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'''経験過程'''（けいけんかてい、{{lang-en-short|empirical process}}）は、経験測度の中心極限定理の一般化のひとつである。経験過程の理論は、[[ノンパラメトリック手法|ノンパラメトリック]]統計学などに応用される。

== 定義 ==
ある一定の条件のもとで、経験測度''P<sub>n</sub>''が、確率測度へ収束するという結果はよく知られている（Glivenko-Cantelliの定理）。経験過程の理論によって、この収束の速さを説明することができる。
中心化・基準化された経験測度は、

:<math>G_n(A)=\sqrt{n}(P_n(A)-P(A))</math>

となる。これによる、適当な可測関数''f''の像は、

:<math>f\mapsto G_n f=\sqrt{n}(P_n-P)f=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(X_i)-\mathbb{E}f\right)</math>

と書くことができる。[[中心極限定理]]により、適当な可測集合Aに対して、<math>G_n(A)</math>は、正規確率変数''N''(0,&nbsp;''P''(''A'')(1&nbsp;&minus;&nbsp;''P''(''A'')))へ分布収束する。同様に、適当な関数''f''に対して、<math>G_nf</math>は、正規確率変数<math>N(0,\mathbb{E}(f-\mathbb{E}f)^2)</math>へ分布収束する。

;定義
:<math>\bigl(G_n(c)\bigr)_{c\in\mathcal{C}}</math> を''S''の可測な部分集合の族<math>\mathcal{C}</math>における経験過程という。
:<math>\bigl(G_nf\bigr)_{f\in\mathcal{F}}</math>を''S''から<math>\mathbb{R}</math>への可測関数の族<math>\mathcal{F}</math>における経験過程という。

経験過程に関する有名な結果のひとつに、Donskerの定理がある。この定理は、ある一定の[[ガウス過程]]へ弱収束する経験過程のクラス（Donskerクラス）についての研究につながった。DonskerクラスはGlivenko-Cantelliクラスになるが、その逆は一般的に正しくない。

==例==
例として、[[経験分布関数]]を考える。[[独立同分布|i.i.d.]]確率変数<math>X_1,X_n,\dots</math>において、これは、

:<math>F_n(x)=P_n((-\infty,x])=P_nI_{(-\infty,x]}.</math>

と与えられる。この例では、経験過程は<math>\mathcal{C}=\{(-\infty,x]:x\in\mathbb{R}\}</math>のクラスによって特徴づけられる。この<math>\mathcal{C}</math>はDonskerクラスであることを示すことができ、特に、:<math>\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))</math> は[[ブラウン橋]] ''B''(''F''(''x''))に弱収束する。

==参考文献==
* P. Billingsley, <em>Probability and Measure,</em> John Wiley and Sons, New York, third edition, 1995.
* M.D. Donsker,  Justification and extension of Doob's heuristic approach to the [[Kolmogorov–Smirnov theorem]]s, <em>Annals of Mathematical Statistics</em>, 23:277–281, 1952. 
* R.M. Dudley,  Central limit theorems for empirical measures, <em>Annals of Probability,</em> 6(6): 899–929, 1978.
* R.M. Dudley, <em>Uniform Central Limit Theorems,</em> Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 63, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1999.
* M.R. Kosorok, <em>Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference,</em> Springer, New York, 2008.
* Galen R. Shorack and Jon A. Wellner, <em> Empirical Processes with Applications to Statistics, </em> Wiley, New York, 1986. SIAM Classics edition (2009), Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN  978-0-898716-84-9
* Aad W. van der Vaart and Jon A. Wellner,<em>Weak Convergence and Empirical Processes: With Applications to Statistics,</em> 2nd ed., Springer, 2000. ISBN 978-0-387-94640-5
* J. Wolfowitz,  Generalization of the theorem of Glivenko–Cantelli. <em>Annals of Mathematical Statistics,</em> '''25''', 131–138, 1954.

==外部リンク== 
* [http://www.stat.yale.edu/~pollard/Books/Iowa Empirical Processes: Theory and Applications], by David Pollard. 
* [http://www.bios.unc.edu/~kosorok/current.pdf Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference], by Michael Kosorok.

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