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'''終端速度'''（しゅうたんそくど、{{lang-en-short|terminal velocity}}）<ref name="toda">{{cite|和書|title=力学|author=戸田盛和|publisher=岩波書店 |isbn=4-00-007641-8 |year=1982 |page=54}}</ref>とは、物体が[[重力]]または[[遠心力]]などの[[体積力]]と、[[速度]]に依存する[[抗力]]を受けるときに、それらの力がつりあって変化しなくなったときの速度である。'''終末速度'''<ref name="asano">{{cite|和書 |title=物質移動の基礎と応用 |author=浅野康一 |publisher=丸善 |isbn=4-621-07356-7 |year=2004 |page=117}}</ref>、'''終末沈降速度'''<ref name="sptj">{{cite| 和書| title=液相中の粒子分散・凝集と分離操作| editor=粉体工学会| publisher=日刊工業新聞社| isbn=978-4-526-06391-6| year=2010| page=124}}</ref>とも呼ばれる。

== 運動方程式 ==
球状の物体が[[重力]]により落下しながら[[浮力]]と[[空気抵抗]]を受けている場合を考える<ref group="注">重力でなく遠心力場であれば重力加速度の代わりに遠心加速度を、また静止した空気中でなく運動する流体中であれば物体の速度の代わりに相対速度を用いればよい。</ref>。また仮定として、物体は単独で（他の物体があってもそれらからの影響を受けずに）運動しているとする。

このとき、物体の[[運動方程式]]は
:<math>\rho_\mathrm{s}V \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = (\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})Vg-c_\mathrm{D} S\frac{\rho_\mathrm{f} u^2}{2}</math>
となる。ここで、
* {{math|&rho;{{sub|s}}}} ：物体の[[密度]] [kg/m{{sup|3}}]
* {{math|&rho;{{sub|f}}}} ：空気の密度
* <math>V=\frac{\pi}{6}d^3</math> ：物体の[[体積]] [m{{sup|3}}]
* <math>S=\frac{\pi}{4}d^2</math> ：物体の運動方向への投影面積 [m{{sup|2}}]
** {{math|''d''}} ：物体の[[直径]] [m]
* {{math|''u''}} ：物体の速度 [m/s]
* {{math|''g''}} ：[[重力加速度]] [m/s{{sup|2}}]
* {{math|''c''{{sub|D}}}} ：[[抗力係数]]
である。

抗力係数 {{math|''c''{{sub|D}}}} は
:<math>c_\mathrm{D} = \begin{cases}
\dfrac{24}{Re} & (Re<2) \\
\dfrac{10}{\sqrt{Re}} & (2<Re<500) \\
0.44 & (500<Re<10^5)
\end{cases}</math>
と表される。ここで、{{math|''Re''}} は物体の速度を[[無次元化]]した[[レイノルズ数]]であり、
:<math>Re=\frac{du\rho_\mathrm{f}}{\mu_\mathrm{f}}</math>
* {{math|&mu;{{sub|f}}}} ：空気の[[粘性係数]] [kg/m s]
と定義される。この流れはレイノルズ数{{math|''Re''}} の範囲で
* {{math|''Re'' < 2}} ：[[ジョージ・ガブリエル・ストークス|ストークス]]域（[[層流]]域）
* {{math|2 < ''Re'' < 500}} ：アレン域（中間域）
* {{math|500 < ''Re'' < 10{{sup|5}}}} ：[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]域（[[乱流]]域）
と呼び分けられる。

=== 解 ===
終端速度 {{math|''u''{{sub|t}}}} は、運動方程式において左辺の[[加速度]]がゼロになったときの速度である（{{math|''c''{{sub|D}} > 0}} なら速度 {{math|''u''}} は {{math|''t'' &rarr;&infin;}} で収束する）から、この方程式を解けば
:<math>u_\mathrm{t} = \begin{cases}
\dfrac{d^2(\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})g}{18\mu_\mathrm{f}} & (Re<2) \\
\left\{\dfrac{4}{225}\dfrac{(\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})^2g^2}{\rho_\mathrm{f}\mu_\mathrm{f}}\right\}^\frac{1}
{3}d & (2<Re<500) \\
\left\{\dfrac{4}{3\times 0.44}\dfrac{(\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})g}{\rho_\mathrm{f}}d\right\}^\frac{1}{2} & (500<Re<10^5)
\end{cases}</math>
と求められる。特に {{math|''Re'' < 2}} の場合の解は[[ストークスの式]]と呼ばれる。

== 抗力係数 ==
抗力係数 {{math|''c''{{sub|D}}}} は上述の通りレイノルズ数 {{math|''Re''}} によって変化するが、その関数形には様々な式が提案されている。

低速の層流域（ストークス域）で {{math|''c''{{sub|D}} {{=}} 24/''Re''}} となることはどの文献でも同様であるが、その適用域には差があり、{{math|''Re'' < 10}} <ref name=ito>{{Cite web|和書|url=https://chemeng.web.fc2.com/fl/fl08a.html|title=流体中の粒子・気泡の運動|accessdate=2021年8月21日}}</ref>、{{math|''Re'' < 0.5}} <ref name=noda>{{Cite web|和書|url=https://staff.aist.go.jp/a.noda/memo/settle/settle/settle.html|title=沈降法による粒子径測定|author=野田篤|accessdate=2018年12月8日}}</ref>、{{math|''Re'' < 0.25}} ([[日本工業規格（その他）の一覧_(Z_5000-9999)#JIS_Z_8000～8999|JIS Z 8820-1]])<ref name=noda/>等がある。また極細粒粒子は[[ブラウン運動]]によって不規則に動くため、適用域の下限も存在する<ref name=noda/>。

比較的高速の乱流域（ニュートン域、亜臨界領域<ref name=krause>{{cite|和書 |editor=大島耕一 監修 |author=Egon Krause|author2=足立孝，小林晋，酒井勝弘，菱田久志 |title=流体力学 |edition= |publisher=シュプリンガージャパン |year=2008 |isbn=978-4-431-10020-1 |page=323-325}}</ref>）についても多くの文献で同じであり {{math|''c''{{sub|D}} {{=}} 0.44}} である。この値はプラントル(1914)による<ref name=krause/>。適用域としては {{math|500 < ''Re'' < {{10^|5}}}} <ref name=ito/>、{{math|{{10^|3}} < ''Re'' < 3{{e|5}}}} <ref name=noda/> 等がある。この領域では物体表面上にできる[[境界層]]は層流である<ref name=krause/>。

中間速度域については上述の
: <math> c_\mathrm{D} = 10/\sqrt{Re}</math> (Allen)<ref name=iitani>{{cite journal |和書|url=https://doi.org/10.4164/sptj1964.3.420 |title=球形粒子の沈降速度について|author=井伊谷鋼一 |date=1966 |volume=3 |issue=1 |pages=420-423 |accessdate=2020-04-14}}</ref>
の他に
* <math> c_\mathrm{D} = \left( 0.55 + \frac{4.8}{\sqrt{Re}} \right)^2</math> ({{math|1 < ''Re'' < 3{{e|3}}}} <ref name=noda/>、または{{math|1 < ''Re'' < {{10^|4}}}} <ref name=ito/>)
* <math> c_\mathrm{D} = 18/Re^{0.6}</math> ({{math|1 < ''Re'' < {{10^|4}}}})<ref name=ito/>
* <math> c_\mathrm{D} = 18.5/Re^{0.6}</math> (Bird)<ref name=iitani/>
* <math> c_\mathrm{D} = \frac{24}{Re}(1+0.15 Re^{0.687})</math> (Schiller等)<ref name=iitani/>
等、様々なものがある。

{{math|''Re'' > {{10^|5}}}} を超える高速域（超臨界領域<ref name=krause/>）ではニュートン域よりも抗力係数は下がり、{{math|''c''{{sub|D}} {{=}} 0.1 - 0.2}} 程度となる<ref name=krause/>。これは固体表面の境界層が[[乱流]]に遷移を始めるため<ref name=noda/>であり、トリッピングワイヤーの設置などによりこれを利用すると抗力を下げることができる。[[マグヌス効果#ディンプルの効果]]の、抗力を抑える効果等に応用がある。
== 液滴の終端速度 ==
上記までは剛体球を仮定しているが、液滴は形状の変形や内部の流動現象があるため運動の解析は複雑である<ref>{{cite|和書 |editor= |author=荻野和己 |title=高温界面化学（上） |edition= |publisher=アグネ技術センター |year=2008 |isbn=978-4-901496-43-8 |page=491}}</ref>。径が小さければ終端速度は剛体球のそれとほぼ一致するが、径が大きくなるにつれ扁平形への変形を生じ、剛体球よりも低い終端速度となる。剛体球のストークス域における式に補正を加えた、次の{{仮リンク|Hadamard-Rybczinskiの式|en|Hadamard–Rybczynski equation}}が提案されている：
:<math>u_t = \frac{d^2(\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})g}{18\mu_\mathrm{f}} \cdot \frac{3\mu_s+3\mu_f}{3\mu_s+2\mu_f}.</math>
ここで{{math|&mu;{{sub|s}}, &mu;{{sub|f}}}}はそれぞれ分散相（液滴）と連続相（空気）の粘度である。

== 脚注 ==
{{reflist|group=注}}
== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[自由落下]]

{{DEFAULTSORT:しゆうたんそくと}}
[[Category:力学]]
[[Category:流体力学]]
[[Category:速度]]