素数計数関数のソースを表示

'''素数計数関数'''（{{Lang-en-short|Prime-counting function}}）とは、正の[[実数]]にそれ以下の[[素数]]の個数を対応させる[[関数 (数学)|関数]]のことであり、'''{{π}}(''x'')''' で表す<ref name="Bach">{{cite book
|first = Eric
|last = Bach
|author2 = Shallit, Jeffrey
|year=1996
|title = Algorithmic Number Theory
|publisher = MIT Press
|isbn = 0-262-02405-5
|pages = volume 1 page 234 section 8.8
|nopp = true}}</ref><ref name="mathworld_pcf">{{MathWorld
|title = Prime Counting Function
|urlname = PrimeCountingFunction
}}</ref>。

== 歴史 ==
[[数論]]の[[歴史]]において {{π}}(''x'') の増大度は重要な関心事とされてきた<ref name="Caldwell">{{cite web
|publisher = Chris K. Caldwell
|title = How many primes are there?
|url = http://primes.utm.edu/howmany.shtml
|accessdate = 2008-12-02
}}</ref><ref name="Dickson">{{cite book
|authorlink = L. E. Dickson
|first = Leonard Eugene
|last = Dickson
|year = 2005
|title = [[History of the Theory of Numbers]], Vol. I: Divisibility and Primality
|publisher = Dover Publications
|isbn = 0-486-44232-2
}}</ref>。

[[18世紀]]の[[レオンハルト・オイラー]]は、素数列の[[逆数]]の和が[[発散級数|発散]]することを示した（[[素数が無数に存在することの証明#オイラー|素数の無限性の証明]]を参照）<ref name="paulo">Paulo Ribenboim著 吾郷 孝視訳編 『素数の世界』2001年、共立出版</ref>。[[平方数]]の逆数の和は収束するため、これは {{π}}(''x'') が <math>\sqrt{x}</math> よりも速く増大することを示している。

[[1808年]]、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]は以下の[[等式]]を示した<ref name="paulo" />。
:<math>\pi (N)=\pi (\sqrt{N} )-1+\sum_d \mu (d)\left[ \frac{N}{d} \right]</math>
ここで <math>\mu(d)</math> は[[メビウス関数]]、<math>[x]</math> は[[床関数と天井関数|ガウス記号]]であり、和は <math>\sqrt{N}</math> 以下のすべての素数の積 ''P'' のすべての正の約数 ''d'' を動く。この式より、
:<math>\lim_{x\to \infty} \frac{\pi(x)}{x} =0</math>
が導かれる<ref name="paulo" />。

=== 素数定理 ===
[[ファイル:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|{{π}}(''x'') とそれを近似する関数 ''x''/ln ''x'' および Li ''x'' との比の[[グラフ (関数)|グラフ]]。''x''が増大すると比が 1 に向かうこと、そして Li ''x'' に対する比の方が[[収束]]が速いことなどが見て取れる。]]

18世紀末には、{{π}}(''x'') が <math>\frac{x}{\operatorname{ln} x}</math> に漸近近似できること、即ち
:<math>\lim_{x\to \infty} \frac{\pi (x)}{x/\operatorname{ln} x} =1</math>
が成り立つであろうということが、[[カール・フリードリヒ・ガウス]]により予想されていた。[[1850年]]頃に[[パフヌティ・チェビシェフ]]は、この等式の左辺がもし[[極限]]を持つならば、それは1でなくてはならないことを示した<ref name="paulo" />。その後もこの予想は長らく証明されなかったが、[[1896年]]になって[[ジャック・アダマール]]と{{仮リンク|シャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン|en|Charles-Jean de La Vallée Poussin}}により独立に証明され、現在では'''[[素数定理]]'''と呼ばれている。彼らの証明は、[[リーマンゼータ関数]]の性質を用いている。

長い間、[[解析]]的方法を用いなければ素数定理を証明することはできないと信じられていたが<ref name="paulo" />、[[1948年]]頃、[[アトル・セルバーグ]]と[[ポール・エルデシュ]]は[[複素解析]]を用いない素数定理の証明を（ほぼ独立に）発見した<ref name="Ireland">{{cite book
|first = Kenneth
|last = Ireland
|author2 = Rosen, Michael
|year = 1998
|title = A Classical Introduction to Modern Number Theory
|edition = Second
|publisher = Springer
|isbn = 0-387-97329-X
}}</ref>。それらの証明では、[[数論的関数]]の初等的評価のみを用いていた。

=== リーマン予想との関係 ===
{{Main|リーマンの素数公式}}
[[1859年]][[リーマン]]は、{{π}}(''x'') をゼータ関数の零点を用いて表す式を発見した<ref name="paulo" />。
:<math>\pi (x)=R(x)-\sum_{\rho} R(x^{\rho})</math>
ここで <math>R(x)</math> は、
:<math>R(x)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\mu (m)}{m} \operatorname{li} (x^{\tfrac{1}{m}})</math>

と定義され、和の ρ はゼータ関数の全ての[[零点]]をわたる。
*また、リーマン予想と下の式が正しいことは同値である。
:<math>\pi (x)=\operatorname{li} (x)+O\left( \sqrt{x} \ln x\right)</math>
また、<math>O</math>は、[[ランダウの記号]]である。
また、リーマン予想が正しい場合、以下の式が成り立つことが知られている。<ref>{{Cite journal | last1=Schoenfeld | first1=Lowell |authorlink=Lowell Schoenfeld| title=Sharper bounds for the Chebyshev functions ''θ''(''x'') and ''ψ''(''x''). II | doi=10.2307/2005976 | mr=0457374  | year=1976 | journal=[[Mathematics of Computation]] | issn=0025-5718 | volume=30 | issue=134 | pages=337–360 | jstor=2005976 | publisher=American Mathematical Society}}</ref>
:<math>|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \log{x}, \qquad \text{for all } x \ge 2657. </math>

== 関数の値 ==
{{π}}(''x''), ''x'' / ln ''x'' および li(''x'') の3つの関数を10の冪において比較した表は[[素数定理#定理の内容]]にある。

== {{π}}(''x'') の公式 ==
上述のルジャンドルやリーマンらによる公式以外にも、{{π}}(''x'') を表す公式がいくつか存在する。例えばWilliansは、[[ウィルソンの定理]]に基づき次の初等的な公式を与えている<ref name="paulo" />。
:<math>\pi (m)=-1+\sum_{j=1}^m F(j)</math>
ここで <math>F(j)</math> は、ガウス記号を用いて
:<math>F(j)=\left[ \cos^2 \pi \frac{(j-1)!+1}{j} \right]</math>
と定義される関数である。これが {{π}}(''x'') を表す理由は単純で、''F''(''j'') は[[合成数]]ならば 0、その他の値に対しては 1 を取るからである。ウィルソンの定理と同様、この公式も実用的な計算には用いることができない。

その他、ドイツの数学者{{仮リンク|エルンスト・マイセル|en|Ernst Meissel}}による巧妙な[[漸化式|漸化関係]]を持つ公式などが知られている<ref name="paulo" />。マイセルは[[1885年]]自身の公式を用いて {{π}}(10{{sup|9}}) の値を求めた。
== 不等式 ==
{{π}}(''x'') と {{sfrac|''x''|ln ''x''}} の関係として以下の[[不等式]]が知られている<ref>{{Cite journal|last=Rosser|first=J. Barkley|last2=Schoenfeld|first2=Lowell|year=1962|title=Approximate formulas for some functions of prime numbers|journal=Illinois J. Math.|volume=6|pages=64–94|DOI=10.1215/ijm/1255631807|issn=0019-2082|zbl=0122.05001}}</ref>。
:<math>\frac{x}{\ln x} <\pi (x)<1.25506\frac{x}{\ln x}</math>
左の不等号は ''x'' ≥ 17 で、右の不等号は ''x'' > 1 で成り立つ。

[[ピエール・デザルト]]は[[2010年]]に次の6つの不等式
*<math>\frac{x}{\ln x} (1+\frac{1}{\ln x}) <\pi (x)</math>（ただし ''x'' ≥ 599）
*<math>\pi (x)<\frac{x}{\ln x} (1+\frac{1.2762}{\ln x}) </math>（ただし ''x'' ≥ 1）
*<math>\frac{x}{\ln x-1} <\pi (x)</math>（ただし ''x'' ≥ 5393）
*<math>\pi (x)<\frac{x}{\ln x-1.1}</math>（ただし ''x'' ≥ 60184）
*<math>\frac{x}{\ln x} (1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2}{\ln^2 x}) <\pi (x)</math>（ただし ''x'' ≥ 88783）
*<math>\pi (x)<\frac{x}{\ln x} (1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2.334}{\ln^2 x}) </math>（ただし ''x'' ≥ 2953652287）
を示した<ref>{{cite web
|last = Dusart
|first = Pierre
|title = "ESTIMATES OF SOME FUNCTIONS OVER PRIMES WITHOUT R.H."
|url = https://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1002/1002.0442v1.pdf
|publisher = arxiv.org
|accessdate = 22 April 2014
}}</ref>。

== 関連項目 ==
*[[与えられた数より小さい素数の個数について]]
*[[対数積分]]
*[[リーマン予想]]
*[[エラトステネスの篩]]
*[[ルジャンドル予想]]
*[[ベルトランの仮説]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

==外部リンク==
*Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/nthprime/ ''The Nth Prime Page''] at The [[Prime Pages]].
*Tomás Oliveira e Silva, [http://sweet.ua.pt/tos/primes.html Tables of prime-counting functions].

{{DEFAULTSORT:そすうけいすうかんすう}}
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]