素集合のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年9月19日 (木) 23:39 (UTC)}}
[[画像:Disjunkte Mengen.svg|thumb|互いに素な2つの集合]]
2つの集合が'''交わりを持たない''' {{lang|en|(disjoint)}} あるいは'''互いに素'''（たがいにそ、{{lang-en|mutually disjoint}}）であるとは、それらが共通の[[元 (数学)|元]]を持たぬことをいう。一般に、与えられた集合[[族 (数学)|族]]が'''互いに素'''（{{lang-en|pairwise disjoint}}）、あるいは'''素集合'''系（そしゅうごうけい、{{lang-en|''disjoint sets''}}）であるとは、その集合族に属するどの2つの集合を選んでも、その2つの[[共通部分 (数学)|共通部分]]が[[空集合]]であることをいう。例えば、{1, 2, 3} と {4, 5, 6} は互いに素である。

== 概要 ==
2つの集合 ''A'' と ''B'' が'''互いに素'''であるとは、それらの[[共通部分]]が[[空集合]]であること、すなわち、
:<math>A\cap B = \varnothing</math>
であることを意味する。

この定義は任意の個数の集合に拡張できる。集合[[族 (数学)|族]]が'''互いに素'''であるとは、その集合族に属するどの2つの集合の[[共通部分 (数学)|共通部分]]も[[空集合]]であることをいう。つまり、''I'' を添字集合として ''I'' のそれぞれの元 ''i'' について、''A{{sub|i}}'' という集合が対応しているとき、集合族 {''A{{sub|i}}'' : ''i'' ∈ ''I''} が「互いに素」であるとは、''i'' ≠ ''j'' である任意の ''i'' と ''j'' について、
:<math>A_i \cap A_j = \varnothing</math>
が成り立つことをいう。例えば、{ {1}, {2}, {3}, … } は互いに素な集合族である。

{''A{{sub|i}}''} が（少なくとも2つの集合を含む）互いに素な集合族であるとき、その共通部分は明らかに空集合である。すなわち、
:<math>\bigcap_{i\in I} A_i = \varnothing</math>
が成り立つ。しかし、その逆は真ではない。例えば、集合族 {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} の共通部分は空集合だが、互いに素ではない（{1, 2} と {2, 3} の共通部分は {2}）。

集合 ''X'' の[[集合の分割|分割]]とは、その[[直和]]が ''X'' に等しい集合族のことである。すなわち、各 ''A{{sub|i}}'' が ''X'' の部分集合である族 {''A{{sub|i}}'' : ''i'' ∈ ''I''} であり、互いに素であると同時に
:<math>\bigcup_{i\in I} A_i = X</math>
が成り立つものである。通常は、各 ''A{{sub|i}}'' が空でないことを要請する。

== 関連項目 ==
*[[互いに素]]
*[[直和]]
*[[素集合データ構造]]

{{DEFAULTSORT:そしゆうこう}}
[[Category:集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]