線型近似のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年11月}}
[[File:TangentGraphic2.svg|thumb|300px|一般の関数(緑線)を一次関数(赤線)で近似する．]]

[[数学]]における'''線型近似'''（せんけいきんじ、{{lang-en-short|linear approximation}}）とは、一般の[[関数 (数学)|関数]]を[[一次関数]]を用いて（より正確に言えば[[アフィン写像]]を用いて）[[近似]]することである。

例えば、2回[[微分可能]]な一変数関数 f は、[[テイラーの定理]]の ''n'' = 1 の場合により、
:<math> f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + R_2 </math>
と表せる。''R''<sub>2</sub>は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした
:<math> f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)</math>
となる。この近似は ''x'' が ''a'' に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の ''f'' のグラフの (''a'', ''f''(''a'')) における[[接線]]の表式となっており、そのことから、'''接線近似'''とも呼ばれる。
:<math> f(x) \approx f(a)</math> 
をaにおけるfの'''標準線型近似'''といい、x=a を'''センター'''という。

線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに[[関数行列]]が用いられる。例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。
:<math>f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).</math>
右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。

さらに一般に、[[バナッハ空間]]においては
:<math> f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)</math>
と表される。ここで Df(a) は f の a における[[フレシェ微分]]である。

==例==
線型近似を用いて <math>\sqrt[3]{25}</math> の近似値を求めてみよう。

#<math> f(x)= x^{1/3}</math>という関数を考える。この関数について f(25) を求めればよい。
#微分すると <math>f'(x)= x^{-2/3}/3</math> である。
#線型近似により <math>f(25) \approx f(27) + f'(27)(25 - 27) = 3 - 2/27</math> となる。
#小数に直すとおよそ2.926であるが、これは確かに真の値2.924&hellip;に近い。

== 関連項目 ==
* [[差分法]]

{{DEFAULTSORT:せんけいきんし}}
[[Category:数値解析]]
[[Category:数学に関する記事]]