絶対ガロア群のソースを表示

[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|[[実数]]体 '''R''' の絶対ガロア群は、[[複素数]]体 '''C''' が '''R''' の分離閉包で ['''C''':'''R''']&nbsp;=&nbsp;2 なので、複素共役で生成される位数2の[[巡回群]]である。]]
[[可換体|体]] ''K'' の'''絶対ガロア群''' ''G<sub>K</sub>''（ぜったいガロアぐん、{{lang-en-short|absolute Galois group}}）とは、''K'' の[[分離閉包]] ''K''<sup>sep</sup> の ''K'' 上の[[ガロア群]]のことである。これは、''K'' の[[代数的閉包]]の自己同型のうちで ''K'' を固定するもの全てから成る群と一致する。絶対ガロア群は[[副有限群]]であり、[[内部自己同型]]による[[違いを除いて]] [[well-defined]] である。

''K'' が[[完全体]]であれば ''K''<sup>sep</sup> は ''K'' の[[代数的閉包]] ''K''<sup>alg</sup> と等しい。''K'' が[[標数|標数0]]の場合や、''K'' が[[有限体]]の場合がこれにあたる。

== 例 ==

* [[代数的閉体]]の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。

* [[実数]]体の絶対ガロア群は複素共役と恒等写像からなる位数2の巡回群である。これは、[[複素数]]体 '''C''' が 実数体 '''R''' の分離閉包であり、['''C''':'''R''']&nbsp;=&nbsp;2 であることから分かる。

* [[有限体]] ''K'' の絶対ガロア群は次の群
::<math> \hat{\mathbf{Z}} = \varprojlim \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}</math>
:と同型である（記号については[[射影極限]]参照）。[[フロベニウス自己準同型|フロベニウス自己同型]] Fr は ''G<sub>K</sub>'' の標準的な位相的生成元である。Fr は、''q'' を ''K'' の元の数とすると、Fr(''x'') = ''x<sup>q</sup>'' （''x'' は ''K''<sup>alg</sup> の元）で定義される写像である。

* 複素数体上の有理関数体の絶対ガロア群は自由副有限群である。これは{{仮リンク|リーマンの存在定理|en|Riemann's existence theorem}}に起源を持つ定理で、{{仮リンク|アドリアン・ドゥアディ|en|Adrien Douady}}により証明された<ref>{{harvnb|Douady|1964}}</ref>。

* より一般に、任意の代数的閉体 ''C'' に対して、有理関数体 ''K''&nbsp;=&nbsp;''C''(''x'') の絶対ガロア群は自由でその階数は ''C'' の[[濃度]]に等しいことが知られている。これは{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|デイヴィッド・ハーバター|en|David Harbater}}
|date=2021年10月
|David Harbater|cand_prefix=原文
}}と[[フロリアン・ポップ]]により証明され、のちに{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|ダン・ハラン|en|Dan Haran}}
|date=2021年10月
|Dan Haran|cand_prefix=原文
}}と{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|モシェ・ジャーデン|en|Moshe Jarden}}
|date=2021年10月
|Moshe Jarden|cand_prefix=原文
}}により代数的な方法で別証明が与えられた<ref>{{harvnb|Harbater|1995}}</ref><ref>{{harvnb|Pop|1995}}</ref><ref>{{harvnb|Haran|Jarden|2000}}</ref>。

* ''K'' を [[P進数|''p'' 進数体]] '''Q'''<sub>''p''</sub> の[[有限次拡大]]とする。''p''&nbsp;≠&nbsp;2 であれば、この体の絶対ガロア群は [''K'':'''Q'''<sub>''p''</sub>]&nbsp;+&nbsp;3 個の元で生成され、またその生成元と関係式も完全に知られている。これは{{仮リンク|ウーヴェ・ヤンセン|en|Uwe Jannsen}}と{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|ケイ・ヴィンベルグ|en|Kay Wingberg}}
|date=2021年10月
|Kay Wingberg|cand_prefix=原文
}}による結果である<ref>{{harvnb|Jannsen|Wingberg|1982}}</ref><ref>{{harvnb|Neukirch|Schmidt|Wingberg|2000|loc=theorem 7.5.10}}</ref>。''p'' = 2 の場合にもいくつかの結果があるが、'''Q'''<sub>2</sub> に対してはその構造は知られていない<ref>{{harvnb|Neukirch|Schmidt|Wingberg|2000|loc=§VII.5}}</ref>。

* [[総実体|総実]]な[[代数的数]]全ての体の絶対ガロア群が決定されている<ref>{{cite web|url=http://math.uci.edu/~mfried/paplist-cov/QTotallyReal.pdf |title=qtr |format=PDF |access-date=2019-09-04}}</ref>。

== 未解決問題 ==

* [[有理数]]体の絶対ガロア群を直接的に記述する方法が知られていない。有理数体の絶対ガロア群の元で他の元と区別できるよう名前が付けられているのは単位元と複素共役だけである<ref>
{{cite conference
 | first = Yasutaka
 | last = Ihara
 | authorlink = 伊原康隆
 | date = 1990
 | title = Braids, Galois groups and some arithmetic functions
 | conference = International Congress of Mathematicians 1990
 | conferenceurl = https://www.mathunion.org/icm/proceedings
 | pages = 104
 | url = https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1990.1/ICM1990.1.ocr.pdf
 | format = PDF
}}</ref>。[[ベールイの定理]]によりこの絶対ガロア群は[[アレクサンドル・グロタンディーク|グロタンディーク]]の'''[[子供のデッサン]]'''（曲面上の地図）に忠実に作用するので、代数体のガロア理論を"見る"ことはできる。

*有理数体の最大[[アーベル拡大]] ''K'' の絶対ガロア群は自由副有限群であろうと予想されている（'''シャファレヴィッチの予想'''）<ref>{{harvnb|Neukirch|Schmidt|Wingberg|2000}}, p. 449.</ref>。

== その他の結果 ==

* 全ての副有限群はあるガロア拡大のガロア群となる<ref name=FJ12>Fried & Jarden (2008) p.12</ref>が、全ての副有限群が<u>絶対</u>ガロア群となるわけではない。例えば、有限群で絶対ガロア群となるものは単位元のみの自明な群か位数2の群だけであることが[[実閉体|アルティン・シュライアーの定理]]から分かる。

* 全ての{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|射影的副有限群|en|projective profinite group}}
|date=2021年10月
|projective profinite group|cand_prefix=原文
}}は{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|擬代数的閉体|en|pseudo algebraically closed field}}
|date=2021年10月
|pseudo algebraically closed field|cand_prefix=原文
}}の絶対ガロア群として実現できる。このことは{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|アレクサンダー・ルボツキー|en|Alexander Lubotzky}}
|date=2021年10月
|Alexander Lubotzky|cand_prefix=原文
}}と{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|ルー・ファン・デン・ドリース|en|Lou van den Dries}}
|date=2021年10月
|Lou van den Dries|cand_prefix=原文
}}によって証明された<ref name=FJ208>Fried & Jarden (2008) pp.208,545</ref>。

== 脚注 ==

{{reflist|2}}

== 参考文献 ==

*{{Citation
| last=Douady
| first=Adrien
| title=Détermination d'un groupe de Galois
| year=1964
| mr=0162796
| journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris
| volume=258
| pages=5305–5308
| url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4012p/f958.item#
}}
* {{citation | last1=Fried | first1=Michael D. | last2=Jarden | first2=Moshe | title=Field arithmetic | edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | volume=11 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2008 | isbn=978-3-540-77269-9 | zbl=1145.12001 }}
*{{Citation
| last=Haran
| first=Dan
| last2=Jarden
| first2=Moshe
| title=The absolute Galois group of ''C''(''x'')
| journal=Pacific Journal of Mathematics
| year=2000
| volume=196
| issue=2
| mr=1800587
| pages=445–459
| doi=10.2140/pjm.2000.196.445
| doi-access=free
}}
*{{Citation
| last=Harbater
| first=David
| author-link=David Harbater
| contribution=Fundamental groups and embedding problems in characteristic ''p''
| mr=1352282
| pages=353–369
| title=Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, WA, 1993)
| publisher=[[American Mathematical Society]]
| location=[[Providence, Rhode Island]]
| series=Contemporary Mathematics
| volume=186
| year = 1995
}}
*{{Citation
| last=Jannsen
| first=Uwe
| last2=Wingberg
| first2=Kay
| title=Die Struktur der absoluten Galoisgruppe <math>\mathfrak{p}</math>-adischer Zahlkörper
| journal=[[Inventiones Mathematicae]]
| volume=70
| year=1982
| pages=71–78
| doi=10.1007/bf01393199
| bibcode=1982InMat..70...71J
}}
*{{Neukirch et al. CNF|edition=1}}
*{{Citation
| last=Pop
| first=Florian
| author-link=Florian Pop
| title=Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture
| journal=[[Inventiones Mathematicae]]
| volume=120
| issue=3
| year=1995
| pages=555–578
| mr=1334484
| doi=10.1007/bf01241142
| bibcode=1995InMat.120..555P
}}

[[Category:ガロア理論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
{{DEFAULTSORT:せつたいかろあくん}}