累積分布関数のソースを表示

{{Expand English|Cumulative distribution function|date=2024年5月}}
[[画像:Exponential distribution cdf.svg|300px|thumb|[[指数分布]]の累積分布関数]]
[[画像:Normal Distribution CDF.svg|300px|thumb|[[正規分布]]の累積分布関数]]

'''累積分布関数'''（るいせきぶんぷかんすう、{{lang-en-short|cumulative distribution function, CDF}}）または'''分布関数'''（ぶんぷかんすう、{{lang-en-short|distribution function}}）とは、[[確率論]]において、[[確率変数]] {{mvar|X}} の実現値が {{mvar|x}} 以下になる[[確率]]の[[関数 (数学)|関数]]のこと。連続型確率変数では、負の無限大から {{mvar|x}} まで[[確率密度関数]]を[[定積分]]したものであるとも言える。

累積分布関数は[[同時確率分布]]でも[[条件付き確率分布]]でも定義される。

== 定義 ==
実数値[[確率変数]] {{mvar|X}} の累積分布関数は以下で定義される<ref name=KunIlPark>{{Cite book |author=Park,Kun Il |title=Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications |publisher=Springer |year=2018 |isbn=978-3-319-68074-3}}</ref>{{rp|p. 77}}。この確率は'''下側確率''' (lower-tail probability) とも呼ばれる。
: <math>F_X (x) := \operatorname{P} (X\leq x)</math>
{{mvar|X}} の {{math|''a'' < ''b''}} の時の半開区間 {{math|(''a'', ''b'']}} の確率は以下になる<ref name=KunIlPark/>{{rp|p. 84}}。
: <math>\operatorname{P}(a < X \le b)= F_X (b)-F_X (a)</math>

連続型確率変数の累積分布関数は[[確率密度関数]]が存在する場合は以下になる<ref name=KunIlPark/>{{rp|p. 86}}。
:<math>F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X (t) \,dt</math>

== 特徴 ==
累積分布関数は[[広義単調増加]]関数であり<ref name=KunIlPark/>{{rp|p. 78}}、右[[連続 (数学)|連続]]関数である<ref name=KunIlPark/>{{rp|p. 79}}。さらに以下が成立する。
: <math>\lim_{x\to -\infty} F_X (x)=0, \quad \lim_{x\to +\infty} F_X (x)=1.</math>

離散型確率変数 {{mvar|X}} では以下が成立する。
:<math>F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).</math>

連続型確率変数 {{mvar|X}} では以下が成立する。
:<math>F_X (b)-F_X (a) = \operatorname{P} (a< X\leq b) = \int_a^b f_X (x)\,dx</math>

== 派生関数 ==
=== 相補累積分布関数 ===
'''相補累積分布関数''' (complementary cumulative distribution function, CCDF) とは、以下で定義される関数。この確率は'''上側確率''' (upper-tail probability) とも呼ばれる。
:<math>\bar F_X (x) = \operatorname{P} (X>x) = 1 - F_X(x)</math>

=== 分位関数 ===
'''分位関数''' (quantile function) や'''分位点関数'''とは、累積分布関数が[[狭義単調増加]]で連続な場合に定義される累積分布関数の[[逆関数]] <math>F^{-1} (p), p \in [0,1]</math> のこと。[[逆関数法|逆関数サンプリング法]]などで使用される。[[正規分布]]の場合は[[プロビット]]という。

== 参照 ==
{{Reflist}}

{{Probability-stub}}
{{確率論}}
{{デフォルトソート:るいせきふんふかんすう}}
[[Category:確率論]]
[[Category:数学に関する記事]]