線型位相空間のソースを表示

[[数学]]における'''線型位相空間'''（せんけいいそうくうかん、{{Lang-en|linear topological space}}）とは、[[ベクトル空間]]の構造（線型演算）とその構造に両立する[[位相空間|位相構造]]を持ったもののことである。係数体は実数体 '''R''' や複素数体 '''C''' などの[[位相体]]であり、[[ベクトル]]の加法や[[スカラー (数学)|スカラー]]倍などの演算が[[連続写像]]になっていることが要請される。線型位相空間においては、通常のベクトル空間におけるような代数的な操作に加えて、興味のあるベクトルを他のベクトルで[[近似]]することが可能になり、[[関数解析学]]における基本的な枠組みが与えられる。

ベクトル空間の代数的な構造はその[[次元]]のみによって完全に分類されるが、特に無限次元のベクトル空間に対してその上に考えられる位相には様々なものがある。有限次元の実・複素ベクトル空間上の、意義のある位相はそれぞれの空間に対して一意的に決まってしまうこと<!-- fix me -->から、この多様性は無限次元に特徴的なものといえる。

== 定義 ==
[[位相体]] ''K'' 上の[[ベクトル空間|線型空間]] ''E'' で、線型空間としてのベクトル和とスカラー積が[[連続写像]]になっているものは'''線型位相空間'''とよばれる。すなわち、''E'' は[[加法]] 
: <math> E \times E \to E;\ (u, v) \mapsto u + v</math>
に関して[[位相群|位相アーベル群]]になっており、さらに定数倍写像
: <math>K \times E \to E;\ (r, v) \mapsto rv</math>
が2変数の写像として連続になっている。係数体 ''K'' を明示して位相 ''K''-線型空間などと呼ぶこともある。とくに係数の位相体が実数体である線型位相空間を'''実線型位相空間'''、複素数体である線型位相空間を'''複素線型位相空間'''という。

=== 名称 ===
線型位相空間には下にあげるように様々な呼び方がある。日本語としては『岩波数学事典』{{harv|日本数学会編|1985}}で用いられている''線型位相空間''が多く見られ、英語圏では''位相ベクトル空間''(''topological vector space'')が用いられている。
* 線型位相空間または線形位相空間（linear topological space）
* ベクトル位相空間（vector topological space）
* 位相線型空間または位相線形空間（topological linear space）
* 位相ベクトル空間（topological vector space）

=== 線型位相空間の例 ===
係数体 '''K''' 自身は '''K''' 上 1 次元の線型位相空間を与えている。実・複素線型位相空間のより非自明な例としてルベーグ ''p''-乗可積分関数の空間 ''L''<sup>''p''</sup>('''R''') (1 &le; p &le; &infin;) などの[[バナッハ空間]]、とくに[[ヒルベルト空間]]である自乗可積分な関数の空間 ''L''<sup>2</sup>('''R''')や自乗総和可能数列空間 ''l''<sup>2</sup>('''N''')、あるいはノルム空間でない例として[[急減少関数]]の空間 ''S''('''R''') や[[ソボレフ空間]]などがあげられる。

=== 連続線型写像 ===
線型位相空間の間の[[線型写像]]のうちで、さらに位相空間の間の写像として[[連続写像]]になっているものが線型位相空間の対称性を反映していると考えられるが、これらは'''連続線型写像'''（れんぞくせんけいしゃぞう、{{lang|en|continuous linear function}}）あるいは'''有界'''（'''線型'''）'''作用素'''（ゆうかいせんけいさようそ、{{lang|en|bounded [linear] operator}}）とよばれる。[[関数空間]]上に[[積分核]]によって表される作用素
: <math> f(x) \mapsto T_K f (y),  T_K f (y) = \int K(y, x) f(x) dx </math>
はしばしば有界作用素と見なすことができる。<!-- more specific? -->

特定の線型位相空間上の有界作用素のなす代数系は一様収束・各点収束など様々な位相をもち、そのうちいくつかは[[位相環]]の構造を与えている。

=== 不連続な線型写像 ===
連続線型写像が基本的な写像のクラスを与える一方で、'''非有界作用素'''とよばれる、[[稠密集合|稠密]]な部分線型空間上で定義された、連続とは限らない線型写像の考察もしばしば問題になる。とくに扱いやすい非有界作用素のクラスに[[閉作用素]]がある。<!-- should add preclosed? -->非有界作用素の例として、''L''<sup>2</sup>'''R''' 上、微分可能な関数からなる部分空間で定義された微分写像が挙げられる。<!-- fix me -->

== 双対空間 ==
線型位相空間 ''E'' から係数体 ''K'' 自身への連続線型写像は'''連続線型汎関数'''あるいは単に'''汎関数'''（はんかんすう、{{lang|en|functional}}）とよばれる。''E'' の上の連続線型汎関数の空間 ''E''<sup>*</sup> は ''E'' の（連続的）[[双対空間]]とよばれる。これは ''E'' を（位相を考えない）抽象ベクトル空間としてみたときの、代数的な双対空間 {{lang|en|(algebraic dual)}} Hom<sub>''K''</sub>(''E'', ''K'') の部分線型空間になっている。また、滑らかな汎関数が考えられるときには滑らかな双対空間 {{lang|en|(smooth dual)}} を部分空間として含む。

''E'' が[[ノルム空間]]のとき、双対空間 ''E''<sup>*</sup> 上に ''E'' の[[単位球]]上での汎関数の振る舞いをもとにしたノルムを導入することができ ''E''<sup>*</sup> の上の[[ノルム位相]]を考えることができる（''E''<sup>*</sup> はこのノルムに関して完備になる）。このとき、''E'' は ''E''<sup>*</sup> の双対空間 ''E''<sup>**</sup> に自然に埋め込まれていると見なすことができるが、''E'' が無限次元の場合には ''E'' と ''E''<sup>**</sup> はしばしば異なったものになる（双対をとった方が大きい）。''E'' と ''E''<sup>**</sup> が一致している場合には ''E'' は回帰的（反射的, {{lang|en|reflexive}}）であるといわれる。回帰的な空間の例としてヒルベルト空間が挙げられる。

線型位相空間の間の連続線型写像 ''f'': ''E'' &rarr; ''F'' に対してその'''共役写像'''が ''f'' による引き戻し
:<math> F^* \to E^*;\ \phi \mapsto \phi \circ f</math>
として定められる。これは双対空間上の妥当な位相に関して連続になる。

=== 弱位相 ===
''E'' を線型位相空間、''E''<sup>*</sup> をその双対空間とするとき、''E'' 上に考えられる位相で、任意の ''E''<sup>*</sup> の元がそれに関して連続になるようなもののうち最も粗いものは線型位相空間 ''E'' の弱位相とよばれる。''E'' 上で始めに考えていた位相は弱位相との区別のために強位相ともよばれる。弱位相の定義から、強位相は弱位相よりも細かい位相になる。

たとえば、ヒルベルト空間 ''l''<sup>2</sup> '''N''' の[[正規直交系]]<!-- needs an explicit presentation -->は 0 に弱収束している。この例に見られるように、無限次元の空間ではしばしば強位相と弱位相は異なったものになる。より一般に、二つの線型空間のあいだのペアリング（''E'' &times; ''F'' 上の[[双線型写像]]） &sigma; が定義されているとき、''E'' 上で線型写像の族 (&sigma;(-, ''f''))<sub>''f''&isin;''F''</sub> が連続になる限りで最も粗い位相が考えられるが、これは ''E'' 上の &sigma; から定まる弱位相とよばれる。&sigma; から定まる弱位相に関して連続な汎関数は ''F'' の元によって定められる汎関数に限られている。

とくに、''E''<sup>*</sup> と ''E'' の間の自然なペアリング ''E''<sup>*</sup> &times; ''E'' &rarr; ''K'' から定まる ''E''<sup>*</sup> 上の弱位相は弱 *-位相ともよばれる。

=== 直交空間 ===
''E'' の部分空間 ''F'' に対し、''E''<sup>*</sup> における ''F'' の'''直交空間'''が
:<math> \{ \phi \in E^* \mid \phi|_F = 0 \} </math>
によって定められる。

=== 局所凸位相 ===
実または複素線型位相空間 ''E'' の部分集合 ''S'' で、任意の2点 ''x'', ''y'' &isin; ''S'' に対しその間の線分
:<math> \{ tx + (1 - t)y : t \in [0, 1] \} </math>
を含むようなものは'''[[凸集合]]'''とよばれる。0 を含むような凸集合 ''S'' については、
; 均衡な凸集合
;: 任意の |&lambda;| &le; 1 なる数 &lambda; について &lambda;''S'' が ''S'' に含まれるならば ''S'' は'''均衡''' {{lang|en|(balanced)}} であるという。
; 併呑な凸集合
;: ''S'' の拡大 ''r''.''S'' (''r'' &isin; '''R''') たちが ''E'' をおおっているならば ''S'' は ''E'' を'''併呑''' {{lang|en|(absorbent)}} するという。

という条件を考えることができる。様々な具体的な関数空間に対し、0 近傍系としてこれらの条件を満たすような集合たちからなるものをとることができる。

均衡かつ併呑な凸閉集合を樽という。樽は必ず 0 を含む。
''E'' 上の正実数値写像で、劣加法性 ''p''(''x'' + ''y'') &le; ''p''(''x'') + ''p''(''y'') をもち、スケーリングと両立している ''p''(&lambda;''x'') = |&lambda;|''p''(''x'') ものは半ノルムとよばれる。<!-- need a word on functional to seminorm? -->下[[半連続]]半ノルム ''p'' が与えられたとき、''p''(''x'') &le; 1 によって指定される集合は樽となる。逆に、樽 ''S'' が与えられたとき、
: ''p''(''x'') =inf{''r'' &ge; 0 | ''x'' &isin; ''r.S''}
によって定められる ''E'' から '''R''' への写像（ミンコフスキー汎関数）は下半連続半ノルムになる。

0 の近傍の基本系が樽の部分集合族から取れる線型位相空間を'''局所凸空間'''という。更に，全ての樽が 0 の近傍となる空間を'''樽型空間'''という。局所凸空間の位相は半ノルムの族 (''p''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''</sub> によって指定されることになる。このような空間に対して[[ハーン・バナッハの定理]]がなりたち、連続な汎関数が十分に多くあることが示される。

== 発展的な話題 ==
=== コンパクト作用素・核型作用素 ===
線型位相空間の間の線型連続写像で、弱収束しているベクトルの列を強収束している列に移すようなものはコンパクト作用素とよばれる。<!--  algebraic F \otimes E* \subset End(F) --> また、線型位相空間からバナッハ空間へのコンパクト作用素のに対して[[トレース]]の有界性にあたる概念が定式化できるが、この有界性が満たされているものは核型作用素とよばれる。<!-- more technical def?-->

「恒等写像が核型作用素になっている」ような空間は核型空間とよばれる。核型空間の例として急減少関数の空間 ''S''('''R''') や急減少数列の空間が挙げられる。

=== テンソル積 ===
二つの線型位相空間の代数的な[[テンソル積]]上に考えられる妥当な位相は一意とは限らず、[[射影テンソル積]]や[[単射テンソル積]]など自然に定義される様々な位相が考えられる。片方の線型位相空間が核型である場合にはこれらの位相は一致し、テンソル積上の妥当な位相が一意的に定まることになる。

== 歴史 ==
<!-- needs more -->[[ダフィット・ヒルベルト]]による二乗和可能な数列の空間の導入、バナッハら東欧の数学者たちによるノルム空間の研究、[[アンリ・ルベーグ]]による積分論の再構成、[[ローラン・シュヴァルツ]]による超関数の数学的な定式化、[[ジャン・デュドネ]]らによる局所凸空間やその双対空間の研究、[[アレクサンドル・グロタンディーク]]による核型空間と位相的テンソル積に関する研究などが挙げられる。

==関連項目==
*[[位相空間]]
*[[位相環]]
*[[位相群]]
*[[ベクトル空間]]（線型空間）
*[[バナッハ空間]]
==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2015年10月}}
{{Refbegin|1}}
* {{cite book|和書 |author=赤池弘次|coauthors=ほか|year=1985|title=岩波数学辞典|editor=日本数学会編|publisher=岩波書店|location=東京|edition=第3版 |isbn=4000800167 |ncid=BN00086340 |ref={{SfnRef|日本数学会編|1985}} }}
* {{cite book|和書 |last=ブルバキ|first=ニコラ|translator=小針 宏, 清水達雄|date=1986-10-15 |title=位相線型空間 1 |series=ブルバキ数学原論 20 |publisher=東京図書|location=東京 |isbn=4489002033 |ref=harv }}
** {{cite book|和書 |last=ブルバキ 20|first=ニコラ|translator=小針 宏, 清水達雄|date=1986-10-15 |title=位相線型空間 2 |series=ブルバキ数学原論 21 |publisher=東京図書|location=東京 |isbn=4489002041 |ref=harv }}
** {{cite book|和書 |last=ブルバキ|first=ニコラ|translator=小針 宏, 清水達雄|date=1986-10-15 |title=位相線型空間 要約 |series=ブルバキ数学原論 22 |publisher=東京図書|location=東京 |isbn=448900205X |ref=harv }}
* {{cite book|last=Lax|first=Peter|year=2002|title=Functional Analysis|publisher=Wiley-Interscience|location=New York |isbn=0471556041 |ncid=BA56608154 |ref=harv }}
*
{{Refend}}

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:せんけいいそうくうかん}}
[[Category:位相線型空間|*]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]