結合法則のソースを表示

{{About|数学|プログラミング言語|{{ill2|演算子の結合性|en|operator associativity}}}}

[[数学]]における'''結合性'''（けつごうせい、{{lang-en-short|''associative property''<ref>{{cite book|last=Hungerford|first=Thomas W.|year=1974|edition=1st|title=Algebra|page=24|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-0387905181|quote=Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G.}}</ref>,''associativity''}}）は、一部の[[二項演算]]がもつ性質である。演算が結合的であるための必要十分条件を'''結合法則'''（けつごうほうそく、{{lang-en-short|associative law}}; '''結合律'''、'''結合則'''）という。[[命題論理]]において、'''結合則'''（結合規則）は{{ill2|形式的証明|en|Formal proof}}における[[well-formed formula|式]]に対する{{ill2|論理的妥当性|en|Validity (logic)|label=妥当}}な{{ill2|置換規則|en|rule of replacement}}のひとつに挙げられる。

同一式にて同じ結合的演算が複数回現れる場合、それらの演算を施す順番は、[[被演算子]]の順序を変えない限り、結果に影響しない。つまり、（必要ならば[[中置記法]]と[[パーレン|括弧]]を使った式に書き換えて）括弧の位置を入れ替えても、式の値は変わらない。例えば、
*<math>(2+3)+4=2+(3+4)=9</math>
*<math>2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24</math>
を例にとると、各行とも左辺と中辺で括弧の位置が変わっている（そして被演算子の現れる位置は変わっていない）けれども、その値である右辺は変わりないことを述べている。このような関係式は、被演算子を任意の[[実数]]とする[[加法]]や[[乗法]]を計算する限りにおいて満足されるから、それを「実数の加法および乗法は結合的（演算）である」とか、「実数の加法および乗法は（実数全体の成す集合上で）結合法則を満足する」などと言い表す。

結合性は、「二つの[[被演算子]]の現れる位置を入れ替えても結果が変わらない」ことを意味する[[交換法則|可換則]]とは異なる。例えば、実数の乗法が可換演算であるのは、実数の乗法において被演算子の順番を変えてもよいこと&mdash;つまり {{math|1=''a'' × ''b'' = ''b'' × ''a''}}&mdash;が満足されることによる。

結合的演算は数学において遍く存在する。事実として、多くの[[代数的構造]]（例えば[[半群]]や[[圏 (数学)|圏]]）では、それらの持つ二項演算が結合的であることを明示的に要請される。

とはいえ、重要で意義のある非結合的演算もたくさん存在する。例えば[[減法]]、[[冪|冪演算]]、ベクトルの[[交叉積]]などはそうである。<!--理論的性質として実数の加法は結合的であるにもかかわらず、その[[計算機科学]]における表現である[[浮動小数点数]]では加法は結合的でない（結合順序の決め方によって丸め誤差に重大な影響が出ることがある）。-->

== 定義 ==
[[File:Semigroup_associative.svg|thumbnail|集合 {{mvar|S}} 上の二項演算 {{math|∗}} が結合的となるのは、[[可換図式|この図式が可換]]のとき。つまり、左上の {{math|''S'' × ''S'' × ''S''}} から右下の {{mvar|S}} までいくのに考え得る二種類の経路に沿って得られる[[写像の合成]]が、{{math|''S'' × ''S'' × ''S''}} から {{mvar|S}} への同じ写像を定める。]]
厳密に、[[集合]] {{mvar|S}} 上で定義された[[二項演算]] {{math|∗}} が'''結合的'''であるとは、'''{{vanc|結合法則}}''' <math display="block">(x * y) * z = x * (y * z)\qquad (\forall x, y, z \in S)</math> を満足するときに言う。ここで、{{math|∗}} は考えたい演算（それを一般に「乗法」や「積」と呼んだりする{{efn|とはいえ、数の[[乗法]]や積とは直接的に関係のない、任意の抽象的演算についていう}}）を表す記号（[[演算 (数学)|演算子]]）であって、これは別にどのような記号が用いられてもよいし、あまつさえ「乗法」を表す記号のない併置 ([[wikt:juxtaposition|juxtaposition]]) 記法で <math display="block">(xy)z = x(yz) = xyz\qquad (\forall x, y, z \in S)</math> と書くこともある。

結合法則を函数記法で表すこともでき、その場合は <math display="block">f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z))</math> のようになる。

== 一般化された結合法則 ==
[[Image:Tamari lattice.svg|thumb|250px|結合性がない場合には、五つの因子 {{mvar|a, b, c, d, e}} のこの順での積は、四次の{{ill2|タマリ束|en|Tamari lattice}}を成し、それぞれが異なる値を持ち得る。]]
二項演算が結合的ならば、その演算が反復して適用されるとき、その式においてきちんと（開きと閉じが）対になる括弧がどのように挿入されるかを気にすることなく、その演算結果が同じであることがわかる<ref>{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=Modern Algebra: an Introduction |year=1992 |publisher=Wiley |location=New York |isbn=978-0-471-51001-7 |page=78 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html |edition=3rd |quote=If <math>a_1, a_2, \dots, a_n \,\, (n \ge 2)</math> are elements of a set with an associative operation, then the product <math>a_1 a_2 \dots a_n</math> is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product}}</ref>。そのことを'''一般化された結合法則''' (''generalized associative law'') と言う。実例として、四つの元の積を、それらの因子の順番を変えることなく書き下せば、五種類の異なる計算順序が考えられる:
* <math>((ab)c)d,</math>
* <math>(ab)(cd),</math>
* <math>(a(bc))d,</math>
* <math>a((bc)d),</math>
* <math>a(b(cd)).</math>
が、これらの積を得る演算が結合的ならば、一般化された結合法則の述べるに従い、これらすべてが同じ値の積であることが結論される。となれば（これらの式から括弧をすべて取り払った式に既に別の意味が施されているのでない限り）この積において括弧は「不要」のものと考えることができて、この積を紛れの虞なく <math display="block">abcd</math> と書くことができる。

このような繰り返しの積において、因子となる元の数が増えるにしたがって、[[ディック言語|釣り合いのとれた括弧の挿入の仕方]]の[[カタラン数|総数]]は急速に増加するけれども、演算が結合的ならばそれらの区別もやはり必要がなくなる。

結合的だからといって単純に括弧を取り去ってはいけない例として、{{ill2|双条件論理結合子|en|logical biconditional|label=双条件}} {{math|↔}} を挙げよう。{{math|↔}} は結合的であって {{math|''A'' ↔ (B ↔ C)}} は {{math|(A ↔ B) ↔ C}} に同値であるが、{{math|A ↔ B ↔ C}} はふつうは {{nowrap|{{math|A ↔ B}} かつ {{math|B ↔ C}}}} の意味であって先のふたつとは同値でない。

==例==
[[File:Associativity of binary operations (without question marks).svg|thumb|結合的演算において <math>(x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)</math> である。]]
[[File:Associativity of real number addition.svg|thumb|実数の加法は結合的である。]]
結合的演算の例をいくつか挙げる:

*[[文字列結合]]。3つの[[文字列]] "a"、"b"、"c" を繋げる際、先の2つを繋いで "ab" を得てから、その末尾に3つめの "c" を繋ぐと、"abc" となる。一方で、後の2つを繋いで "bc" を得てから、その先頭に1つめの "a" を繋いでも、同じく "abc" となる。そのため、文字列結合は結合的である。なお、[[交換法則|可換]]ではない。

*[[複素数]]同士の[[加法]]。（複素数とは、[[実数]]と[[虚数]]の総称であり、いわゆる数。）グループ化を表す括弧は、曖昧さを生まずに除去できる。
:<math>(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z</math>

*複素数同士の[[乗法]]。グループ化を表す括弧は、曖昧さを生まずに除去できる。
:<math>(xy)z=x(yz)=xyz</math>

*右自明演算 <math>x*y=x</math>（必ず <math>x</math> の値を返す）、および左自明演算 <math>x</math> &#x2218; <math>y=y</math>（必ず <math>y</math> の値を返す）。どちらも可換ではない。

* [[複素数]]および[[四元数]]の加法および乗法。

* [[八元数]]の加法。なお、乗法は結合的でない。

*[[最大公約数]]をとる演算。
:<math>\operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(x,y),z)=\operatorname{gcd}(x,\operatorname{gcd}(y,z))=
\operatorname{gcd}(x,y,z)\qquad(\forall x,y,z\in\mathbb{Z})</math>

*[[最小公倍数]]をとる演算。
:<math>
\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(x,y),z)=
\operatorname{lcm}(x,\operatorname{lcm}(y,z))=
\operatorname{lcm}(x,y,z)\qquad(\forall x,y,z\in\mathbb{Z})</math>

* [[集合]]の[[交叉 (集合論)|交叉]]および[[合併 (集合論)|合併]]: <math display="block">\begin{array}{l}
(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\\
(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C
\end{array}\qquad(\forall A,B,C).
</math>

* 適当な集合 {{mvar|M}} に対する {{mvar|M}} 上の自己写像（[[写像]] {{math|''M'' → ''M''}}）全体の成す集合 {{math|''S'' {{coloneqq}} [[配置集合|''M{{exp|M}}'']]}}について、{{mvar|S}} 上で定義された[[写像の合成|合成演算]] {{math|∘}} は結合的である: <math display="block">(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad(\forall f,g,h\in S).</math>

* 少し一般に、四つの集合 {{math2|''M, N, P, Q''}} とそれらの間の写像 {{math|''h'': ''M'' → ''N''}}, {{math|''g'': ''N'' → ''P''}}, {{math|''f'': ''P'' → ''Q''}} についてやはり <math display="block">(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h</math> が成り立つ。要するに写像の合成は常に結合的である。

* 三元集合 {{math|{{mset|A, B, C}}}} に演算を以下の乗積表に従って定めたものは結合的である（かつ可換でない）:
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin: 1ex auto;"
|-
! × !! A !! B !! C
|-
! A
| A || A || A
|-
! B
| A || B || C
|-
! C
| A || A || A
|}

* 通常の[[行列の積]]は結合的である。[[行列 (数学)|行列]]は[[線型写像]]を[[行列表現|表現]]し、行列の積は線型写像の[[写像の合成|合成]]に対応するから、合成について既に見たことから行列の積の結合性は直ちに得られる<ref>{{cite web|url=http://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations/composition-of-transformations/v/matrix-product-associativity|title=Matrix product associativity|publisher=Khan Academy|accessdate=5 June 2016}}</ref>。

== 命題論理 ==
<!--{{Transformation rules}}-->{{推論規則}}
=== 結合規則 ===
標準的な真理函数的[[命題論理]]において、'''結合則''' (''association''<ref>Moore and Parker{{full citation needed|date=October 2016}}</ref><ref>Copi and Cohen{{full citation needed|date=October 2016}}</ref>, ''associativity''<ref>Hurley{{full citation needed|date=October 2016}}</ref>) は二つの{{ill2|論理的妥当性|en|Validity (logic)|label=妥当}}な{{ill2|置換規則|en|rule of replacement}}を言う。それは、{{ill2|形式的証明|en|Formal proof|label=論理学的証明}}における論理式に現れる括弧の位置を動かしてもよい規則を述べるもので、[[論理演算|論理結合子]]を用いて書けば
* <math>(P \lor (Q \lor R)) \iff ((P \lor Q) \lor R)</math>
* <math>(P \land (Q \land R)) \iff ((P \land Q) \land R),</math>
のふたつである。ただし、"<math>\iff</math>" は{{ill2|メタ論理|en|metalogic}}の{{ill2|形式的記号|en|Symbol (formal)|label=記号}}で、「形式的証明において置換してよい」ことを表す。

=== 論理演算の結合性 ===
真理函数的命題論理における真理函数の[[論理結合子|結合子]]のいくつかは結合性 (''associativity'') を持つ。以下の{{ill2|論理同値|en|logical equivalence}}（これらは真理函数的[[恒真式]]である）は結合性が特定の結合子の持つ性質であることを示している <ref>[https://math.stackexchange.com/questions/2197480/symbolic-logic-proof-of-associativity]</ref>:
; 選言の結合性:
:<math>((P \lor Q) \lor R) \leftrightarrow (P \lor (Q \lor R))</math>
:<math>(P \lor (Q \lor R)) \leftrightarrow ((P \lor Q) \lor R)</math>
; 連言の結合性
:<math>((P \land Q) \land R) \leftrightarrow (P \land (Q \land R))</math>
:<math>(P \land (Q \land R)) \leftrightarrow ((P \land Q) \land R)</math>
; 論理同値の結合性:
:<math>((P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R) \leftrightarrow (P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R))</math>
:<math>(P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R)) \leftrightarrow ((P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R)</math>

接合否定 (joint denial) は結合的で'''ない'''真理函数結合子の例である。

== 非結合的演算 ==
集合 {{mvar|S}} 上の二項演算 {{math|&lowast;}} が結合法則を満足しない&mdash;記号で書けば <math display="block">(x*y)*z\ne x*(y*z)\qquad(\exists x,y,z\in S)</math> &mdash;となるとき、'''非結合的''' (''non-associative'') である、'''必ずしも結合的でない'''などという。

そのような演算では、計算順序は結果に影響'''する'''。非結合演算の例として
* [[減法]]: <math display="inline">(5-3)-2 \ne 5-(3-2)</math>
* [[除法]]: <math display="inline">(4/2)/2 \ne 4/(2/2)</math>
* [[冪|冪演算]]: <math display="inline">2^{(1^2)} \ne (2^1)^2</math>
などがある。あるいは[[無限級数|無限和]]もまた一般には非結合的である。例えば: <math display="block">\begin{align}
(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dotsb = 0\\
\ne 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dotsb = 1.
\end{align}</math>

非結合的構造の研究は、古典代数学の主流からはいくらか異なった理由から生じてくるものである。[[非結合多元環]]の領域にあってすでに一大分野へと発展した[[リー代数]]の理論では、結合法則の代わりに[[ヤコビ恒等式]]が採用される。リー代数は{{ill2|無限小変換|en|infinitesimal transformation}}の本質的な特質を抽象化するものであり、数学に遍在するものとなった。

既に深く調べられているほかの特定種類の非結合的構造もあり、それらは何らかの特定の応用から、あるいは[[組合せ論]]のような分野から生じたものである。その他の例は、{{ill2|Quasigroup|en|Quasigroup}}、{{ill2|準体|en|Quasifield}}、[[非結合的環]]、[[非結合的多元環]]、{{ill2|可換マグマ|en|Commutative magmas|label=可換（非結合的）マグマ}}など。

=== 非結合的演算の記法 ===
{{main|Operator associativity}}

非結合的演算が一つの式の中で複数回現れるときには、[[演算の優先順位|評価の順]]を指し示すために（例えば {{math|{{sfrac|2|3/4}}}} のように、ほかの方法で順番を指定する記法を用いているのでない限り）一般には括弧を挿入する必要がある。とはいえ、いくつかのよく用いられる非結合的演算については、特定の順番に評価することにして括弧の使用を回避する簡便記法が、受け入れられている。

'''左結合''' (''left-associative'') 演算とは、規約として左から右に評価する&mdash;式で書けば <math display="block">\begin{array}{l}
x*y*z :=(x*y)*z\\
w*x*y*z :=((w*x)*y)*z\\
\text{etc.}\end{array}\qquad(\forall w,x,y,z,\dotsc\in S)
</math> を意味する&mdash;演算を言う。同様に'''右結合''' (''right-associative'') 演算は、右から左に評価するものと約束する: <math display="block">\begin{array}{l}
x*y*z:=x*(y*z)\\
w*x*y*z:=w*(x*(y*z))\\
\text{etc.}\end{array}\qquad(\forall w,x,y,z,\dotsc \in S).
</math>
左結合演算も右結合演算もどちらも生じ得る。左結合演算の例:
* 実数の[[減法]]および[[除法]]<ref>George Mark Bergman: [https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html Order of arithmetic operations]</ref><ref>Education Place: [http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html The Order of Operations]</ref><ref>[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-order-of-operations/v/introduction-to-order-of-operations The Order of Operations], timestamp [https://www.youtube.com/watch?v=ClYdw4d4OmA&t=5m40s 5m40s]</ref><ref>Virginia Department of Education: [http://www.doe.virginia.gov/instruction/mathematics/middle/algebra_readiness/curriculum_companion/order-operations.pdf#page=3 Using Order of Operations and Exploring Properties], section 9</ref><ref name="Bronstein_1987">Bronstein: [[:de:Taschenbuch der Mathematik]], pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, {{ISBN2|978-3-8085-5673-3}}</ref>: <math display="block">x-y-z:=(x-y)-z</math><math display="block">x/y/z:=(x/y)/z.</math>
* 函数の適用: <math display="block">(f \, x \, y) = ((f \, x) \, y).</math> この記法は[[カリー化]]の同型によって動機づけられる。

右結合演算の例:
* 実数の[[冪]]（上付き添字記法の場合）: <math display="block">x^{y^z}=x^{(y^z)}.</math> 冪演算は、反復的な左結合冪演算にあまり需要がない（左からの繰り返しの冪は、冪指数の乗法を使って <math display="block">(x^y)^z=x^{(yz)}</math> と書き直せる）ため、括弧が付かない場合にはふつう右結合的とする。
** 正しく組まれている限り、上付き添字それ自体に括弧で括るのと本質的に同じ効果が期待できる。例えば {{math|2{{exp|''x''+3}}}} という式では右肩の和の計算が冪をとるよりも先に行われ、それは括弧で括って {{math|2{{exp|(''x''+3)}}}} と明示的に書いたときに期待される計算順序になっている。それゆえ、{{mvar|x{{exp|y{{exp|z}}}}}} のような式が与えられたときは、底 {{mvar|x}} に対する全体の冪指数 {{mvar|y{{exp|z}}}} がまず計算されるのは必定である。とはいえ、手書きする場合などは特にそうだが、文脈によっては <math display="block">{x^y}^z,\quad x^{yz},\quad x^{y^z}</math>（これらを、陽に括弧を付けて書けば、順に <math display="inline">(x^y)^z,\, x^{(yz)},\,x^{(y^z)}</math>）の判別が難しいこともある。そういった場合には、ふつう右結合性が暗黙に用いられている。
* [[写像の合成]]（図式順）: <math display="block">\mathbb{Z} \rarr \mathbb{Z} \rarr \mathbb{Z} = \mathbb{Z} \rarr (\mathbb{Z} \rarr \mathbb{Z})</math><math display="block">x \mapsto y \mapsto x - y = x \mapsto (y \mapsto x - y).</math> これらの演算の右結合記法は、[[カリー・ハワード同型対応|カリー&ndash;ハワード対応]]および[[カリー化]]同型に動機づけられる。

評価順について特定の規約がない演算の例:
* 実数の冪演算（中置記法の場合）:<ref name="Codeplea_2016">[https://codeplea.com/exponentiation-associativity-options Exponentiation Associativity and Standard Math Notation] Codeplea. 23 Aug 2016. Retrieved 20 Sep 2016.</ref><math display=block>(x^\wedge y)^\wedge z\ne x^\wedge(y^\wedge z).</math>
* [[クヌースの矢印記法]]: <math display="block">\begin{array}{l}
 a \uparrow \uparrow (b \uparrow \uparrow c) \ne (a \uparrow \uparrow b) \uparrow \uparrow c\\
 a \uparrow \uparrow \uparrow (b \uparrow \uparrow \uparrow c) \ne (a \uparrow \uparrow \uparrow b) \uparrow \uparrow \uparrow c\\ \text{etc.}\end{array}</math>
* ベクトルの[[交叉積]]（[[ベクトル三重積]]）: <math display="block">\vec a \times (\vec b \times \vec c) \neq (\vec a \times \vec b ) \times \vec c \qquad(\exists \vec a,\vec b,\vec c \in \mathbb{R}^3).</math>
* 実数の対ごとの[[算術平均]]: <math display="block">{(x+y)/2+z\over2}\ne{x+(y+z)/2\over2} \qquad(\forall x,y,z\in\mathbb{R}, x\ne z).</math>
* [[差集合|集合の差]]: <math>(A\setminus B)\setminus C</math> は <math>A\setminus (B\setminus C)</math> と一致しない（論理学における{{ill2|否定論理包含|en|material nonimplication}}の場合と比較せよ）。

== プログラミング言語 ==
{{main|{{仮リンク|演算子の結合性|en|Operator associativity}}}}
[[中置記法]]を採用している[[プログラミング言語]]においては、任意の演算子について数学で言うところの結合法則が成り立たないことを仮定して、その[[式 (プログラミング)|式]]の[[プログラム意味論|意味]]をどういった順序で、値を演算子により結合させたものとするかについて、それぞれの言語にそれぞれ法則がある。「[[演算子の優先順位]]」({{lang-en-short|''Operator precedence''}}) と「{{仮リンク|演算子の結合性|en|Operator associativity}}」（{{lang-en-short|''Operator associativity''}}) と言う。

なお、優先順位と結合性は値の扱いに関する規則であって、'''式の評価の順序に関する規則ではない'''ことに注意が必要である。評価順は優先順位と結合性に直感的に従っていることもあれば、従っていないこともある。言語仕様としては決められていないこともある（評価順と関連するものとして、[[短絡評価]]がある。短絡評価のためには評価順が決まっている必要があるため、一般に演算子の左辺と右辺の評価順を決めていないC言語だが、短絡評価される演算子については決まっている。[[Java]]は仕様で全て決めている。[[Ada]]では両辺を評価する演算子と短絡評価の演算子とが用意されている。）。

優先順位と結合性は、仕様上の表現としては構文規則の一部として決まっているものが多い（たいていは便利さのために別表にまとめられている。[[yacc]]のように通常の規則とは別建てで定義できるものもある）。ここでは例として、四則演算を主に挙げるが、他の演算子についても規則は同様にある。

=== 優先順位 ===
{{main|演算子の優先順位#プログラミング言語}}
（ここでの前提である、中置記法を採用している）たいていのプログラミング言語の四則演算の演算子において、加減算より乗除算のほうが優先順位が高い、としているものが多い。

すなわち a * b + c は (a * b) + c という意味であり、a - b / c は a - (b / c) という意味である。

多くの演算子を持ち、その数に応じて多くの優先順位を定めているC言語のような言語もあれば、ほとんど優先順位が無く、次節で説明する結合性のみで、どんな演算も左から右、あるいは右から左（たとえば[[APL]]）といったように決めている言語もある。

=== 結合性 ===
（前節と同様、中置記法を採用している）たいていのプログラミング言語の四則演算の演算子において、加算と減算、乗算と除算のそれぞれの間には優先順位に差が無い。加減算の連続、たとえば a + b - c + d - e というような式は、左から順に (((a + b) - c) + d) - e という意味となる。このような結合を"'''左結合'''" ({{lang-en-short|''left-associative''}})、あるいは"左から右" ({{lang-en-short|''left to right''}}) と言う。逆が"'''右結合'''"（{{lang-en-short|''right-associative''}})、あるいは"右から左" ({{lang-en-short|''right to left''}}) である。

右結合の例としては、C系の言語に特徴的な代入演算子 = は右結合である。a = b = 1; という式文における式は a = (b = 1) という意味であり b = 1 という代入演算子による式の値は 1 なので、それが a に(も)代入され、結果として a と b に 1 が代入される。

[[冪乗]]の演算子として ** や ^ がある言語があるが、数学の記法では <math>a^{b^c}</math> と <math>(a^b)^c</math> のように、左を先にしたい場合に括弧が要るので、右結合すなわち a**b**c は a**(b**c) という意味であるとしたほうが数学の記法とは一致するが（たとえば[[Ruby_(代表的なトピック)|Ruby]]では ** は右結合である（オブジェクトの種類等によるものではなく、構文上の規則である））、[[Microsoft Visual Basic|VB]]のように算術演算は全て左結合としているため冪乗の ^ も左結合<ref>http://msdn.microsoft.com/en-us/library/vstudio/zh100ckf.aspx</ref>、という言語もある。

'''非結合'''（non-associative）は、右結合でも左結合でもない、たとえば比較演算子 &lt; のように、a &lt; b &lt; c の意味が (a &lt; b) &lt; c でも a &lt; (b &lt; c) でもない、というような演算子の結合性である（C言語では左結合として解釈し、比較結果の真理値を整数0か1として、次の比較を行うという通常は意図しない意味を持ってしまう。[[Python]]のように a &lt; b &lt; c と書いて、意図した通りの意味になる言語もある）。加算や乗算のみの演算のような順序によらない演算には順序を定めない、という言語も考えられるが、あまり見られない（算術と違いコンピュータ上の計算ではオーバーフロー等のために、真に順序によらない計算は実はあまりない、という事情もある）。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

== 関連項目 ==
* {{ill2|ライトの結合性判定法|en|Light's associativity test}}
* [[畳み込み級数]] - 級数の中間項が打ち消しあうには加法の結合性が必要
* [[半群]] - 結合的二項演算を持つ集合
* [[交換法則|可換性]]・[[分配法則|分配性]] - 結合性と同様に、二項演算にしばしば期待されるよい性質
* {{ill2|冪結合性|en|Power associativity}}・{{ill2|交代性|en|Alternativity}}・{{ill2|柔軟代数|en|flexible algebra|label=柔軟性}}・{{ill2|多項結合性|en|N-ary associativity}} - 弱い形の結合性
* {{ill2|モーファンク・ループ|en|Moufang loop|label=モーファンク恒等式}}からも弱い形の結合性が出る

== 外部リンク ==
* {{MathWorld |urlname= Associative |title= Associative}}
* {{nlab |urlname= associativity |title= associativity}}
* {{PlanetMath |urlname= associative |title= associative}}
* {{ProofWiki |urlname= Definition:Associative_Operation |title= Definition:Associative Operation}}
* {{ProofWiki |urlname= Category:Definitions/Associativity |title= Category:Definitions/Associativity}}
* {{SpringerEOM |urlname= Associativity |title= Associativity |first1= O.A. |last1= Ivanova |first2= D.M. |last2= Smirnov}}

{{DEFAULTSORT:けつこうほうそく}}
[[Category:代数的構造]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学の法則]]
[[Category:数学に関する記事]]