累積カイ二乗検定のソースを表示

累積カイ二乗検定(るいせきかいじじょうけんてい、累積カイ二乗法、英:Cumulative chi-squared test)は[[統計学]]における[[仮説検定]]の一種である。東京大学の[[竹内啓]]、[[広津千尋]]らによって1966年に[[田口玄一]]が導入した[[累積法]]<ref name="田口">[[田口玄一]] 『統計解析』丸善、1966年。</ref>を修正して1979年に提案された<ref name="広津">[[竹内啓]], 広津千尋、「[https://doi.org/10.5023/jappstat.8.39 計数データに関する累積カイ2乗法]」『応用統計学』 1979年 8巻 2号 p.39-50, {{doi|10.5023/jappstat.8.3}}, 応用統計学会。</ref>[[仮説検定|統計学的仮説検定法]]である。2つの変数の間、2つの母集団の間に差がないという[[帰無仮説]]に対して、[[対立仮説]]として帰無仮説の棄却ではなく、一つの変数または両方の変数が増加または減少をする[[指向性検定|傾向性]]がある、といった[[対立仮説]]を設定する<ref name="広津"/>。例えば、薬剤の効果を調べる試験において複数の投与量ごとの反応の程度を見る、といった[[順序尺度]]で表される変数について、投与量の[[尺度水準|水準]]が増加するにつれて反応が変化する、という[[対立仮説]]を立てる<ref name="松本">松本一彦、「[https://doi.org/10.1254/fpj.110.341 薬理試験における統計解析のQ&A－累積カイニ乗検定の応用－]」『日本薬理学雑誌』 1997年 110巻 6号 p.341-346, {{doi|10.1254/fpj.110.341}}, 日本薬理学会。</ref>。同様の目的のための[[仮説検定|検定法]]としては[[ウィルコクソンの符号順位検定]]などがある。

== 帰無仮説 ==
2つの[[母集団]] A, B から抽出して得られる観測値 <math>y</math> により[[母集団]]の優劣を比較する場合を考える。各観測値は順序のある <math>k</math> 個の[[尺度水準|水準]]のどれかに分けられるものとしたとき、各観測値を <math>y_{ij}\ ( i=1, 2\ j=1, 2, ... ,k ) </math> で表し、<math>y_{ij}</math> が水準 <math>k</math> に入る確率を <math>p_{ij}\ (i=1,2\ j=1, 2,\ldots ,k )</math>とする。この場合の[[帰無仮説]]は2つの[[母集団]] A, B の間に差がないということを表すため次の式になる<ref name="広津"/><br />
:<math>H_0:p_{1j}= p_{2j}\ ( j=1, 2,\ldots ,k )</math>

== 対立仮説 ==
単に[[帰無仮説]]を棄却するのであれば[[対立仮説]]は次のようになる<br />
:<math>H_1:p_{1j}\ne p_{2j}</math><br />
しかしこの[[対立仮説]]ではA, B の優劣を表すことができない。そこで各水準間に順序があることを考えて次の[[対立仮説]]を想定する<ref name="広津"/>。
:<math>H_2:\begin{cases} (1)\ p_{11}/p_{12}\ge p_{21}/p_{22}\ge\ldots\ge p_{1k}/p_{2k}\\ (2)\ p_{11}/p_{12}\le p_{21}/p_{22}\le\ldots\le p_{1k}/p_{2k}\end{cases}</math>• • • • • •<math>(1)</math>または<math>(2)</math><br />
:<math>H_3:\begin{cases}(1)\ P_{1j}\ge P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots,k-1)\\(2)\ P_{1j}\le P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots,k-1)\end{cases}</math>• • • • • • •<math>(1)</math>または<math>(2)</math><br />
ただし<math>P_{ij}</math>は[[確率分布|累積確率]]を表す。<br />
::<math>P_{ij}= \sum_{n=1}^j p_{in} \quad (j=1, 2,\ldots,k-1)</math><br />
[[対立仮説]] <math>H_1</math> は母集団 A が若い水準(優れているまたはその反対)に分類されることが多いことを表す。
[[対立仮説]] <math>H_3</math> はどの[[確率分布|累積確率]]で比較しても同等以上であることを表す<ref name="広津"/>。

== 検定統計量 ==
上記の帰無仮説 <math>H_0</math> は次の <math>H_{0j}</math> が同時に成り立つことと同じである。
:<math>H_{0j}: P_{1j}=P_{2j}\quad (j=1, 2,\ldots , k-1)</math><br />
この <math>H_0</math> についての自由度 1 のカイ二乗値<br />
:<math>{\chi_j}^2=\frac{2n(Y_{1j}-Y_{2j})^2}{Y_{\cdot j}(2n-Y_{\cdot j})}</math><br />
:＊<math>Y_{ij}=\sum_{n=1}^j y_{in}</math><br />
この累積するカイ二乗値を結合して一つの[[検定統計量]]<br />
:<math>\chi^{\ast 2} = \sum_{j=1}^{k-1} {\chi_j}^2</math>
とする<ref name="広津"/>。

== 適用 ==
傾向のある[[対立仮説]]を想定する検定問題で
* いくつかの[[二項分布]]の比較
* 2つの[[多項分布]]の比較
* いくつかの[[多項分布]]の比較
* 2×k [[分割表]]における独立性の検定
などに用いることができる<ref name="広津"/>。

[[用量反応関係]]の検定などにおいて累積カイ二乗検定の適用となる[[分割表]]のタイプには次のようなものが挙げられる
* m×2 分割表(順序あり)
* 2×l 分割表(順序あり)
* m×l 分割表(列に順序あり)
* m×l 分割表(行・列とも順序あり)<ref name="松本"/>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|コクラン・アーミテージ傾向検定|en|Cochran-Armitage test for trend}}
*[[シャーリー・ウィリアムズ検定]]
*[[ウィルコクソンの符号順位検定]]
*{{仮リンク|クラスカル・ウォリス検定|en|Kruskal-Wallis one-way analysis of variance}}
*[[実験計画法]]
*[[推計統計学]]

{{統計学}}

{{DEFAULTSORT:るいせきかいししようけんてい}}
[[Category:統計検定]]
[[Category:数学に関する記事]]