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'''線型多段法'''(linear multistep method)は、[[常微分方程式の数値解法]]の一つである<ref name="Yamamoto1">{{Cite book |和書 |author=山本哲朗 |title=数値解析入門 |edition=増訂版 |date=2003-06 |publisher=[[サイエンス社]] |series=サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14 |ISBN=4-7819-1038-6}}</ref><ref name="Mori">{{Cite book|和書|author=森正武|authorlink=森正武|year=2002|month=2|title=数値解析|publisher=共立出版|isbn=4-320-01701-3|}}</ref>。

== 概要 ==

[[常微分方程式]]の数値解法では、初期値から始めて微小な刻み幅の分だけ時間を進め、次の点での解を求める。このステップを繰り返せば[[解曲線]]が得られる。

過去の<math> s </math>個の時刻における値を用いて次の値を算出する方法を、<math> s </math>段法または<math> s </math>次の多段法という。特に<math> s </math>が1の場合は1段法または単段法と呼ばれる<ref name="Yamamoto1"/><ref name="Mori"/>。

1段法(single-step method)の例として、[[オイラー法]]や[[ルンゲ＝クッタ法]]が挙げられる<ref name="Yamamoto1"/><ref name="Mori"/>。[[オイラー法]]では、過去の1時刻での値のみを用いて最新の値を決定する。[[ルンゲ＝クッタ法]]では、間にある複数のステップ（例えば中点）の値を用いることで良い近似値を得ているが、2番目のステップの値を得る前に過去の情報を全て捨てている。

多段法では、過去の情報を捨てずに保持して用いることで有効な値を得る。すなわち、多段法では過去の複数の時刻での値を用いる。線型多段法の場合は、それらの[[線型結合]]が用いられる。

== 定義 ==

[[常微分方程式]]とその[[初期値問題]]を次のように定める。
: <math> y' = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0. </math>
離散的な時間<math> t_i </math>における<math> y(t) </math>の値は次のようになる。
: <math> t_i  = t_0 + i h </math>
: <math> y_i  = y(t_i) = y(t_0 + i h) </math>
: <math> y_i'  = f(t_i, y_i) </math>
ここで<math> h </math>は時間の刻み幅であり、<math> \Delta t </math>とも書かれる。

線型多段法では、求める<math> y </math>の値を計算するために<math> y_i </math>と<math> y_i' </math>の線型結合を用いる。<math> s </math>段法では次の値を計算するため、過去の<math> s </math>個の値<math> y_n, \ldots, y_{n+s-1} </math>を用いる。そのため、求める最新の値は<math> y_{n+s} </math>となる。

線型多段法は次の形で表される。
: <math> \begin{align} 
& y_{n+s} + a_{s-1} y_{n+s-1} + a_{s-2} y_{n+s-2} + \cdots + a_0 y_n \\
& \qquad {} = h \bigl( b_s f(t_{n+s},y_{n+s}) + b_{s-1} f(t_{n+s-1},y_{n+s-1}) + \cdots + b_0 f(t_n,y_n) \bigr), 
\end{align} </math>
<math> 2s + 1 </math>個の係数<math> a_0, \ldots, a_{s-1} </math> と <math> b_0, \ldots, b_s </math>がこの方法を定める。各係数は使用者が決めるが、多くの係数がゼロとされることがよくある。<math> y(t) </math>が<math> n </math>次の[[多項式]]であれば、使用者はこれを厳密に[[補間]]するように係数を選ぶのが一般的である。

== 特徴 ==

=== 準備 ===
上記のように、<math> s </math>段法では過去の<math> s </math>個の時刻における値が必要となる。初期値として1時刻の値のみが与えられている場合は、1段法を<math> s-1 </math>回実行するなどして必要な値を用意しておく。

=== 陽公式と陰公式 ===
<math> b_s = 0 </math>であればこの方法は[[陽関数|陽公式]]と呼ばれる。陽公式は<math> y_{n+s} </math>を直接算出できる。

<math> b_s </math>の値がゼロでなければ、<math> y_{n+s} </math>の値は<math> f(t_{n+s}, y_{n+s}) </math>の値に依存する。この方法は[[陰関数|陰公式]]と呼ばれ、<math> y_{n+s} </math>を求めるための式があらかじめ解かれていなければならない。陰公式を解くためには[[ニュートン法]]のような[[反復法 (数値計算)|反復法]]がよく用いられる。

陽公式は<math> y_{n+s} </math>の値を「予測」するために用いられることがある。陽公式から求めた<math> y_{n+s} </math>の値(予測子)を陰公式の<math> f(t_{n+s}, y_{n+s}) </math>に代入すれば、より正確な<math> y_{n+s} </math>に「修正」できる。これが[[予測子修正子法]]である<ref name="Yamamoto1"/><ref name="Mori"/>。
===収束性===
出発値を一定の誤差以内に選べば<math>m</math>次の安定な線形多段法は<math>m</math>次収束することが知られている<ref name="Yamamoto1"/><ref>Ortega, J. M. (1990). Numerical analysis: a second course. Society for Industrial and Applied Mathematics.</ref>（ただし<math>m</math>次の[[ルンゲ＝クッタ法]]は出発値に関係なく<math>m</math>次収束する<ref name="Yamamoto1"/>）。

===Dahlquist barrier===
<math>m</math>次の安定な<math>N</math>次多段法において、<math>N</math>が偶数の時<math>m\leq N+2</math>、<math>N</math>が奇数の時<math>m\leq N+1</math>である<ref name="Yamamoto1"/><ref>Dahlquist, Germund (1956), "Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations", Mathematica Scandinavica, 4: 33--53.</ref><ref>Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems (2nd ed.), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.</ref>。よって<math>N+2</math>次より高次の安定な線形<math>N</math>段法は存在しない<ref name="Yamamoto1"/>。

== 例 ==

=== 2次のアダムス・バッシュフォース（Adams-Bashforth）法 ===
これは簡単な線型2段法の一つである。
: <math> y_{n+2} = y_{n+1} + \tfrac32 hf(t_{n+1},y_{n+1}) - \tfrac12 hf(t_n,y_n). </math>
この方法では2つの値<math> y_n </math>と<math> y_{n+1} </math>を用いて<math> y_{n+2} </math>を計算する。しかし[[初期値問題]]では<math> y_0</math>だけが与えられていて、<math> y_1 </math>はこの公式では求められない。そこで計算の開始にあたって<math>y_1</math>だけは、別の方法たとえば[[2次のルンゲクッタ法]]などで求める必要がある。

==脚注==
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== 外部リンク ==
* [http://www.scholarpedia.org/article/Linear_multistep_method スカラーペディア記事 "Linear multistep method" (英語)]

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