素数定数のソースを表示

{{出典の明記| date = 2018年11月28日 (水) 05:34 (UTC)オンライン整数列大辞典}}
'''素数定数'''（そすうていすう、{{lang-en-short|prime constant}}）は[[二進法|2進法]]の[[小数点]]以下 ''n'' 桁目を、''n'' が[[素数]]ならば 1、そうでなければ 0 とした[[実数]]であり、[[記号の濫用|記号]] {{mvar|&rho;}} で表される：
:<math> \rho = 0.011010100010100010100010000\ldots_2 </math>（{{OEIS|A010051}}）
[[十進法|10進法]]では
:<math> \rho = 0.414682509851111660248109622\ldots</math>（{{OEIS|A051006}}）
となる。

言い換えると、{{mvar|&rho;}} は{{ill2|2進展開|en|binary expansion}}が素数全体からなる[[集合]] <math>\mathbb{P}</math> の[[指示関数]] <math>\chi_{\mathbb{P}}</math> に対応する数である：

:<math> \rho = \sum_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{2^p} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi_{\mathbb{P}}(n)}{2^n}.</math>

== 無理数性 ==
ρが[[無理数]]であることは[[背理法]]を用いて容易に[[証明 (数学)|証明]]できる。

ρ の[[2進展開]]での ''k''<span> 桁目を''r''_''k''</span><span>とする</span>。ρが[[合成数]]とすると[[全称記号|任意]]の[[自然数]] ''i'' に対して、''r''_''n'' = ''r''_{''n''+''ik''}が　''N'' < ''n''、に対して成立する[[自然数|正の整数]] ''N ''と ''k'' が存在する。
素数は[[可算無限|無限]]に存在するため、''N'' < ''p ''なる素数が存在し、[[定義]]により''r''_''p ''= 1である。前述の通り、任意の ''i'' に対して ''r''_''p'' = ''r''_{''p''+''ik''}である。i=pを考えると、[[添え字|添字]]は[[素因数分解]]されるため、1< ''k''+1 に対して ''r''_{''p''+''ik''} = ''r''_{''p''+''pk''} = ''r''_{''p''(''k''+1)} = 0 である。したがって、''r''_''p'' ≠ ''r''_{''p''(''k''+1)}となり、[[矛盾]]するため、ρは[[無理数]]である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==関連項目==
*{{仮リンク|双子素数定数|en|twin prime constant}}(twin prime constant)　ただし定義はかなり異なる。

[[Category:無理数]]
[[Category:数学定数]]
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{DEFAULTSORT:そすうていすう}}