線形力学系のソースを表示

'''線形力学系'''（せんけいりきがくけい、{{lang-en-short|linear dynamical system}}）とは、[[行列]]で定義され、[[線形性]]を持つ[[力学系]]である。

== 定義 ==
一般に {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} における線形力学系は、[[ベクトル空間|ベクトル]]値関数 {{math|'''x'''(''t'') &isin; '''R'''{{sup|''n''}}}} と、{{mvar|n}} 次の[[正方行列]] {{mvar|A}} により、次のような[[微分方程式]]で表される。

:<math>
\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} \mathbf{x}(t) = A \mathbf{x}(t) 
</math>

ただしこれは、{{math|'''x'''}} が[[連続]]的に変化する場合であり、[[離散]]系の場合には、

:<math> \mathbf{x}_{m+1} = A \mathbf{x}_{m} </math>

で表される。

これが線形であるとは、{{math|''x''(''t'')}} と {{math|''y''(''t'')}} が解ならば、任意の[[スカラー (物理学)|スカラー]] {{mvar|a, b}} について、[[線形結合]] {{math|''ax''(''t'') + ''by''(''t'')}} も解である、ということを意味している。

線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は[[行列指数関数|行列の指数]] {{math|e{{sup|''tA''}}}}（連続系）、もしくは累乗 {{mvar|A{{sup|n}}}}（離散系）によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 {{mvar|A}} の[[固有値]]、[[固有ベクトル]]によって理解できる。
非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、[[不動点]]の周りでの[[線形近似]]は、非線形系を理解するのに役立つ（[[ハートマン＝グロブマンの定理]]）。

== 線形力学系の解 ==
[[初期値]] {{math|'''x'''(0) {{=}} '''x'''{{sub|0}}}} が、行列 {{mvar|A}} の[[固有ベクトル]] {{math|'''v'''{{sub|''k''}}}} ならば、初期条件は

:<math>
\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} \mathbf{x}(t)\right|_{t=0} = 
A  \mathbf{v}_{k} = \lambda_{k} \mathbf{v}_{k}
</math>

となる。ただし、{{mvar|&lambda;{{sub|k}}}} は、固有ベクトル {{math|'''v'''{{sub|''k''}}}} に対応する固有値である。このとき、解は、

:<math>
\mathbf{x}(t) = 
\mathbf{v}_{k} \mathrm{e}^{\lambda_{k} t}
</math>

となる。

もし {{mvar|A}} が[[対角化]]可能ならば、任意の初期値 {{math|'''x'''{{sub|0}}}} は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 {{mvar|a{{sub|k}}}} が一意に存在する。

:<math>
\mathbf{x}_{0} = 
\sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbf{v}_{k}
</math>

このとき解は、
:<math>
\mathbf{x}(t) = 
\sum_{k=1}^{n}  a_{k} \mathbf{v}_{k} e^{\lambda_{k} t}
</math>

となる。

対角化不可能な場合でも一般に[[行列の指数関数]]を用いて

:<math> 
\mathbf{x}(t) = e^{t A} \mathbf{x}_0 \quad
\biggl( e^{t A} =\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}A^n \biggr )
</math>

と、解を導くことができる。

== 二次元の場合 ==
二次元の線形力学系は、
:<math>
\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}
\begin{pmatrix}
x  \\
y  \\
\end{pmatrix}
= A 
\begin{pmatrix}
x  \\
y  \\
\end{pmatrix}
</math>

で表される。この系では、{{mvar|A}} は {{math|2}} 次[[正方行列]]である。{{mvar|A}} の固有値は、[[行列式]] {{math|&Delta;}} と、[[トレース (数学)|トレース]] {{mvar|&tau;}} を用いて、
:<math>\lambda_1=\frac{\tau+\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}</math>
:<math>\lambda_2=\frac{\tau-\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}</math>
のように書くことができる。

また、<math>\Delta=\lambda_1\lambda_2</math> であり、<math>\tau=\lambda_1+\lambda_2</math> である。

もし、<math>\Delta<0</math> ならば、固有値の符号が異なり[[原点 (数学)|原点]]は、'''[[鞍点]]''' ({{en|saddle point}}) となる。

<math>\Delta=0</math> ならば、原点は孤立した[[平衡点]]ではない。

<math>\Delta>0</math> ならば、固有値の符号が同じになり、<math>\tau<0</math> ならば(漸近)安定、<math>\tau=0</math> ならば'''[[中立安定]]'''、<math>\tau>0</math> ならば不安定になる。また固有値が実数ならば'''節点''' ({{en|node}}) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なとき'''スター'''、不可能なとき'''退化節点''' ({{en|degenerate node}}) となる。最後に複素数のときは、'''渦状点''' ({{en|spiral}}) となる。

== 参考文献 ==
* {{cite book|first1=Morris W.|last1=Hirsch|first2=Stephen|last2=Smale|authorlink2=スティーブン・スメール|title=Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra|url={{google books|UG4Rh4OG-hUC|plainurl=yes}}|publisher=Academic Press|year=1974|mr=0486784|zbl=0309.34001|ref=harv}}
** {{cite book|和書|first1=S.|last1=スメール|authorlink1=スティーブン・スメール|first2=M. W.|last2=ハーシュ|others=[[田村一郎]]、[[水谷忠良]]、[[新井紀久子]]（翻訳）|title=力学系入門|publisher=岩波書店|year=1976|ISBN=978-4-00-006130-8|ref=harv}}

== 関連項目 ==
*[[自励系]]
*[[ハートマン＝グロブマンの定理]]

{{DEFAULTSORT:せんけいりきかくけい}}
[[Category:力学系]]
[[Category:数学に関する記事]]