群符号のソースを表示

[[符号理論]]において、群符号(英: '''group codes''')は符号の一種である。群符号は<math>G^n</math>の部分群である<math>n</math>個の[[線型符号|線形ブロック符号]]からなり、<math>G</math>には[[有限アーベル群]]が当て嵌まる。

群符号系統<math>C</math>は、[[パリティビット|パリティチェックビット]]を決定する<math>n-k</math>[[準同型]]性によって定義されるオーダー<math>|G|^k</math>の<math>G^n</math>上の符号である。残りの<math>k</math>ビットは情報ビットそのものである。

== 構築 ==
群符号は、行列の要素が符号のアルファベットの記号ではなく群の[[自己準同型]]である点を除き、線形ブロック符号の生成行列に似た特別な[[生成行列]]によって構築できる。たとえば、生成行列を考えると、

<math>G = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}  0 0 \\ 1 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  0 1 \\ 0 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}  0 0 \\ 1 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  11 \\ 1 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  0 0 \\ 0 0 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}</math>

この行列の要素は自己準同型である<math>2\times 2</math> 行列である。このシナリオでは、各符号ワードは<math>g_1^{m_1} g_2^{m_2} ... g_r^{m_r}</math> として表すことができ、<math>g_1,... g_r</math>には<math>G</math>の[[群の生成系|ジェネレーター]]が当て嵌まる。

== 関連項目 ==

* [[群符号化記録]]<ref>{{Cite web |title=かつて広く使われていた「フロッピーディスク」についてプログラマーが解説 - GIGAZINE |url=https://gigazine.net/news/20240314-floppy-disks/ |website=gigazine.net |date=2024-03-14 |access-date=2024-03-15 |language=ja}}</ref>

== リファレンス ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{cite book |title=Coding for Digital Recording |chapter=3.4. Group codes |author-first=John |author-last=Watkinson |publisher=[[Focal Press]] |location=Stoneham, MA, USA |date=1990 |isbn=978-0-240-51293-8 |pages=51–61}}
* {{cite book |author-last1=Biglieri |author-first1=Ezio |author-last2=Elia |author-first2=Michele |doi=10.1109/ISIT.1993.748676 |chapter=Construction of Linear Block Codes Over Groups |title=Proceedings. IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT) |page=360 |date=1993-01-17 |isbn=978-0-7803-0878-7 |title-link=IEEE International Symposium on Information Theory |s2cid=123694385}}
* {{cite journal|date=1993|title=The dynamics of group codes: State spaces, trellis diagrams and canonical encoders|journal=[[IEEE Transactions on Information Theory]]|volume=39|issue=5|pages=1491–1593|doi=10.1109/18.259635|author-first1=George David<!-- Dave -->|author-last1=Forney|author-link1=George David Forney|author-first2=Mitch D.|author-last2=Trott}}
* {{cite journal|date=1996|title=An efficient algorithm for constructing minimal trellises for codes over finite Abelian groups|journal=[[IEEE Transactions on Information Theory]]|volume=42|number=6|pages=1839–1854|doi=10.1109/18.556679|author-first1=Vijay Virkumar|author-last1=Vazirani|author-link1=Vijay Virkumar Vazirani|author-first2=Huzur|author-last2=Saran|author-first3=B. Sundar|author-last3=Rajan|citeseerx=10.1.1.13.7058}}
* {{cite journal|date=1996|title=Dual codes of Systematic Group Codes over Abelian Groups|journal=Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing (AAECC)<!-- Appl. Algebra Eng. Commun. Comput. -->|volume=8|number=1|pages=71–83|author-first1=Adnan Abdulla|author-last1=Zain<!-- Alsaggaf -->|author-first2=B. Sundar|author-last2=Rajan}}

[[Category:符号理論]]