置換積分のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年11月7日 (火) 07:34 (UTC)}}
{{Expand English|Integration by substitution|date=2024年5月}}
[[微分積分学]]において'''置換積分'''（ちかんせきぶん, {{lang-en|Integration by substitution}}）は、変数変換を用いて積分を計算する[[積分法]]である。

== 一変数の置換== 
=== 不定積分の置換積分 ===
[[連続関数]] {{math|''f''(''x'')}} と[[微分可能関数]] {{math|''x'' {{=}} ''g''(''t'')}} について次の等式が成り立つ{{Efn2|ここでの等号は「{{仮リンク|定数項|en|constant term}}の[[違いを除いて]]等しい」ことを意味する{{Sfn|加藤|2019|p=136}}}}。
:<math>
\int f(x)\,dx = \int f(g(t))g'(t)\, dt.
</math>
導出には以下のように[[連鎖律]]と[[微分積分学の基本定理]]を用いる{{Sfn|加藤|2019|p=136}}。
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dt} \int f(x)\,dx &= \frac{d}{dx} \int f(x)\,dx \cdot \frac{dx}{dt} \\
&= f(x)g'(t) =f(g(t))g'(t) \\
&= \frac{d}{dt} \int f(g(t))g'(t)\,dt.
\end{align}
</math>
この等式から変換公式の両辺の[[不定積分]]は {{mvar|t}} で[[微分]]したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。

また、変換公式は形式的に {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f''(''g''(''t''))}} と {{math|d''x'' {{=}} ''g''{{'}}(''t'') d''t''}} に分けて考えることができる{{Sfn|加藤|2019|p=137}}。後者は厳密には[[微分形式]]の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。
{{see also|微分形式#座標変換と積分}}

===定積分の置換積分===
定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される{{Sfn|加藤|2019|p=136}}。
:<math>\int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx = \int_a^b f(g(t))g'(t)\, dt.</math>

===例===
====例1====
:<math>
\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \, dx.
</math>

{{math|1=''u'' = ''x''<sup>2</sup> + 1}} で {{mvar|x}} から {{mvar|u}} に変数変換する。ここで、{{math|1=''du'' = 2''x'' ''dx''}} なので {{math|1=''x'' ''dx'' = (1/2)''du''}} である。また、{{math|1=''x'' = 0}} に対して {{math|1=''u'' = 0<sup>2</sup>+ 1 = 1}} であり、{{math|1=''x'' = 2}} に対して {{math|1=''u'' = 2<sup>2</sup>+ 1 = 5}} であるので、 
: <math>
\begin{align}
\int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) \,dx & {} = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du \\
& {} = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1))
\end{align}
</math>
と計算できる。

====例2====
:<math>
\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx.
</math>

{{math|''x'' {{=}} sin(''u'')}} で {{mvar|x}} から {{mvar|u}} に変数変換する。このとき、{{math|''dx'' {{=}} cos(u) ''du''}} である。また、{{math|0 {{=}} sin(0)}} および {{math|1 {{=}} sin(π/2)}} であることから積分区間を {{math|[0, π/2]}} に変換すると、この区間において {{math|{{!}}cos(''u''){{!}} {{=}} cos(''u'')}} であることに注意して、
:<math>
\begin{align}
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos(u)\,du \\
&= \int_0^\frac{\pi}{2} |\cos(u)| \cos(u)\,du = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(u)\,du \\
&= \Bigg( {\frac{u}{2} +\frac{\sin(2u)}{4} \Bigg) \Bigg\vert\,}_0^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}
\end{align}
</math>
と計算できる。

== 多変数の置換 ==
{{節スタブ}}
{{See also|ヤコビアン|多重積分}}{{Math|1=''x''=''φ''(''u'',''v'')}},{{Math|1=''y''=''ψ''(''u'',''v'')}}と変数変換すると

<math>\iint f(x,y)dxdy=\iint f(\phi(u,v),\psi(u,v))|J|dudv</math>

ここで、

<math>J=\frac{\part(x,y)}{\part(u,v)}=\det\left(\begin{matrix} \frac{\part{x}}{\part{u}} & \frac{\part{x}}{\part{v}} \\ \frac{\part{y}}{\part{u}} & \frac{\part{y}}{\part{v}} \end{matrix} \right)</math>

は[[ヤコビアン]]([[ヤコビ行列]]の[[行列式]]である。)

これは形式的に<math>dxdy=|J|dudv</math>と書ける。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}<!-- {{Efn2| }} で注釈追加  -->
=== 出典 ===
{{Reflist|colwidth=25em}}<!-- {{Sfn| }} で出典追加 -->
=== 文献 ===
* {{Cite book|和書|author=加藤文元|title=大学教養 微分積分|series=数研講座シリーズ|date=2019-11-01|publisher=[[数研出版]]|isbn=978-4-410-15229-0|ref={{SfnRef|加藤|2019}}|authorlink=加藤文元}}

{{DEFAULTSORT:ちかんせきふん}}
[[Category:積分法]]
[[Category:数学に関する記事]]

==関連項目==
*[[微分積分学の基本定理]]
{{integral}}
{{Mathanalysis-stub}}