群上の加群のソースを表示

[[数学]]において、与えられた[[群 (数学)|群]] ''G'' 上の'''加群'''（かぐん、{{lang-en-short|''module'' over ''G''}}）または ''G''-'''加群''' {{lang|en|(''G''-''module'')}} とは、[[アーベル群]] ''M'' であって ''M'' の群構造と両立する ''G'' の[[群の作用|作用]]を持つものをいう。これは[[群の表現| ''G'' の表現]]に広く一般に用いることのできる概念である。[[群コホモロジー]]は ''G''-加群の一般論の研究において重要な道具をいくつも提供する。

''G''-'''加群'''という用語はもっといっぱんに、''G'' が線型に（つまり ''R''-加群の自己同型からなる群として）作用する[[環上の加群| ''R''-加群]]に対しても用いられる。

== 定義と基本事項 ==
''G'' を群とする。'''左''' ''G''-'''加群'''あるいは ''G''-'''左加群'''は、アーベル群 ''M'' に左からの[[群作用]] &rho;: ''G'' &times; ''M'' &rarr; ''M'' で
: <math>g\cdot(a + b) = g\cdot a + g\cdot b\quad(g\cdot a := \rho(g,a))</math>
となるものをあわせて考えたものである。'''右''' ''G''-'''加群'''、''G''-'''右加群''' も右からの作用を考えて同様に定義される。左 ''G''-加群 ''M'' が与えられたとき、''G'' の右からの作用を
: <math>a\cdot g := g^{-1}\cdot a</math>
で定義することにより、''M'' を右 ''G''-加群にすることができる。

''G''-加群 ''M'', ''N'' の間の[[写像]] ''f'': ''M'' &rarr; ''N'' が ''G''-'''加群の準同型'''あるいは ''G''-'''線型写像'''、''G''-'''準同型'''であるとは、''f'' が ''G''-[[同変]]な[[群準同型]]であるときにいう。

左 ''G''-加群と ''G''-準同型全体のあつまりは[[アーベル圏]] ''G''-'''Mod''' を成し、''G''-'''Mod''' は[[群環]] '''Z'''[''G''] 上の左[[環上の加群|加群]]の圏と同一視することができる。作用を右からに変えて得られる圏 '''Mod'''-''G'' についても同様である。

''G''-加群 ''M'' の'''部分''' ''G''-'''加群'''あるいは''G''-'''部分加群''' {{lang|en|(''G''-''submodule'')}} または単に（''G''-加群としての、''G'' の作用まで込めた）部分加群とは、（抽象群としての）部分加群 ''A'' &sube; ''M'' であって ''G'' の作用に関して不変、つまり任意の ''g'' &isin; ''G'' に対して、
: <math>g\cdot a \in A, \quad (\forall a\in A)</math>
となるものをいう。''M'' とその部分加群 ''A'' が与えられたとき、'''商''' ''G''-'''加群'''あるいは ''G''-'''商加群'''または'''剰余''' ''G''-'''加群'''あるいは ''G''-'''剰余加群''' {{lang|en|(''G''-''quotient module'')}} ''M''/''A'' が、作用を考えない抽象群としての[[剰余群]] ''M''/''A'' に ''G'' の作用を
: <math>g\cdot(m + A) := g\cdot m + A, \quad(g\in G,\, m\in M)</math>
とさだめることによって定まる。

== 例 ==
* 任意の群 ''G'' に対して、アーベル群 '''Z'''は、'''自明な作用''' ''g''·''a'' = ''a'' に関して ''G''-加群である。
* ''M'' を '''Z''' 上の[[二変数二次形式]] ''f''(''x'', ''y'') = ''ax''<sup>2</sup> + 2''bxy'' + ''cy''<sup>2</sup>（''a'', ''b'', ''c'' は有理整数）全体の成す集合とし、''G'' を '''Z''' 上の二次[[特殊線型群]] ''SL''(2, '''Z''') とする。このとき、<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>
 g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}
</math></div> に対し、<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>
 (g\cdot f)(x,y) := f((x,y)g) = f(\alpha x+\gamma y,\beta x+\delta y)
</math></div>と定めれば ''M'' は ''G''-加群となる（ただし、(''x'', ''y'')''g'' は行列の積である）。この ''G''-加群 ''M'' は[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]によって研究されたものである。
* ''V'' が ''G'' の[[可換体|体]] ''K'' 上の表現ならば、''V'' は（''V'' を加法に関するアーベル群と見て）''G''-加群である。

== 位相群上の加群 ==
''G'' が[[位相群]]で、''M'' が位相アーベル群のとき、''M'' が'''位相''' ''G''-'''加群'''であるとは ''M'' は ''G''-加群であって、（''G'' &times; ''M'' に[[直積位相]]を入れるとき）作用 ''G'' &times; ''M'' &rarr; ''M'' が[[連続写像|連続]]であるときにいう。

== 参考文献 ==
*Chapter 6 of {{Citation |last1=Weibel |first1=Charles A. |title=An introduction to homological algebra |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-55987-4 |id={{MathSciNet | id = 1269324}} |year=1994 |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |volume=38 |oclc=36131259}}
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[[Category:群論]]
[[Category:表現論]]
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