結び目群のソースを表示

{{要改訳}}
数学において、[[結び目理論|結び目]]とは、[[円 (数学)|1次元円周]]の3次元[[ユークリッド空間]]の中への[[埋め込み (数学)|埋め込み]]のことである。結び目 ''K'' の'''結び目群''' (knot group) とは、'''R'''<sup>3</sup> における ''K'' の[[結び目補空間]]の[[基本群]]
:<math>\pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus K)</math>
として定義される。

他にも結び目を3次元球面の中へ埋め込んで考えることもあり、その場合、結び目群は、''S''<sup>3</sup> における結び目の補空間の基本群である。
<!--In [[mathematics]], a [[knot (mathematics)|knot]] is an [[embedding]] of a [[circle]] into 3-dimensional [[Euclidean space]]. The '''knot group''' of a knot ''K'' is defined as the [[fundamental group]] of the [[knot complement]] of ''K'' in '''R'''<sup>3</sup>,
:<math>\pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus K).</math>

Other conventions consider knots to be embedded in the 3-sphere, in which case the knot group is the fundamental group of its complement in <math> S^3</math>.-->

== 性質 ==
2つの同値な結び目は[[同型]]な結び目群を持つので、結び目群は[[結び目不変量]]であり、同値でない結び目のペアを識別することに使うことができる。このことは、2つの結び目が同値ということは、恒等写像にアイソトピックであり、第一の結び目を第二の結び目に写す <math>\mathbb{R}^3</math> の自己同相写像があるということから帰結する。そのような同相写像は結び目補空間へ制限することで基本群の同型を引き起す。しかしながら、2つの同値ではない結び目が、同型な結び目群を持つ場合もある。（下記の例を参照）

結び目群の[[交換子部分群#アーベル化|アーベル化]]は、常に無限[[巡回群]] '''Z''' と同型であり、このことは、容易に計算できるように、アーベル化が1次[[ホモロジー群]]に一致することより従う。

結び目群（あるいは、一般的に、向き付けられた絡み目の基本群）は、比較的単純なアルゴリズムにより{{仮リンク|ヴィルテンガー表示|en|Wirtinger presentation}}(Wirtinger presentation)で計算することができる。
<!--== Properties ==
Two equivalent knots have [[isomorphic]] knot groups, so the knot group is a [[knot invariant]] and can be used to distinguish between certain pairs of inequivalent knots. This is because an equivalence between two knots is a self-homeomorphism of <math>\mathbb{R}^3</math> that is isotopic to the identity and sends the first knot onto the second. Such a homeomorphism restricts onto a homeomorphism of the complements of the knots, and this restricted homeomorphism induces an isomorphism of fundamental groups. However, it is possible for two inequivalent knots to have isomorphic knot groups (see below for an example).

The [[abelianization]] of a knot group is always isomorphic to the infinite [[cyclic group]] '''Z'''; this follows because the abelianization agrees with the first [[homology group]], which can be easily computed.

The knot group (or fundamental group of an oriented link in general) can be computed in the [[Wirtinger presentation]] by a relatively simple algorithm.-->

==例==

* [[自明な結び目]]は、'''Z''' と同型な結び目群を持つ。
* [[三葉結び目]]は、[[ブレイド群]] ''B''<sub>3</sub> と同型な結び目群を持つ。この群は、次の[[群の表示]]を持つ。
::<math>\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle</math> or <math>\langle a, b \mid aba = bab \rangle\ .</math>
* (''p'',''q'')-[[トーラス結び目]]の結び目群は、次の群の表示を持つ。
::<math>\langle x,y \mid x^p = y^q \rangle\ .</math>
* [[8の字結び目]]の結び目群は、次の群の表示を持つ。
::<math>\langle x,y \mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle\ .</math>
* [[本結び|二重結び]]と[[縦結び]]は、結び目群が同型であるが、これらの結び目は同値ではない。
<!--==Examples==

*The [[unknot]] has knot group isomorphic to '''Z'''.
*The [[trefoil knot]] has knot group isomorphic to the [[braid group]] ''B''<sub>3</sub>. This group has the [[presentation of a group|presentation]] 
::<math>\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle</math> or <math>\langle a, b \mid aba = bab \rangle.</math>
*A (''p'',''q'')-[[torus knot]] has knot group with presentation 
::<math>\langle x,y \mid x^p = y^q \rangle.</math>
*The [[Figure-eight knot (mathematics)|figure eight knot]] has knot group with presentation 
::<math>\langle x,y \mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle</math>
* The [[square knot (mathematics)|square knot]] and the [[granny knot (mathematics)|granny knot]] have isomorphic knot groups, yet these two knots are inequivalent.-->

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|絡み目群|en|Link group}}(Link group)

==参考文献==
* "[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Knot_and_link_groups Knot and Link Groups]", [[Encyclopedia of Mathematics]], Springer, ISBN 978-1556080104

{{DEFAULTSORT:むすひめくん}}
[[Category:結び目理論]]
[[Category:数学に関する記事]]