背理法のソースを表示

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{{出典の明記|date=2016年4月}}
'''背理法'''（はいりほう、{{lang-en-short|''proof by contradiction'', ''reduction to the absurd'', ''indirect proof'', ''apagogical argument''}} など、{{lang-la-short|''reductio ad absurdum'', ''RAA''}}）とは、ある命題 {{mvar|''P''}} を証明したいときに、{{mvar|''P''}} が偽であることを仮定して、そこから[[矛盾]]を導くことによって、{{mvar|''P''}} が偽であるという仮定が誤り、つまり {{mvar|''P''}} は真であると結論付けることである{{sfn|前原昭二|2005|p=57}}。'''帰謬法'''（きびゅうほう）とも言う。

{{mvar|''P''}} を[[仮定]]すると、[[矛盾]] {{math|⊥}} が導けることにより、{{mvar|''P''}} の否定 {{math|&not;''P''}} を結論付けることは[[否定の導入]]などと呼ばれる{{sfn|前原昭二|2005|pp=45f}}。
:<math> \cfrac{\displaystyle{[P] \atop \bot}}{\neg P} </math>
これに対して {{math|&not;''P''}} を仮定すると矛盾 {{math|⊥}} が導けることにより {{mvar|''P''}} を結論付けることを狭義の背理法あるいは否定の除去ということがある。
:<math> \cfrac{\displaystyle{[\neg P] \atop \bot}}{P} </math>
否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。
一般的に、背理法と言った場合は広義の背理法を指す。否定の導入により、{{math|&not;''P''}} から矛盾が導けた場合、{{math|&not;&not;''P''}} を結論できるが、いわゆる[[古典論理]]では[[推論規則]]として[[二重否定の除去]]が認められているため、結局 {{mvar|''P''}} が結論できることになる。[[排中律]]や二重否定の除去が成り立たない[[直観論理]]では、狭義の背理法による証明は成立しないが{{sfn|前原昭二|2005|loc=第2章 §8, 付録 II §2}}、否定の導入や、{{math|&not;&not;&not;''P''}} から {{math|&not;''P''}} を結論することは、認められる。

背理法を使って証明される有名な定理には、[[2の平方根]]<math>\sqrt{2}</math> が[[無理数]]であること、[[素数が無数に存在することの証明|素数が無限に存在する]]こと、[[中間値の定理]]，[[ハイネ・カントールの定理]]などがある。

しかし例えば、<math>\sqrt{2}</math> が無理数である（すなわち有理数でない）ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|和書
|author = 前原昭二
|title = 記号論理入門
|edition = 新装版
|year = 2005
|publisher = [[日本評論社]]
|series = 日評数学選書
|isbn = 4-535-60144-5
|ref = harv
}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[直観主義 (数学の哲学)|直観主義]]
*[[転換法]]
*[[否定の導入]]
*[[二重否定の除去]]
*[[無矛盾律]]
*[[排中律]]
*[[無限降下法]]
*[[対角線論法]]
*[[帰謬法 (修辞学)]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|背理法}}
*{{高校数学の美しい物語|title=背理法のいろいろな例|urlname=contradiction}}
*{{MathWorld|title=Reductio ad Absurdum|urlname=ReductioadAbsurdum}}

{{Mathlogic-stub}}

{{DEFAULTSORT:はいりほう}}
[[Category:命題論理の定理]]
[[Category:数学的証明]]
[[Category:証明法]]
[[Category:数学に関する記事]]