結び目補空間のソースを表示

[[数学]]の[[結び目理論]]において、{{仮リンク|順な結び目|en|tame knot}} (tame knot) ''K'' の'''結び目補空間''' (knot complement) は結び目の周囲の3次元空間である。正確には、''K'' が3次元多様体 ''M''（{{仮リンク|3次元球面|en|3-sphere}}とすることが最も多い）における結び目であるとする。''N'' を ''K'' の{{仮リンク|管状近傍|en|tubular neighborhood}}とする。したがって ''N'' は{{仮リンク|トーラス体|en|solid torus}}である。すると結び目補空間は、''N'' の[[補集合|補空間]]である：
:<math>X_K = M - \mbox{interior}(N).</math>

結び目補空間 ''X<sub>K</sub>'' は[[コンパクト空間|コンパクト]]な{{仮リンク|3次元多様体|en|3-manifold}}である。''X<sub>K</sub>'' の境界と近傍 ''N'' の境界は2次元[[トーラス]]に同相である。周囲の多様体 ''M'' は3次元球面であることもあるが、''M'' が何かを決めるには文脈が必要である。'''[[絡み目]]補空間''' (link complement) も同様に定義する。

[[結び目群]]のような多くの[[結び目不変量]]は実は結び目補空間の不変量である。周囲の空間が3次元球面の場合は（補空間を考えることで結び目の）情報は全く失われない：{{仮リンク|Gordon&ndash;Lueckeの定理|en|Gordon&ndash;Luecke theorem}}により、結び目はその補空間によって決定されるのである。つまり、''K'' と ''K''&prime; が[[同相]]な補空間を持つ2つの結び目のとき、一方の結び目を他方へと写す3次元球面の同相写像が存在する。

==関連項目==
*[[ザイフェルト曲面]]

==関連文献==
* C. Gordon and J. Luecke, "Knots are determined by their Complements", ''[[Journal of the American Mathematical Society|J. Amer. Math. Soc.]]'', '''2''' (1989), 371&ndash;415.

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{{Knot theory}}
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