素数冪のソースを表示

[[数学]]において、'''素数冪'''（そすうべき）または'''素冪'''（そべき）（{{lang-en-short|prime power}}）とは、単一[[素数]]の[[自然数|正の整数]][[冪乗|乗]]になっている数をいう。例えば、{{Nowrap|1=7 = 7<sup>1</sup>}}, {{Nowrap|1=9 = 3<sup>2</sup>}} や {{Nowrap|1=32 = 2<sup>5</sup>}} は素数冪だが、{{Nowrap|1=6 = 2 × 3}}, {{Nowrap|1=12 = 2<sup>2</sup> × 3}} や {{Nowrap|1=36 = 6<sup>2</sup> = 2<sup>2</sup> × 3<sup>2</sup>}} は素数冪ではない（この定義では、1は素数冪には含まない）。

素数冪は小さいものから
:2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, ... （{{OEIS|id=A246655}}）
と続くが、この並びには素数自体の項が多分に含まれており、それを除いたものは
:4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 121, 125, 128, 169, 243, 256, ... （{{OEIS2C|id=A246547}}）
となる。

素数冪は、一つの素数でしか割り切れない正整数である。素数冪は[[準素分解]]（{{en|primary decomposition}}）になぞらえて'''準素数'''{{訳語疑問点|date=2019年11月}}（{{en|primary number}}）とも呼ばれる<!--日本語での実情を要確認-->。

== 性質 ==
素数冪は素数の冪乗である。

=== 代数的性質 ===
''p'' を奇素数とすればその冪 ''p<sup>n</sup>'' には必ず[[指数 (初等整数論)|原始根]]があり、したがって、''p<sup>n</sup>'' を法とする整数の乗法群（もしくは[[環 (数学)|環]] '''Z'''/''p<sup>n</sup>'''''Z''' の[[可逆元|単数群]]を考えることと同等）は[[巡回群|巡回]]的である。一方で2の冪は一般には原始根を持たない。'''Z'''/2<sup>''n''</sup>'''Z''' の単数群は ''n'' = 1, 2 では巡回的だが、''n'' が3以上なら巡回的ではなく、2つの巡回群の直積 ''C''<sub>2</sub>×''C''<sub>2<sup>''n''-2</sup></sub> に同型である。

[[有限体]]の要素の個数は必ず素数冪であり、逆に、どの素数冪も（[[同型写像|同型]]を除いてただ一つの）有限体の要素数として現れる。この体は '''F'''(''p<sup>n</sup>'') などと書く。

=== 組み合わせ的性質 ===
[[解析的整数論]]で頻繁に使われる素数冪の性質に、素数を除いた素数冪全体の集合はその逆数の[[級数|無限和]]が[[収束級数|収束]]するという意味で[[Small set (組み合わせ論)|small set]]であるというものがある（素数全体はlarge setである）。

=== 約数の性質 ===
素数冪の[[オイラーのφ関数|トーシェント関数]] ''φ'' と[[約数関数|シグマ関数]] ''σ''<sub>0</sub>, ''σ''<sub>1</sub> の値は次式で計算される。

: <math>\varphi(p^n) = p^{n-1} \varphi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \left(1 - \frac{1}{p}\right),</math>
: <math>\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0\cdot j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,</math>
: <math>\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1\cdot j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{n+1} - 1}{p - 1}.</math>

素数冪は全て[[不足数]]である。

素数冪 ''p<sup>n</sup>'' は ''n''-[[概素数]]である。

[[友愛数]]となる素数冪 ''p<sup>n</sup>'' があるかどうかは不明である。もしあるとしたら、その ''p<sup>n</sup>'' は10<sup>1500</sup>より大きく、''n'' は1400より大きい必要がある。

== その他 ==
1997年の映画『[[キューブ (映画)|キューブ]]』では、迷路のような立方体構造の中にひそむ致命的な危険を見分ける手掛かりとして、素数冪が着目されるシーンがある。

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[フォン・マンゴルト関数]]
* [[概素数]]
* [[累乗数]]
* [[半素数]]

== 参考文献 ==
* ''Elementary Number Theory''. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.

{{Classes of natural numbers}}

{{DEFAULTSORT:そすうへき}}
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[[Category:素数]]
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