素数定理のソースを表示

'''素数定理'''（そすうていり、{{Lang-en-short|Prime number theorem}}、{{Lang-de-short|Primzahlsatz}}）とは[[自然数]]の中に[[素数]]がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる[[定理]]である。[[整数論]]において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。しかし、分布についての数学的な証明は極めて難しく、まだ解明されていない事柄が多い。この定理は素数の分布の性質についての最も基本的な情報を与える。

== 歴史 ==
素数定理は、[[18世紀]]末に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]や[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]によって予想された（ガウス自身の言によればそれは[[1792年]]のガウスが15歳のときである）。予想として公表されたのはルジャンドルの著『[[#ルジャンドル2007|数の理論]]』であったが、ガウスは少年時代にの既に予想を立てていたことはガウスの死後の[[1863年]]に彼の全集が出版されるまでは知られておらず、ガウス自身は素数定理については友人エンケに一度だけ手紙（[[1849年]]）で触れただけであった<ref>{{Citation|last=Gauss|first=C. F.|author-link=カール・フリードリヒ・ガウス|year=1863|title=Werke（全集）|publisher=Teubner|location=Göttingen|edition=1st|volume=第2巻|pages=444–447|url=https://archive.org/details/carlfriedrichgu00gausgoog/page/444/mode/2up}}.</ref>。

その後[[パフヌティ・チェビシェフ]]による部分的な結果（[[1850年]]-[[1852年]]頃<ref>[[ベルトランの仮説|チェビシェフの定理]]を参照。</ref>）や、[[ベルンハルト・リーマン]]による新たな解析的方法が発表された<ref>1859年の論文「[[与えられた数より小さい素数の個数について]]」</ref>が、最終的には[[1896年]]に{{仮リンク|シャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン|en|Charles Jean de la Vallée Poussin}}と[[ジャック・アダマール]]{{Sfn|Hadamard|1896}}がそれぞれ独立に証明した。当初与えられた証明は[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]と[[複素関数論]]を用いる高度なものであったが、[[1949年]]に[[アトル・セルバーグ]]{{Sfn|Selberg|1949}}と[[ポール・エルデシュ]]{{Sfn|Erdős|1949}}は初等的な証明を与えた。[[ノーバート・ウィーナー]]や[[池原止戈夫]]らによる[[タウバーの定理|タウバー型定理]]によって、素数定理と「ゼータ関数が Re ''s'' = 1 上に零点を持たないこと」との同値性は既に確立されていたので、この複素解析学を用いない初等的な証明は当時大きな驚きをもって迎えられた。

== 定理の内容 ==
以下、記号「<math>\sim</math>」は次を表すとする。

:任意の関数<math>f(x)(\neq 0),g(x)</math>に対し、
:<math>
f(x)\sim g(x):\Leftrightarrow \lim_{x\to \infty} \frac{g(x)}{f(x)} =1</math>

なお、上式が成立している場合、「xが十分大きい場合、<math>f(x)</math>は<math>g(x)</math>で[[近似]]できる」といえる。

素数定理は、具体的には次の式で表される。

:<math>\pi (x)\sim \operatorname{Li} (x)</math>

上式において、{{π}}(''x'') は'''[[素数計数関数]]''' (prime counting function) で、''x'' 以下の素数の個数を表す。また Li(''x'') は[[対数積分|補正対数積分]] (logarithmic integral) で、次の積分で定義される。

:<math>\operatorname{Li} (x):=\int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\log (t)} = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2). </math>

なお、この定理は1や2以外の正数を積分の下端とする場合にも成立するが、慣例的に最小の素数である 2 とすること(補正対数積分)が多い。

また、補正対数積分を1回部分積分すると、

:<math>\int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\log(t)} =\frac{x}{\log(x)} +O\left( \frac{x}{(\log(x))^2} \right)</math>

となる。ここで、 ''O'' は[[ランダウの記号]]である。このことから、定理を次のように述べることもできる。

:<math>\pi (x)\sim \frac{x}{\log (x)}</math>

これは同様に{{sfrac|''x''|log(''x'')}} で近似できるということを意味する。こちらのほうが近似精度は少し悪いが計算上扱い易い。さらに次のように変形した式は、{{sfrac|''π(x)|x''}} すなわち''x'' 以下の正整数に占める'''素数の割合'''の近似式を表す。

:<math>\frac{\pi (x)}{x} \sim \frac{1}{\log (x)}</math>

上の2通りの近似は''x'' が小さくても比較的正確である（以下の表を参照）。

また、''n'' 番目の素数を ''p{{sub|n}}'' とすると、''n'' ≧ 6 に対して

:<math>\log (n) + \log (\log (n)) - 1 < \frac{p_n}{n} < \log (n) + \log(\log (n))</math>

が成り立つ<ref name="rosser">{{cite journal |first=Barkley |last=Rosser |author-link=ジョン・バークリー・ロッサー |year=1941 |title=Explicit bounds for some functions of prime numbers |journal=American Journal of Mathematics |volume=63 |issue=1 |pages=211–232 |doi=10.2307/2371291 |jstor=2371291 |mr=0003018 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Dusart |first=Pierre |author-link=ピエール・デザルト |title=The {{mvar|k}}th prime is greater than {{math|''k''(log ''k'' + log log ''k''−1)}} for {{math|''k'' ≥ 2}} |journal=Mathematics of Computation |volume=68 |issue=225 |year=1999 |pages=411–415 |mr=1620223 |doi=10.1090/S0025-5718-99-01037-6 |doi-access=free }}</ref>。

=== ''{{π}}''(''x''), {{sfrac|''x''|log(''x'')}}, li(''x'') の表{{anchors|表}} ===
表は ''{{π}}''(''x'') 、 {{sfrac|''x''|log(''x'')}} 、 li(''x'') の値とそれらの比較の表である。 
:{|class="wikitable" style="text-align:right"
|+近似の様子
!''x''
!{{π}}(''x'')<ref>{{π}}(''x''):{{OEIS2C|id=A006880}}</ref>
!{{π}}(''x'') − {{sfrac|''x''|log(''x'')}}<ref>Difference between pi(10^n) and the integer nearest to 10^n / log(10^n).:{{OEIS2C|id=A057835}}</ref>
!{{sfrac|{{π}}(''x'')|({{sfrac|''x''|log(''x'')}})}}
!li(''x'') − {{π}}(''x'')<ref>Difference between nearest integer to Li(10^n) and pi(10^n), where Li(x) = integral of log(x) and  pi(10^n) = number of primes <= 10^n:{{OEIS2C|id=A057752}}</ref>
!{{sfrac|''x''|{{π}}(''x'')}}{{Efn| {{sfrac|''x''|''{{π}}''(''x'')}} は、おおよそのところ、''x'' 以下における隣り合う素数の差の平均である。}}
! {{sfrac|''x''|log(''x'')}}<ref>Integer nearest to 10^n / log(10^n). ''x'':{{OEIS2C|id=A057834}}</ref>
! li(''x'')<ref>Integer nearest to Li(10^n), where Li(x) = integral(0..x, dt/log(t)).:{{OEIS2C|id=A057754}}</ref>
|-
|10
|4
| −0.343
|0.921
|2.166
|2.500
|4.343
|6.166
|-
|10{{sup|2}}
|25
|3.285
|1.151
|5.126
|4.000
|21.715
|30.126
|-
|10{{sup|3}}
|168
|23
|1.161
|10
|5.952
|145
|178
|-
|10{{sup|4}}
|1,229
|143
|1.132
|17
|8.137
|1,086
|1,246
|-
|10{{sup|5}}
|9,592
|906
|1.104
|38
|10.425
|8,686
|9,630
|-
|10{{sup|6}}
|78,498
|6,116
|1.084
|130
|12.740
|72,382
|78,628
|-
|10{{sup|7}}
|664,579
|44,158
|1.071
|339
|15.047
|620,421
|664,918
|-
|10{{sup|8}}
|5,761,455
|332,774
|1.061
|754
|17.357
|5,428,681
|5,762,209
|-
|10{{sup|9}}
|50,847,534
|2,592,592
|1.054
|1,701
|19.667
|48,254,942
|50,849,235
|-
|10{{sup|10}}
|455,052,511
|20,758,029
|1.048
|3,104
|21.975
|434,294,482
|455,055,615
|-
|10{{sup|11}}
|4,118,054,813
|169,923,159
|1.043
|11,588
|24.283
|3,948,131,654
|4,118,066,401
|-
|10{{sup|12}}
|37,607,912,018
|1,416,705,193
|1.039
|38,263
|26.590
|36,191,206,825
|37,607,950,281
|-
|10{{sup|13}}
|346,065,536,839
|11,992,858,452
|1.034
|108,971
|28.896
|334,072,678,387
|346,065,645,810
|-
|10{{sup|14}}
|3,204,941,750,802
|102,838,308,636
|1.033
|314,890
|31.202
|3,102,103,442,166
|3,204,942,065,692
|-
|10{{sup|15}}
|29,844,570,422,669
|891,604,962,452
|1.031
|1,052,619
|33.507
|28,952,965,460,217
|29,844,571,475,288
|-
|10{{sup|16}}
|279,238,341,033,925
|7,804,289,844,393
|1.029
|3,214,632
|35.812
|271,434,051,189,532
|279,238,344,248,557
|-
|10{{sup|17}}
|2,623,557,157,654,233
|68,883,734,693,281
|1.027
|7,956,589
|38.116
|2,554,673,422,960,305
|2,623,557,165,610,822
|-
|10{{sup|18}}
|24,739,954,287,740,860
|612,483,070,893,536
|1.025
|21,949,555
|40.420
|24,127,471,216,847,324
|24,739,954,309,690,415
|-
|10{{sup|19}}
|234,057,667,276,344,607
|5,481,624,169,369,960
|1.024
|99,877,775
|42.725
|228,576,043,106,974,646
|234,057,667,376,222,382
|-
|10{{sup|20}}
|2,220,819,602,560,918,840
|49,347,193,044,659,701
|1.023
|222,744,644
|45.028
|2,171,472,409,516,259,138
|2,220,819,602,783,663,484
|-
|10{{sup|21}}
|21,127,269,486,018,731,928
|446,579,871,578,168,707
|1.022
|597,394,254
|47.332
|20,680,689,614,440,563,221
|21,127,269,486,616,126,182
|-
|10{{sup|22}}
|201,467,286,689,315,906,290
|4,060,704,006,019,620,994
|1.021
|1,932,355,208
|49.636
|197,406,582,683,296,285,296
|201,467,286,691,248,261,498
|-
|10{{sup|23}}
|1,925,320,391,606,803,968,923
|37,083,513,766,578,631,309
|1.020
|7,250,186,216
|51.939
|1,888,236,877,840,225,337,614
|1,925,320,391,614,054,155,139
|-
|10{{sup|24}}
|18,435,599,767,349,200,867,866
|339,996,354,713,708,049,069
|1.019
|17,146,907,278
|54.243
|18,095,603,412,635,492,818,797
|18,435,599,767,366,347,775,144
|-
|10{{sup|25}}
|176,846,309,399,143,769,411,680
|3,128,516,637,843,038,351,228
|1.018
|55,160,980,939
|56.546
|173,717,792,761,300,731,060,452
|176,846,309,399,198,930,392,619
|-
|10{{sup|26}}
|1,699,246,750,872,437,141,327,603
|28,883,358,936,853,188,823,261
|1.017
|155,891,678,121
|58.850
|1,670,363,391,935,583,952,504,342
|1,699,246,750,872,593,033,005,724
|-
|10{{sup|27}}
|16,352,460,426,841,680,446,427,399
|267,479,615,610,131,274,163,365
|1.0166
|508,666,658,006
|61.153
|16,084,980,811,231,549,172,264,034
|16,352,460,426,842,189,113,085,405
|-
|10{{sup|28}}
|157,589,269,275,973,410,412,739,598
|2,484,097,167,669,186,251,622,127
|1.016
|1,427,745,660,374
|63.456
|155,105,172,108,304,224,161,117,471
|157,589,269,275,974,838,158,399,972
|}
{{π}}(10{{sup|24}}) の値はもともと[[リーマン予想]]を仮定して計算されたが<ref name="Franke">{{cite web
|title = Conditional Calculation of pi(10{{sup|24}})
|url = http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html
|publisher = Chris K. Caldwell
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100804004746/http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html
|archivedate=2010-08-04
|accessdate = 2010-08-03
}}</ref>、その後無条件で証明された<ref name="PlattARXIV2012">{{cite web |title=Computing π(x) Analytically) |url=https://arxiv.org/abs/1203.5712 |accessdate=2012-07-25}}</ref>。

== 算術級数の素数定理 ==
この定理はまた、算術級数（等差数列）中の素数に関しても拡張されており、これを'''算術級数の素数定理'''という：

すなわち、算術級数 {''an'' + ''b''} (''a'' > 0、''a'' と ''b'' は互いに素) に含まれる素数で、''x'' 以下のものの数を {{π}}{{sub|''a'',''b''}}(''x'') で表すとき、

:<math>\pi_{a,b} (x)\sim \frac{1}{\phi (a)} \operatorname{Li} (x)</math>

が成り立つ。ここで ''φ''(''n'') は[[オイラーのφ関数|オイラーの関数]]と呼ばれるもので、''n'' と互いに素な ''n'' 以下の自然数の個数を表す。この漸近公式はルジャンドルや[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]によって予想されていたが、これもド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。近年、Ivan Soprounov により、より初等的な証明が発見された<ref>{{cite web |first=Ivan |last=Soprounov |year=1998 |title=A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions |publisher=Cleveland State University |place=Ohio |url=http://academic.csuohio.edu/soprunov_i/pdf/primes.pdf |accessdate=2022-08-07 }}</ref>。

{{main article|算術級数の素数定理}}

== 誤差評価 ==
より詳しくは、現今最良の近似の誤差は次の結果である（ヴィノグラードフの素数定理）。充分大きな ''x'' について、

:<math>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -\frac{A(\log x)^\frac35}{(\log \log x)^\frac15} \right) \right)</math> ただし <math>A = 0.2098</math>.<ref name="Ford">{{cite journal |author = Kevin Ford |title=Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function |journal=Proc. London Math. Soc. |date=2002 |volume=85 |issue = 3 |pages=565–633 |url=https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf |doi=10.1112/S0024611502013655 |arxiv = 1910.08209 |s2cid = 121144007 }}</ref>

さらに、[[1901年]]に[[ヘルゲ・フォン・コッホ]]は、もし[[リーマン予想]]が正しければ次のように誤差評価を改善できることを証明した<ref>{{cite journal |first=Helge |last=von Koch |year=1901 |title=Sur la distribution des nombres premiers |journal=Acta Mathematica |volume=24 |issue=1 |pages=159–182 |doi=10.1007/BF02403071 |lang=fr |trans-title=On the distribution of prime numbers|mr=1554926 |s2cid=119914826 |url=https://zenodo.org/record/2347595}}</ref>。

:<math>\pi (x)=\operatorname{Li} (x)+O\left( \sqrt{x} \log (x)\right)</math>

逆に、上記の評価式が成り立てばリーマン予想が成り立つことも知られている。

また前節で挙げた表を見れば分かるように、''x'' が小さければ

:<math>\pi (x)<\operatorname{Li} (x)</math>

が成り立っている。これが全ての ''x'' で成り立つであろうと、[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]や[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]さえも予想していたが、これが正しくないことは1914年に[[ジョン・エデンサー・リトルウッド]]が初めて示した。これが成り立たない最小の ''x'' を[[スキューズ数]]というが、具体的な値はほとんど分かっていない。なお、<math>\pi (x)</math> と <math>\operatorname{Li} (x)</math>
の大小は、''x'' が大きくなるにつれて無限に入れ替わる<ref>{{cite journal |first=J.E. |last= Littlewood |author-link=ジョン・エデンサー・リトルウッド |year=1914 |title=Sur la distribution des nombres premiers |journal=Comptes Rendus |volume=158 |pages= 1869–1872 | jfm=45.0305.01}}</ref>。

== リーマン関数 ==
リーマンは、リーマン関数

:<math>R(x) = \sum_{m=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m} \operatorname{Li} (x)^\frac{1}{m}</math>

を用いて、{{π}}(''x'') に関する以下の公式を与えた。

:<math>\pi(x)=R(x)-\sum_{\rho} R(x^\rho )</math>

ただし、和は[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]の複素零点 ''ρ'' 全体をわたる。

''R''(''x'') の項だけをとっても、これは Li(''x'') よりかなり良い近似を与える。

''R''(''x'') は、以下の級数を用いて計算可能である<ref>{{MathWorld|title=Gram Series|urlname=GramSeries}}</ref>。

:<math>R(x)=1+\sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{1}{n\zeta (n+1)} \cdot \frac{(\log (x))^n}{n!} \right\}</math>

==有限体上の既約多項式での類似==
[[有限体]]上の[[既約多項式]]の「分布」を記述する素数定理の類似がある。形式は古典的な素数定理の場合に全く同一に見える。<!--
==Analogue for irreducible polynomials over a finite field==
There is an analogue of the prime number theorem that describes the "distribution" of [[irreducible polynomial]]s over a [[finite field]]; the form it takes is strikingly similar to the case of the classical prime number theorem.-->

このことを詳しく述べるために、''F'' = ''GF''(''q'') を ''q'' 個の元を持つ有限体とし、ある固定された ''q'' に対し、''N{{sub|n}}'' を[[モニック多項式|モニック]]で'''既約'''な ''F'' 上の多項式で、[[多項式#1変数の多項式|次数]]が ''n'' となるものの数を表すとする。モニックな既約多項式とは、つまり、''F'' の中に係数をもつ多項式と見て、小さな次数の積としては書くことができないような多項式とする。この設定では、モニックな既約多項式は、他の全てのモニックな多項式はモニックな既約多項式の積で書くことができるので、素数の役割を果たす。すると次のことを証明することができる。
:<math>N_n \sim \frac{q^n}{n}</math>
''x'' = ''q{{sup|n}}'' を代入すると、この式の右辺は、
:<math>\frac{x}{\log_q x}</math>
であり、類似がより明白になる。''q{{sup|n}}'' は次数 ''n'' のモニックな既約多項式であるので、このことは次のように言い換えることができる。次数 ''n'' のモニック多項式をランダムに選ぶと、既約である確率は、約 {{sfrac|1|''n''}} である。

リーマン予想の類似、すなわち、
:<math>N_n =\frac{q^n}n +O\left( \frac{q^{\tfrac{n}{2}}}{n} \right)</math>
が成り立つことを証明することができる。
<!--To state it precisely, let ''F'' = GF(''q'') be the finite field with ''q'' elements, for some fixed ''q'', and let ''N''<sub>''n''</sub> be the number of [[monic polynomial|monic]] ''irreducible'' polynomials over ''F'' whose [[degree of a polynomial|degree]] is equal to ''n''. That is, we are looking at polynomials with coefficients chosen from ''F'', which cannot be written as products of polynomials of smaller degree. In this setting, these polynomials play the role of the prime numbers, since all other monic polynomials are built up of products of them. One can then prove that
:<math>N_n \sim \frac{q^n}{n}.</math>
If we make the substitution ''x'' = ''q''<sup>''n''</sup>, then the right hand side is just
:<math>\frac{x}{\log_q x},</math>
which makes the analogy clearer. Since there are precisely ''q''<sup>''n''</sup> monic polynomials of degree ''n'' (including the reducible ones), this can be rephrased as follows: if a monic polynomial of degree ''n'' is selected randomly, then the probability of it being irreducible is about&nbsp;1/''n''.

One can even prove an analogue of the Riemann hypothesis, namely that
:<math>N_n = \frac{q^n}n + O\left(\frac{q^{n/2}}{n}\right).</math>-->

多項式についての命題の証明は、古典的な（数についての）命題の証明に比較して、非常に易しい。短い組み合わせ的な議論により証明することができる<ref>{{cite journal
|last = Chebolu
|first = Sunil
|coauthors = Ján Mináč
|title = Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle
|journal = Mathematics Magazine
|date = December 2011
|volume = 84
|issue = 5
|pages = 369–371
|doi = 10.4169/math.mag.84.5.369
|url = http://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.84.5.369
}}</ref>。まとめると、''F'' の次数 ''n'' の拡大の全ての元は、''n'' を割る次数 ''d'' のある既約多項式の根であり、2つの方法でこれらの根の数を数え上げることにより、
:<math>q^n =\sum_{d\mid n} dN_d</math>
を成立させることができる。ここに和は ''n'' の[[因子]] ''d'' の全てを渡る。よって、μ(''k'') を[[メビウス関数]]とすると、[[メビウス函数#メビウスの反転公式|反転公式]]は、
:<math>N_n = \frac1n \sum_{d\mid n} \mu \left( \frac{n}{d} \right) q^d</math>
である。（この公式をガウスは既に知っていた。）主要項は ''d'' = ''n'' であり、残余項の境界を示すことは難しくはない。多項式の「リーマン予想」の命題は、最大な ''n'' の ''n'' 未満の因子は {{sfrac|''n''|2}} よりも大きくはなり得ないという事実には依存しない。
<!--The proofs of these statements are far simpler than in the classical case. It involves a short combinatorial argument,<ref>{{cite journal|last=Chebolu|first=Sunil|coauthors=Ján Mináč|title=Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle|journal=Mathematics Magazine|date=December 2011|volume=84|issue=5|pages=369–371|doi=10.4169/math.mag.84.5.369|url=http://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.84.5.369}}</ref> summarised as follows. Every element of the degree ''n'' extension of ''F'' is a root of some irreducible polynomial whose degree ''d'' divides ''n''; by counting these roots in two different ways one establishes that
:<math>q^n = \sum_{d\mid n} d N_d,</math>
where the sum is over all [[divisor]]s ''d'' of ''n''. [[Möbius inversion]] then yields
:<math>N_n = \frac1n \sum_{d\mid n} \mu(n/d) q^d,</math>
where μ(''k'') is the [[Möbius function]]. (This formula was known to Gauss.) The main term occurs for ''d'' = ''n'', and it is not difficult to bound the remaining terms. The "Riemann hypothesis" statement depends on the fact that the largest [[proper divisor]] of ''n'' can be no larger than ''n''/2.-->

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|section=1|date=2022年8月27日 (土) 01:40 (UTC)}}
<!--著作者名の50音順-->
*{{Citation
|last=Hadamard
|first=Jacques
|author-link=ジャック・アダマール
|year=1896
|title=Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques.
|journal=Bulletin de la Société Mathématique de France
|publisher=Société Mathématique de France
|volume=24
|pages=199-220
|url=https://web.archive.org/web/20120717195014/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=BSMF_1896__24__199_1
}}
*{{Citation
|last=Erdős
|first=Paul
|author-link=ポール・エルデシュ
|date=1949-07-01
|title=On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem,
|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences
|publisher=National Academy of Sciences
|location=U.S.A.
|volume=35
|issue=7
|pages=374-384
|doi=10.1073/pnas.35.7.374
|url=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1949-02.pdf
}}
*{{Citation
|last=Selberg
|first=Atle
|author-link=アトル・セルバーグ
|date=1949-04
|title=An Elementary Proof of the Prime Number Theorem.
|journal=Annals of Mathematics
|publisher=Mathematics Department, Princeton University
|series=Second Series
|volume=50
|issue=2
|pages=305-313
|url=http://www.jstor.org/stable/1969455
}}
*{{Citation
|last=de la Vallée Poussin
|first=Charles-Jean
|year=1896
|title=Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers.
|journal=Annales de la Société scientifique de Bruxelles
|publisher=Imprimeur de l'Académie Royale de Belgique
|volume=20 B; 21 B
|pages=183-256, 281-352, 363-397; 351-368
|url=http://sciences.amisbnf.org/fr/livre/recherches-analytiques-de-la-theorie-des-nombres-premiers
}} - {{Google Books|7e0GAAAAYAAJ|Recherches analytiques la théorie des nombres premiers.|plainurl=yes}}
和書：
* 内山三郎：「素数の分布」、宝文館出版、(1970年)。
*{{Cite book|和書
|author = ウワディスワフ・ナルキェヴィッチ
|translator = 中嶋眞澄
|date = 2008-06
|title = 素数定理の進展
|volume = 上
|publisher = シュプリンガー・ジャパン
|isbn = 978-4-431-71086-8
|ref = {{Harvid|ナルキェヴィッチ|2008}}
}}
**{{Cite book|和書
|author = ウワディスワフ・ナルキェヴィッチ
|translator = 中嶋眞澄
|date = 2012-07-17
|title = 素数定理の進展
|volume = 上
|publisher = 丸善出版
|isbn = 978-4-621-06315-6
|ref = {{Harvid|ナルキェヴィッチ|2012}}
}} - {{Harvtxt|ナルキェヴィッチ|2008}}の復刊。
* W・ナルキェヴィッチ(著)、中嶋眞澄(訳)：『素数定理の進展』下、丸善出版、ISBN 978-4-621-06522-8 (2013年11月25日).
*{{Cite book|和書
|author = 松本耕二
|date = 2005-11
|title = リーマンのゼータ関数
|chapter = 第3章 素数定理
|series = 開かれた数学 1
|publisher = 朝倉書店
|isbn = 978-4-254-11731-8
|ref = {{Harvid|松本|2005}}
}}
* {{Cite journal|和書|author=本橋洋一 |date=2005-05 |url=http://mathsoc.jp/publication/tushin/1001/motohashi.pdf |format=PDF |title=素数の翼に乗って |journal=数学通信 |ISSN=13421387 |publisher=東京 : 日本数学会 |volume=10 |issue=1 |pages=4-19 |CRID=1520572358126328192 |accessdate=2024-03-14|ref={{Harvid|本橋|2005}}}}
*{{Cite book|和書
|author=本橋洋一
|origyear=2009
|date=2012-11
|title=解析的整数論
|volume=I ― 素数分布論 ―
|series=朝倉数学大系 1
|edition=第2刷
|publisher=朝倉書店
|isbn=978-4-254-11821-6
|ref={{Harvid|本橋|2012}}
}} - 注釈：第2刷は加筆含む。
*{{Cite book|和書
|author = 吉田信夫
|authorlink = 吉田信夫
|editor = アップ研伸館
|date = 2011-10
|title = 複素解析の神秘性　複素数で素数定理を証明しよう!
|publisher = 現代数学社
|isbn = 978-4-7687-0416-5
|ref = {{Harvid|吉田|2011}}
}}
*{{Cite book|和書
|author = A-M.ルジャンドル
|authorlink = アドリアン＝マリ・ルジャンドル
|translator = [[高瀬正仁]]
|date = 2007-12
|title = 数の理論
|publisher = 海鳴社
|isbn = 978-4-87525-245-0
|ref = {{Harvid|ルジャンドル|2007}}
}}

== 関連項目 ==
{{Wikibooks|de:Beweisarchiv: Zahlentheorie: Analytische Zahlentheorie: Primzahlsatz|素数定理}}
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
{{Div col}}
*[[リーマンゼータ関数|ゼータ関数]]
*[[陳の定理]]
*[[リーマン予想]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|素数定理}}
*{{MathWorld|title=Prime Number Theorem|urlname=PrimeNumberTheorem}}
*{{MathWorld|title=Skewes Number|urlname=SkewesNumber}}

{{DEFAULTSORT:そすうていり}}
[[Category:カール・フリードリヒ・ガウス]]
[[Category:数論の定理]]
[[Category:素数]]
[[Category:対数]]
[[Category:数学に関する記事]]
<!--
[[pl:Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych]]
-->