |journal=Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors |volume=5 |year=1931 |pages=1-37 |zbl=0003.24601 |jfm=57.0186.02}}.</ref>。

逆に、[[双子素数]]の推論は、無限に多い整数nに対して{{nowrap|1=''g''<sub>''n''</sub> = 2}}を仮定している。

==数値結果==
通常''g''<sub>''n''</sub> / [[自然対数|ln]](''p''<sub>''n''</sub>)の値のことを、間隔''g''<sub>''n''</sub>の'''merit値'''という。2017年9月現在、分かっている[[確率的素数]]の間隔の端の、最大の既知の素数の間隔は長さ6 582 144で、[[マーティン・ラーブ]]により発見された216,841桁の確率的素数においてであった<ref>{{Cite web |url=https://faculty.lynchburg.edu/~nicely/#LargestGap |title=Some Results of Research in Computational Number Theory (NEW LARGEST KNOWN PRIME GAP)|accessdate=2021-10-27}}</ref>。この間隔のmerit値は13.1829である。最大の既知の素数の間隔は長さ1 113 106であり、merit値は25.90であり、[[ピエール・カミ]]、[[ミシェル・ヤンセン]]、[[イェンス・K・アンデルセン]]により発見された18,662桁の素数においてである<ref name=top20>{{Cite web |last1=Andersen |first1=Jens Kruse|title=The Top-20 Prime Gaps |url=http://primerecords.dk/primegaps/gaps20.htm |accessdate=2014-06-13}}</ref><ref>{{Cite web |last1=Andersen |first1=Jens Kruse|title=A proven prime gap of 1113106 |url=http://primerecords.dk/primegaps/gap1113106.htm |accessdate=2021-10-27}}</ref>。

2017年12月現在、知られている中で最大のmerit値で、かつ最初に40を超えるものは、41.938 783 73であり、87桁の素数293 703 234 068 022 590 158 723 766 104 419 463 425 709 075 574 811 762 098 588 798 217 895 728 858 676 728 143 227においてであった。この素数と次の素数の間の素数の間隔は8350である<ref name=max_merit>[http://www.trnicely.net/#MaxMerit NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT]</ref>。

{| class="wikitable"
|+ '''最も大きいmerit値''' (2018年1月現在）<ref name=max_merit/><ref name=dynamic_stats>[http://ntheory.org/gaps/stats.pl Dynamic prime gap statistics]</ref><ref name=tpg>[http://www.trnicely.net/index.html#TPG TABLES OF PRIME GAPS ]</ref>
|-
! Merit !! ''g<sub>n</sub>'' !! 桁数 !! ''p<sub>n</sub>'' !! 年 !! 発見者
|-
| 41.938 784 || 8350 || 87 || 上参照 || 2017 || Gapcoin
|-
| 39.620 154 || 15900 || 175 || 3 483 347 771 × 409[[素数階乗|#]]/30 − 7016 || 2017 || Dana Jacobsen
|-
| 38.066 960 || 18306 || 209 || 650 094 367 × 491#/2310 − 8936 || 2017 || Dana Jacobsen
|-
| 37.824 126 ||  8382 ||  97 || 512 950 801 × 229#/5610 − 4138 || 2018 || Dana Jacobsen
|-
| 37.005 294 || 26054 || 306 || 1 780 005 161 × 719#/30 − 17768 || 2017 || Dana Jacobsen
|-
|}

''g''<sub>''n''</sub> / (ln(''p''<sub>''n''</sub>))<sup>2</sup>の値のことをクラメル・シャンクス・グランヴィル比という<ref name=max_merit />。素数{{math2|2, 3, 7}}の場合の異常に高い値を無視する場合、この値の知られている最大値は素数1 693 182 318 746 371のときの0.920 638 6である<ref>他の記録は{{OEIS2C|id=A111943}}で見ることができる。</ref>。

全ての''m'' < ''n''に対して''g''<sub>''m''</sub> < ''g''<sub>''n''</sub>の場合、''g''<sub>''n''</sub>のことを、'''極大の間隔'''(''maximal gap'')、または「極大の素数の間隔」という。{{As of|2018|8}}、知られている最大の極大の間隔は1550であり、[[バーティル・ニーマン]]により発見された。これは80番目の極大の間隔であり、素数18 361 375 334 787 046 697の後に生じる<ref>[http://trnicely.net/#Maximal NEW MAXIMAL PRIME GAPS OF 1530 AND 1550]</ref><ref>他の記録は{{OEIS2C|id=A005250}}にあり、{{OEIS2C|id=A002386}}の対応する素数''p''<sub>''n''</sub>と{{OEIS2C|id=A005669}}の''n''の値とともに見ることができる。</ref>。

{| border="0" cellpadding="3" cellspacing="0"
|+ '''80個の既知の極大の素数の間隔'''
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ 1から27
|-
! # !! ''g<sub>n</sub>'' !! ''p<sub>n</sub>'' !! ''n''
|-
| 1|| 1 || 2 || 1
|-
| 2|| 2 || 3 || 2
|-
| 3|| 4 || 7 || 4
|-
| 4|| 6 || 23 || 9
|-
| 5|| 8 || 89 || 24
|-
| 6|| 14 || 113 || 30
|-
| 7|| 18 || 523 || 99
|-
| 8|| 20 || 887 || 154
|-
| 9|| 22 || 1,129 || 189
|-
|10|| 34 || 1,327 || 217
|-
|11|| 36 || 9,551 || 1,183
|-
|12|| 44 || 15,683 || 1,831
|-
|13|| 52 || 19,609 || 2,225
|-
|14|| 72 || 31,397 || 3,385
|-
|15|| 86 || 155,921 || 14,357
|-
|16|| 96 || 360,653 || 30,802
|-
|17|| 112 || 370,261 || 31,545
|-
|18|| 114 || 492,113 || 40,933
|-
|19|| 118 || 1,349,533 || 103,520
|-
|20|| 132 || 1,357,201 || 104,071
|-
|21|| 148 || 2,010,733 || 149,689
|-
|22|| 154 || 4,652,353 || 325,852
|-
|23|| 180 || 17,051,707 || 1,094,421
|-
|24|| 210 || 20,831,323 || 1,319,945
|-
|25|| 220 || 47,326,693 || 2,850,174
|-
|26|| 222 || 122,164,747 || 6,957,876
|-
|27|| 234 || 189,695,659 || 10,539,432
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ 28から54
|-
! # !! ''g<sub>n</sub>'' !! ''p<sub>n</sub>'' !! ''n''
|-
|28|| 248 || 191,912,783 || 10,655,462
|-
|29|| 250 || 387,096,133 || 20,684,332
|-
|30|| 282 || 436,273,009 || 23,163,298
|-
|31|| 288 || 1,294,268,491 || 64,955,634
|-
|32|| 292 || 1,453,168,141 || 72,507,380
|-
|33|| 320 || 2,300,942,549 || 112,228,683
|-
|34|| 336 || 3,842,610,773 || 182,837,804
|-
|35|| 354 || 4,302,407,359 || 203,615,628
|-
|36|| 382 || 10,726,904,659 || 486,570,087
|-
|37|| 384 || 20,678,048,297 || 910,774,004
|-
|38|| 394 || 22,367,084,959 || 981,765,347
|-
|39|| 456 || 25,056,082,087 || 1,094,330,259
|-
|40|| 464 || 42,652,618,343 || 1,820,471,368
|-
|41|| 468 || 127,976,334,671 || 5,217,031,687
|-
|42|| 474 || 182,226,896,239 || 7,322,882,472
|-
|43|| 486 || 241,160,624,143 || 9,583,057,667
|-
|44|| 490 || 297,501,075,799 || 11,723,859,927
|-
|45|| 500 || 303,371,455,241 || 11,945,986,786
|-
|46|| 514 || 304,599,508,537 || 11,992,433,550
|-
|47|| 516 || 416,608,695,821 || 16,202,238,656
|-
|48|| 532 || 461,690,510,011 || 17,883,926,781
|-
|49|| 534 || 614,487,453,523 || 23,541,455,083
|-
|50|| 540 || 738,832,927,927 || 28,106,444,830
|-
|51|| 582 || 1,346,294,310,749 || 50,070,452,577
|-
|52|| 588 || 1,408,695,493,609 || 52,302,956,123
|-
|53|| 602 || 1,968,188,556,461 || 72,178,455,400
|-
|54|| 652 || 2,614,941,710,599 || 94,906,079,600
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ 55から80
|-
! # !! ''g<sub>n</sub>'' !! ''p<sub>n</sub>'' !! ''n''
|-
|55|| 674 || 7,177,162,611,713 || 251,265,078,335
|-
|56|| 716 || 13,829,048,559,701 || 473,258,870,471
|-
|57|| 766 || 19,581,334,192,423 || 662,221,289,043
|-
|58|| 778 || 42,842,283,925,351 || 1,411,461,642,343
|-
|59|| 804 || 90,874,329,411,493 || 2,921,439,731,020
|-
|60|| 806 || 171,231,342,420,521 || 5,394,763,455,325
|-
|61|| 906 || 218,209,405,436,543 || 6,822,667,965,940
|-
|62|| 916 || 1,189,459,969,825,483 || 35,315,870,460,455
|-
|63|| 924 || 1,686,994,940,955,803 || 49,573,167,413,483
|-
|64||1,132 || 1,693,182,318,746,371 || 49,749,629,143,526
|-
|65||1,184 || 43,841,547,845,541,059 || 1,175,661,926,421,598
|-
|66||1,198 || 55,350,776,431,903,243 || 1,475,067,052,906,945
|-
|67||1,220 || 80,873,624,627,234,849 || 2,133,658,100,875,638
|-
|68||1,224 || 203,986,478,517,455,989 || 5,253,374,014,230,870
|-
|69||1,248 || 218,034,721,194,214,273 || 5,605,544,222,945,291
|-
|70||1,272 || 305,405,826,521,087,869 || 7,784,313,111,002,702
|-
|71||1,328 || 352,521,223,451,364,323 || 8,952,449,214,971,382
|-
|72||1,356 || 401,429,925,999,153,707 || 10,160,960,128,667,332
|-
|73||1,370 || 418,032,645,936,712,127 || 10,570,355,884,548,334
|-
|74||1,442 || 804,212,830,686,677,669 || 20,004,097,201,301,079
|-
|75||1,476 || 1,425,172,824,437,699,411 || 34,952,141,021,660,495
|-
|76||1,488 || 5,733,241,593,241,196,731 || 135,962,332,505,694,894
|-
|77||1,510 || 6,787,988,999,657,777,797 || 160,332,893,561,542,066
|-
|78||1,526 || 15,570,628,755,536,096,243 || 360,701,908,268,316,580
|-
|79||1,530 || 17,678,654,157,568,189,057 ||408,333,670,434,942,092
|-
|80||1,550 || 18,361,375,334,787,046,697 || 423,731,791,997,205,041
|-
|&nbsp; ||  ||  ||                        
|}
|}

==さらなる結果==

===上限===
1852年に証明された[[ベルトランの仮説]]は、''k''と2''k''の間には必ず素数があり、よって特に''p''<sub>''n''+1</sub>&nbsp;<&nbsp;2''p''<sub>''n''</sub>であることは、''g''<sub>''n''</sub>&nbsp;<&nbsp;''p''<sub>''n''</sub>を意味するという内容である。

1896年に証明された[[素数定理]]は、十分大きい素数では素数pと次の素数との間の間隔の平均長は漸近的にln(''p'')に近づくという内容である。実際の間隔の長さはこれよりもずっと大きいことや小さいことがあるが、素数定理から素数の間隔の長さの上限を推論することができる。

すべての<math>\epsilon > 0</math>に対して、すべての<math>n > N</math>で
:<math>g_n < p_n\epsilon</math>
であるような数<math>N</math>がある。
また、素数に比例して間隔が任意に小さくなることも推論できる。比
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{g_n}{p_n}=0.</math>
となる。
{{仮リンク|グイド・ホハイゼル|en|Guido Hoheisel}} ([[1930年]]) は

:<math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} \text{ as } x \to \infty, </math>
であるような定数θ < 1が存在することを初めて示し<ref name="Hoheisel">{{cite journal |first=G. |last=Hoheisel |title=Primzahlprobleme in der Analysis |journal=Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |volume=33 |issue= |pages=3–11 |year=1930 | jfm=56.0172.02 }}</ref>、それゆえ十分大きい''n''に対して
:<math>g_n<p_n^\theta,\,</math>
であることを示した。

ホハイゼルはθで可能な値32999/33000を得た。これは{{仮リンク|ハンス・ハイルブロン|en|Hans Heilbronn}}により249/250と改善され<ref name="Heilbronn">{{cite journal |first=H. A. |last=Heilbronn |title=Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel |journal=Mathematische Zeitschrift |volume=36 |issue=1 |pages=394–423 |year=1933 |doi=10.1007/BF01188631 }}</ref>、{{仮リンク|ニコライ・チュダコフ|en|Nikolai Chudakov}}により任意のε > 0に対してθ = 3/4 + εとした<ref name="Tchudakoff">{{cite journal |first=N. G. |last=Tchudakoff |title=On the difference between two neighboring prime numbers |journal=Mat. Sb. |volume=1 |issue= |pages=799–814 |year=1936 |doi= }}</ref>。

主な進歩は[[アルバート・イングハム]]による<ref name="Ingham">{{cite journal |last=Ingham |first=A. E. |title=On the difference between consecutive primes |journal=Quarterly Journal of Mathematics |series=Oxford Series |volume=8 |issue=1 |pages=255–266 |year=1937 |doi=10.1093/qmath/os-8.1.255 | zbl= | jfm= |bibcode=1937QJMat...8..255I }}</ref>。彼はいくつかの正の定数''c''に対して

:<math>\zeta(1/2 + it)=O(t^c)\,</math>であるとき、任意の<math>\theta > (1 + 4c)/(2 + 4c)</math>に対して<math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)}</math>

と示した。ここで''O''は[[ランダウの記号]]、ζは[[リーマンゼータ関数]]、πは[[素数計数関数]]である。任意の''c'' > 1/6が許容されることが分かっていれば、θが5/8より大きい任意の数値であることが分かる。

イングハムの結果の直接の結果は、nが十分大きい場合、''n''<sup>3</sup>と(''n'' + 1)<sup>3</sup>の間に必ず素数が存在するということである<ref>{{cite journal | last=Cheng | first=Yuan-You Fu-Rui | title=Explicit estimate on primes between consecutive cubes | zbl=1201.11111 | journal=Rocky Mt. J. Math. | volume=40 | pages=117–153 | year=2010 | doi=10.1216/rmj-2010-40-1-117| arxiv=0810.2113 }}</ref>。{{仮リンク|アーンスト・リンデレフ|en|Ernst Leonard　Lindelöf}}の仮説はイングハムの式が''c''の任意の正の数に対しても成り立つことを暗に示すが、十分大きい''n''に対して''n''<sup>2</sup>と(''n'' + 1)<sup>2</sup>の間に素数が存在することを暗示するには十分ではないであろう（[[ルジャンドル予想]]参照）。

{{仮リンク|マーティン・ハクスリー|en|Martin Huxley}}は1972年にθ = 7/12 = 0.58(3)を選択してもよいことを示した<ref name="huxley">{{cite journal |last=Huxley |first=M. N. |year=1972 |title=On the Difference between Consecutive Primes |journal=Inventiones Mathematicae |volume=15 |issue=2 |pages=164–170 |doi=10.1007/BF01418933 |bibcode=1971InMat..15..164H }}</ref>。

2001年の[[R.C.ベイカー]]、[[グリン・ハーマン]]、{{仮リンク|ヤノス・ピンツ|en|János Pintz|Pintz}}による結果では、θは0.525ととられる可能性があることを示した<ref name="baker">{{cite journal |last=Baker |first=R. C. |first2=G. |last2=Harman |first3=J. |last3=Pintz |year=2001 |title=The difference between consecutive primes, II |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=83 |issue=3 |pages=532–562 |doi=10.1112/plms/83.3.532 }}</ref>。

2005年、{{仮リンク|ダニエル・ゴールドストン|en|Daniel Goldston}},{{仮リンク|ヤノス・ピンツ|en|János Pintz|Pintz}}, {{仮リンク|ジェム・ユルドゥルム|en|Cem Yıldırım}}は
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=0</math>

を証明し、2年後これを改良し<ref>{{cite arXiv|eprint=0710.2728|title=Primes in Tuples II|last1= Goldston|first1=D. A.|last2= Pintz|first2=J.|last3= Yildirim|first3=C. Y.|class=math.NT|year=2007}}</ref>、
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.</math>
とした。
2013年、[[張益唐]]は
:<math>\liminf_{n\to\infty} g_n < 7\cdot 10^7,</math>

を証明した。これは70 000 000を超えない間隔が無限にあるという意味である<ref>{{cite journal | title = Bounded gaps between primes | first = Yitang | last = Zhang | authorlink=張益唐 | journal = [[Annals of Mathematics]] | year=2014 | volume=179 | issue=3 | pages=1121–1174 | doi=10.4007/annals.2014.179.3.7 | mr=3171761}}</ref>。張の境界を最適化するPolymathプロジェクトの共同作業により、2013年7月20日に境界を4680まで下げることに成功した<ref name=polymath>{{cite web|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|title=Bounded gaps between primes|publisher=Polymath|accessdate=2013-07-21}}</ref>。2013年11月、[[ジェームズ・メイナード]]はGPYふるいを新たに改善したものを導入し、境界を600まで下げ、任意の''m''について、それぞれがm個の素数を含む解釈が無限である境界間隔が存在することを示した<ref>{{cite journal | title=Small gaps between primes | last=Maynard | first=James | year=2015 | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=181 | issue=1 | pages=383–413 | mr=3272929 | doi=10.4007/annals.2015.181.1.7| arxiv=1311.4600 }}</ref>。メイナードの考えを用いて、Polymathプロジェクトは境界を246に改良した<ref name=polymath/><ref>{{cite journal | author=D.H.J. Polymath | title=Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes | journal=Research in the Mathematical Sciences | volume=1 | number=12 | doi=10.1186/s40687-014-0012-7 | arxiv=1407.4897 | year=2014 | mr=3373710}}</ref>。{{仮リンク|エリオット・ハルバースタム予想|en|Elliott–Halberstam conjecture}}とその一般形を仮定すると、Nはそれぞれ12と6に減少される<ref name=polymath/>。

===下限===
1931年、[[エリック・ウェストジンティウス]]<!-- actuary, Finland, 1901–1980 -->は極大の素数の間隔は対数的よりも大きくなることを証明した<ref name="Westzynthius"/>。

:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=\infty.</math>

である。1938年、{{仮リンク|ロバート・ランキン|en|Robert Alexander Rankin}}は、無限に大きいnに対して

:<math>g_n > \frac{c\log n\log\log n\log\log\log\log n}{(\log\log\log n)^2}</math>

が成り立つ定数''c''&nbsp;&gt;&nbsp;0が存在することを示し、ウェストジンティウスと[[ポール・エルデシュ]]の結果を改良した。彼はのちに任意の定数''c''&nbsp;<&nbsp;''e''<sup>γ</sup>（γは[[オイラーの定数]]）を取ることができることを示した。1997年に定数''c''の値は2''e''<sup>γ</sup>以下の任意の値に改良された<ref>{{cite journal |first=J. |last=Pintz |title=Very large gaps between consecutive primes |journal=Journal of Number Theory |volume=63 |issue=2 |pages=286–301 |year=1997 |doi=10.1006/jnth.1997.2081 }}</ref>。

ポール・エルデシュは、上記の不等式の定数''c''が任意に大きく取れることの証明および反証に対して1万[[アメリカ合衆国ドル|ドル]]の賞金を提供した<ref>{{cite book 
|editor1-last= Erdős |editor1-first= Paul
|editor2-last= Bollobás |editor2-first= Béla
|editor3-last= Thomason |editor3-first= Andrew
|date= 1997
|title= Combinatorics, Geometry and Probability: A Tribute to Paul Erdös
|url={{Google books|1E6ZwSEtPAEC|page=1|plainurl=yes}}
|page=1
|publisher= Cambridge University Press
|isbn= 9780521584722
}}</ref>。これは2014年に{{仮リンク|ケビン・フォード|en|Kevin Ford (mathematician)}}、[[ベン・グリーン]]、{{仮リンク|セルゲイ・コンヤギン|en|Sergei Konyagin}}、[[テレンス・タオ]]とジェームズ・メイナードにより独立に正しいことが証明された<ref>{{cite journal | first1=Kevin | last1=Ford | first2=Ben | last2=Green | first3=Sergei | last3=Konyagin | first4=Terence | last4=Tao | year=2016 | arxiv=1408.4505 | title=Large gaps between consecutive prime numbers | journal=[[Ann. of Math.]] | volume=183 | issue=3 | pages=935–974 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.4  | mr=3488740}}</ref><ref>{{cite journal | first=James | last=Maynard | year=2016 | volume=183 | issue=3 | arxiv=1408.5110 | title=Large gaps between primes | pages=915–933 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.3 | mr = 3488739 | journal=[[Ann. of Math.]]}}</ref>。

この結果はさらにフォード、グリーン、コンヤギン、テレンス・タオにより、無限に大きいnに対して

:<math>g_n > \frac{c\log n\log\log n\log\log\log\log n}{\log\log\log n}</math>

と改良された<ref>{{cite journal | arxiv=1412.5029 | title=Long gaps between primes | last1=Ford | first1=Kevin | last2=Green | first2=Ben | last3=Konyagin | first3=Sergei | last4=Maynard | first4=James | last5=Tao | first5=Terence | year=2018| mr=3718451 | journal=J. Amer. Math. Soc. | volume=31 | issue=1 | pages=65–105 | doi=10.1090/jams/876 }}</ref>。

エルデシュの最初の賞の精神でテレンス・タオはこの不等式で''c''が任意に大きくとられる可能性があるという証明に対して1万ドルを提供した<ref>{{Cite web | url=https://terrytao.wordpress.com/2014/12/16/long-gaps-between-primes/ | title=Long gaps between primes / What's new|accessdate=2020-03}}</ref>。

素数の連鎖の下限も決定されている<ref>{{cite arXiv | first1=Kevin | last1=Ford | first2=James | last2=Maynard | first3=Terence | last3=Tao | title = Chains of large gaps between primes | eprint=1511.04468 | date=2015-10-13| class=math.NT }}</ref>。

==素数の間隔の予想==
[[File:Wikipedia primegaps.png|thumb|350px|素数の間隔関数]]
[[リーマン予想]]のもとではさらに良い結果が得られる。[[ハラルド・クラメール]]はリーマン予想が、間隔''g''<sub>''n''</sub>は[[ランダウの記号]]を用いて
:<math> g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n), </math>
であることを暗示していることを証明した<ref name="Cramér1936">{{cite journal|last=Cramér |first=Harald |title=On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf |journal=Acta Arithmetica |volume=2 |year=1936 |pages=23–46 |doi=10.4064/aa-2-1-23-46 }}</ref>。のちに、この間隔はさらに小さいと予想した。おおまかに言うと、[[クラメールの予想]]は
:<math> g_n = O\left((\log p_n)^2\right). </math>

という内容である。[[Firoozbakhtの予想]]は<math>p_{n}^{1/n}</math>（<math>p_n</math>はn番目の素数）はnの厳密に減少する関数である。すなわち、

:<math>p_{n+1}^{1/(n+1)} < p_n^{1/n} \text{ for all } n \ge 1.</math>

である。この予想が真である場合、関数<math>g_n = p_{n+1} - p_n </math>は <math> g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n \text{ for all } n > 4. </math>を満たす<ref>{{cite arxiv |last=Sinha |first=Nilotpal Kanti |title=On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture |year=2010  |eprint=1010.1399 |class=math.NT }}.</ref>。これはクラメールの予想の強い形を暗示しているが、GranvilleとPintzのヒューリスティックとは矛盾している<ref>{{cite journal |last=Granville |first=Andrew  |title=Harald Cramér and the distribution of prime numbers |journal=Scandinavian Actuarial Journal |volume=1 |issue= |year=1995 |pages=12–28 |url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf |doi=10.1080/03461238.1995.10413946 |citeseerx=10.1.1.129.6847 }}.</ref><ref>{{cite journal|last=Granville |first=Andrew |title=Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers |journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians |volume=1 |year=1995 |pages=388–399 |url=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/icm.pdf |doi=10.1007/978-3-0348-9078-6_32 |isbn=978-3-0348-9897-3 }}.</ref><ref name="Pintz07">{{cite journal|last=Pintz|first=János|title=Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes|journal=Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici|volume=37|issue=2|date=September 2007|pages=232–471|doi=10.7169/facm/1229619660}}</ref>。これは任意の<math>\varepsilon>0</math>に対して<math> g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2</math>が無限回起こる（<math>\gamma</math>は[[オイラーの定数]]）

その一方、[[Oppermannの予想]]はクラメールの予想より弱い。Oppermannの予想で予想される間隔は

:<math> g_n < \sqrt{p_n}.</math>
のオーダーである。結果としてOppermannの予想の元では、全ての自然数<math>n>m</math>に対して<math> g_n < \sqrt{p_n}.</math>を満たす<math>m</math>（おそらく<math>m=30</math>）が存在する。

Oppermannの予想よりも弱い[[Andricaの予想]]は

:<math> g_n < 2\sqrt{p_n} + 1.</math>

という内容である<ref name="Guy">Guy (2004) §A8</ref>。これは連続する平方数の間には素数が必ずあるという[[ルジャンドル予想]]よりは少し強い。

Polignacの予想は、全ての正の偶数''k''が無限の頻度で素数の間隔として生じるという内容である。''k''&nbsp;=&nbsp;2の場合は[[双子素数予想]]である。この予想は特定のkの値についてはまだ証明されておらず、反証もされていないが、[[張益唐]]の結果は少なくとも1つ（現在のところ未知）の7千万より小さいkの値については真であることが証明されている。上で議論されたように、この上限は246に改良された。

==数論的関数として==
n番目の素数と(n+1)番目の素数の間の間隔''g''<sub>''n''</sub>は[[数論的関数]]の1例である。この文脈では通常''d''<sub>''n''</sub>で表され、素数差分関数({{En|prime difference function}})と呼ばれる<ref name="Guy"/>。この関数は[[乗法的関数]]でも[[加法的関数]]でもない。
{{clear}}

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}
* [[:en:Bonse's inequality]]
* [[:en:Gaussian moat]]
* [[双子素数]]

==脚注==
{{Reflist|2}}

==関連文献==
* {{cite book |last=Guy | first=Richard K.| title=Unsolved problems in number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 }}
**{{Cite book|和書|author=リチャード・ガイ|others=[[一松信]] 監訳|date=1983-01|title=数論における未解決問題集|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|isbn=978-4-431-70584-0|ref={{Harvid|ガイ|1983}}}} - 注釈：旧版。
**{{Cite book|和書|author=リチャード・K・ガイ|translator=金光滋|date=2010-11|title=数論〈未解決問題〉の事典|publisher=朝倉書店|isbn=978-4-254-11129-3|ref={{Harvid|ガイ|2010}}}} - 注釈：原タイトル：''Unsolved Problems in Number Theory'' 原著第3版の翻訳。
* {{cite journal | last=Soundararajan | first=Kannan | title=Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yıldırım | zbl=1193.11086 | journal=Bull. Am. Math. Soc. |series=New Series | volume=44 | number=1 | pages=1–18 | year=2007 | doi=10.1090/s0273-0979-06-01142-6| arxiv=math/0605696 }}
* {{cite journal | first=Preda | last=Mihăilescu | authorlink=プレダ・ミハイレスク | journal=Newsletter of the European Mathematical Society | number=92 | date=June 2014 | issn=1027-488X | title=On some conjectures in additive number theory | pages=13–16 | url=http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2014-06-92.pdf | doi=10.4171/NEWS | hdl=2117/17085 }}

==外部リンク==
* Thomas R. Nicely, [http://www.trnicely.net/ Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory]. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
* {{MathWorld|urlname=PrimeDifferenceFunction|title=Prime Difference Function}}
* {{planetmath reference|id=3143|title=Prime Difference Function}}
* Armin Shams, [https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11253-008-0034-7 Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture], does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
* [[Prime Pages|Chris Caldwell]], [http://primes.utm.edu/notes/gaps.html ''Gaps Between Primes'']; an elementary introduction
* Andrew Granville, [http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/CEBBrochureFinal.pdf ''Primes in Intervals of Bounded Length'']; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.

{{素数の分類}}
{{DEFAULTSORT:そすうのかんかく}}
[[Category:整数論的関数]]
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]