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'''組成列'''（そせいれつ、{{lang-en-short|composition series}}）は、[[抽象代数学]]における概念の一つであり、与えられた[[群 (数学)|群]]や[[環上の加群|加群]]といった代数的構造を、代数的により単純な構造の[[単純群]]や[[単純加群]]に分解する手掛かりを与えるものである。組成列が存在するという条件は、有限個の単純（加）群の直積（直和）に書けるという条件よりも弱い。また、組成列が存在すれば、それはある意味で一意的である。 ==概要== 群の組成列の定義は次のとおりである。群 {{mvar|G}} が相異なる部分群の有限列 :<math>G = G_n \supsetneq \cdots \supsetneq G_0 = 1</math> を持ち、各添字 {{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}} について {{math|''G''{{sub|''i''−1}}}} は {{mvar|G{{sub|i}}}} の[[正規部分群]]であり ({{math|''G''{{sub|''i''}} ⊵ ''G''{{sub|''i''−1}}}})、剰余群 {{math|''G''{{sub|''i''}}/''G''{{sub|''i''−1}}}} が[[単純群]]であるとき、この部分群の有限列 {{math|(''G{{sub|i}}''){{sub|0≤''i''≤''n''}}}} を'''組成列'''と呼び、剰余群の列 {{math|(''G''{{sub|''i''−1}}/''G{{sub|i}}''){{sub|1 ≤''i''≤''n''}}}} を'''剰余因子群'''または'''組成因子'''と呼ぶ。また、部分群の個数 {{mvar|n}} を組成列の'''長さ'''と呼ぶ<ref name="Asano,Nagao_1965">浅野啓三・永尾汎『群論』、岩波書店〈岩波全書〉、1965年、pp. 86–113。</ref>。 上の定義においては、群 {{mvar|G}} の各部分群 {{mvar|G{{sub|i}}}} は、{{mvar|G}} の正規部分群であること ({{math|''G'' ⊵ ''G{{sub|i}}''}}) は要求されていない。この要求を満たす場合、{{math|(''G{{sub|i}}''){{sub|0≤''i''≤''n''}}}} を'''主組成列'''と呼び、''G'' の直積分解を考える上では、こちらの方がより本質的である ([[クルル・レマク・シュミットの定理]]参照)。 群 {{math|G}} が有限個の単純群の直積に分解可能な場合、{{math|G}} は'''完全可約群'''または'''半単純群'''であるという。上の定義から明らかなように、剰余因子群は単純群であり、{{math|G}} が完全可約群であれば、剰余因子群の直積に分解される。 例えば、{{math|G}} を [[有限体|7元体]] {{math|Z{{sub|7}}}} の乗法群 {{math|Z{{sub|7}}{{sup|×}}}} = {1,2,3,4,5,6} と置けば、{{math|G}} は位数6の[[巡回群]]であり、2つの自明でない正規部分群 {{math|N{{sub|1}}}} = {1,2,4}、{{math|N{{sub|2}}}} = {1,6} を持つ。{{math|N{{sub|1}}}} 、{{math|N{{sub|2}}}}には包含関係は無いので、 {{math|G ⊵ N{{sub|1}} ⊵ {1} }} および {{math|G ⊵ N{{sub|2}} ⊵ {1} }} が主組成列となる。{{math|G ⊵ N{{sub|1}} ⊵ {1} }} の剰余因子群は {{math|G/N{{sub|1}}}} = {{math|{ N{{sub|1}}, 6N{{sub|1}} } }} と {{math|N{{sub|1}}/{1} }} = {{math|N{{sub|1}} }} であり、前者は {{math|N{{sub|2}} }} と同型である。{{math|G ⊵ N{{sub|2}} ⊵ {1} }} の剰余因子群は {{math|G/N{{sub|2}} }} = {{math|{ N{{sub|2}}, 2N{{sub|2}}, 4N{{sub|2}} } }} と {{math|N{{sub|2}}/{1} }} = {{math|N{{sub|2}}}} であり、前者は {{math|N{{sub|1}}}} と同型である。{{math|N{{sub|1}}}} と {{math|N{{sub|2}}}} の直積 {{math|N{{sub|1}} × N{{sub|2}}}} は位数6の巡回群であり、{{math|G}} と同型である。従って {{math|G}} は剰余因子群の直積に分解されるので、完全可約群ということになる。 しかし、群 {{math|G}} が主組成列を持つ場合でも、必ずしも完全可約群であるとは限らない。これは単純群は直既約群であるが、直既約群は必ずしも単純群ではないという理由による。 例えば、{{math|G}} を [[有限体|5元体]] {{math|Z{{sub|5}}}} の乗法群 {{math|Z{{sub|5}}{{sup|×}}}} = {1,2,3,4} と置けば、{{math|G}} は位数4の巡回群であり、2と3は {{math|G}} の生成元であるので、{{math|N}} = {1,4} が唯一の自明でない正規部分群である。 主組成列は {{math|G ⊵ N ⊵ {1} }} であり、剰余因子群は {{math|G/N {{=}} {N, 4N} }} と {{math|N/{1} }} = {{math|N}} であるが、これらは共に位数2の巡回群であり同型である。この2つの群の直積はやはり位数2の巡回群であり位数4の巡回群である {{math|G}} には一致しない。つまりこの場合の {{math|G}} は完全可約群ではないことになる。 一般に、{{math|G}} を位数が素数のべき乗 {{math|p{{sup|r}}}} ({{math|p}} は素数、{{math|r}} は2以上の自然数) である巡回群とすれば、{{math|G}} の自明でない部分群 ({{math|G}} 自身および単位群 {{math|1}} 以外の部分群) の位数は {{math|p{{sup|s}}}} ({{math|s}} は {{math|1 ≤ ''s'' < ''r''}} である自然数) であり、これらの部分群をいかに直積で組み合わせても、位数が {{math|p{{sup|r}}}} の元 ({{math|G}} の生成元) を含むような群にはならない。したがって、{{math|G}} はこれ以上直積分解できないので直既約群であるが、明らかに自明でない正規部分群を持つので単純群ではない。 群 {{mvar|G}} が直積分解可能であるか否かにかかわらず、組成列が存在すれば、組成因子は順序と同型の違いを除いて一意的である。つまり、 :<math>G = H_s \triangleright \cdots \triangleright H_0 = 1</math> :<math>G = K_t \triangleright \cdots \triangleright K_0 = 1</math> をそれぞれ {{mvar|G}} の組成列とすれば、{{math|''s'' {{=}} ''t''}} であり、剰余群 {{math|(''H''{{sub|''i''−1}}/''H{{sub|i}}''){{sub|1 ≤''i''≤''s''}}}} と {{math|(''K''{{sub|''j''−1}}/''K{{sub|j}}''){{sub|1 ≤''j''≤''t''}}}} は、適当な {{mvar|s}} 次の[[対称群|置換]] {{math|σ}} によって {{math|''H''{{sub|''i''}}/''H''{{sub|''i''−1}} ≅ ''K''{{sub|σ(''i'')}}/''K''{{sub|σ(''i'')−1}}}} とすることができる ('''ジョルダン・ヘルダーの定理''')。 == 群に対して == === 有限性と極大性 === 群 {{mvar|G}} の部分群の列 :<math>G = G_n \supseteq \cdots \supseteq G_0 = 1</math> が各添字 {{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}} について {{math|''G''{{sub|''i''}} ⊵ ''G''{{sub|''i''−1}}}} である場合、{{math|(''G{{sub|i}}''){{sub|0≤''i''≤''n''}}}} を{{仮リンク|正規鎖|en|subnormal series}} (''subnormal'' series) と呼び、部分群の個数 {{mvar|n}} を正規鎖の'''長さ'''と呼ぶ。ただし、組成列と異なり、{{mvar|G{{sub|i}}}} と {{math|''G''{{sub|''i''−1}}}} の間に {{math|''G''{{sub|''i''}}}} の正規部分群が存在する場合も許容され、長さが無限大となる場合も有り得るものとする。 組成列は長さが有限で、その長さが極大である正規鎖であると言える。群 {{mvar|G}} に組成列が存在するならば、{{mvar|G}} の任意の正規鎖は感覚的に言えば列に部分群を極大になるまで挿入することによって、組成列に'''細分'''できる。つまり、組成列にはもはや「挿入」できる部分群がないということである。 任意の[[有限群]]は組成列をもつが、すべての無限群が組成列をもつわけではない。組成列を持つことは一種の有限条件である<ref name="Asano,Nagao_1965"/>。 例えば、整数環 {{math|'''Z'''}} を加法についての群と見なした場合、組成列を持たない。 === ジョルダン・ヘルダーの定理 === 群はいくつもの組成列をもつかもしれない。しかしながら、'''ジョルダン・ヘルダーの定理'''（[[カミーユ・ジョルダン]]と[[オットー・ヘルダー]]にちなんで名づけられた）は、与えられた群の任意の組成列は同値であると主張する。つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい。この定理は{{仮リンク|シュライヤーの細分定理|en|Schreier refinement theorem}}を使って証明できる。ジョルダン・ヘルダーの定理はまた超限（transfinite）''増大''組成列についても正しいが、超限''減少''組成列に対しては正しくない{{Harv|Birkhoff|1934}}。 === 例 === 位数 {{mvar|n}} の巡回群に対して、組成列は {{mvar|n}} の順序を考慮に入れた素因数分解と関係があり、実は、[[算術の基本定理]]の証明をもたらす。 例えば、巡回群 {{math|''C''<sub>12</sub>}} は異なる組成列として :<math> C_{12} \triangleright C_6 \triangleright C_2 \triangleright 1 </math>; :<math> C_{12} \triangleright C_4 \triangleright C_2 \triangleright 1 </math>; :<math> C_{12} \triangleright C_6 \triangleright C_3 \triangleright 1 </math> をもつ。 各列から得られる組成因子の列はそれぞれ : <math> C_2,C_3,C_2</math>; : <math> C_3,C_2,C_2</math>; : <math> C_2,C_2,C_3</math> である。 == 加群に対して == {{see also|加群の長さ}} 自然に現れる多くの[[環上の加群|加群]]は、上記の必ずしも可換ではない群の場合と同様に、必ずしも完全可約群（[[半単純加群]]）ではなく、[[単純加群]]の[[直和]]に分解できないため、その構造を考える上で組成列は重要な情報を与える手段である。 加群 {{mvar|M}} の組成列は、となりあった加群の商が単純であるような、部分加群による {{mvar|M}} の増大する有限のフィルターであり、{{mvar|M}} の単純部分加群による直和分解の代わりの役割を果たす。ジョルダン・ヘルダーの定理による組成列の一意性は、[[有限群]]や[[アルティン加群]]の不変量を定義するのに使える。 加群に対する組成列の定義は部分加群のみに着目し、部分加群''でない''部分加法群は無視する。環 {{mvar|R}} と {{mvar|R}}-加群 {{mvar|M}} が与えられたとき、{{mvar|M}} の'''組成列'''とは部分加群の列 :<math>M = M_n \supsetneq \dotsb \supsetneq M_0 = 0</math> であり、各 {{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}} に対し {{math|''M''<sub>''i''−1</sub>}} が {{math|''M''<sub>''i''</sub>}} の[[極大部分加群]]であるものである。この場合、（単純）商加群 {{math|(''M''<sub>''i''</sub>/''M''<sub>''i''−1</sub>){{sub|1≤''i''≤''n''}}}} は {{mvar|M}} の'''組成因子'''と呼ばれる。もし {{mvar|M}} が組成列をもちさえすれば、{{mvar|M}} の部分加群の任意の有限真増大列は組成列に細分できる。群のときと同様に、ジョルダン・ヘルダーの定理が成り立ち、{{mvar|M}} の任意の組成列は同値である。つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい。 加群が有限の組成列をもつことと[[アルティン加群]]かつ[[ネーター加群]]であることが同値であることはよく知られている{{sfn|Isaacs|1994|loc={{google books quote|id=5tKq0kbHuc4C|page=146|Theorem 11.3}}}}。{{mvar|R}} が[[アルティン環]]であれば、任意の有限生成 {{mvar|R}}-加群はアルティン的かつネーター的なので、有限の組成列をもつ。とくに、任意の体 {{mvar|K}} に対し、{{mvar|K}} 上の有限次元多元環上の任意の有限次元加群は同値の違いを除いて組成列を1つもつ。 == 一般化 == [[作用域をもつ群]]は群に対する群の作用と環の作用を一般化する。{{harv|Isaacs|1994|loc={{google books quote|id=5tKq0kbHuc4C|page=129|Chapter 10}}}} にあるように群と加群との両方に対して統一的にアプローチすることができ、説明のいくつかが簡単になっている。群 {{mvar|G}} を集合 {{math|Ω}} から元（作用素）によって作用されていると考える。注意は {{math|Ω}} の元の作用で不変な部分群（{{math|Ω}}-部分群と呼ばれる）のみに制限される。したがって {{math|Ω}}-組成列は {{math|Ω}}-部分群のみを使わなければならず、{{math|Ω}}-組成因子は {{math|Ω}}-単純であるだけでよい。ジョルダン・ヘルダーの定理のような、上記の標準的な結果は、ほとんど同一の証明によって証明される。 特別なケースとして {{math|Ω {{=}} ''G''}} であって {{mvar|G}} がそれ自身に作用しているときがある。重要な例は {{mvar|G}} の元が共役で作用して作用素の集合が[[内部自己同型]]からなるときである。この作用のもとでの組成列はちょうど{{仮リンク|主組成列|en|chief series}}である。加群の構造は {{math|Ω}} が環であっていくつか追加の公理を満たすときの {{math|Ω}}-作用のケースである。 == アーベル圏の対象に対して == [[アーベル圏]]において対象 {{mvar|X}} の'''組成列'''は部分対象の列 :<math>X=X_n\supsetneq \dots \supsetneq X_0=0</math> であって、（{{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}} に対して）各[[商対象]] {{math|''X''<sub>''i''</sub> /''X''<sub>''i''−1</sub>}} が{{仮リンク|単純対象|en|simple object}}であるようなものである。{{mvar|X}} が組成列をもてば、整数 {{mvar|n}} は {{mvar|X}} のみに依存し、{{mvar|X}} の{{仮リンク|対象の長さ|label=長さ|en|Glossary of category theory#finite length}}と呼ばれる<ref>{{harvnb|Kashiwara|Schapira|2006|loc={{google books quote|id=K-SjOw_2gXwC|page=205|Exercise 8.20}}}}</ref>。 == 脚注 == {{reflist}} == 参考文献 == *{{citation |title=Transfinite subgroup series |authorlink=Garrett Birkhoff |last=Birkhoff |first=Garrett |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=40 |issue=12 |year=1934 |pages=847–850 |url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183497873 |doi=10.1090/S0002-9904-1934-05982-2 }} *{{Citation | last1=Isaacs | first1=I. Martin | title=Algebra: A Graduate Course | url={{google books|5tKq0kbHuc4C|plainurl=yes}} | publisher=Brooks/Cole | isbn=978-0-534-19002-6 | year=1994 | mr=1276273 | zbl=0805.00001 }} *{{Citation | last=Kashiwara | first=Masaki | authorlink=柏原正樹 | last2=Schapira | first2=Pierre | title=Categories and sheaves | url={{google books|K-SjOw_2gXwC|plainurl=yes}} | isbn=978-3-540-27949-5 | year=2006 | mr=2182076 | zbl=1118.18001 }} == 関連項目 == * {{仮リンク|クローン＝ロードスの定理|en|Krohn–Rhodes theory}}, 半群に対する類似物 * {{仮リンク|シュライヤーの細分定理|en|Schreier refinement theorem}}, 任意の2つの同値な{{仮リンク|連正規列|en|subnormal series}}は同値な組成列に細分される * {{仮リンク|ツァッセンハウスの補題|en|Zassenhaus lemma}}, シュライヤーの細分定理の証明に使われる {{DEFAULTSORT:そせいれつ}} [[Category:群論]] [[Category:代数的構造]] [[Category:加群論]] [[Category:数学に関する記事]]
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