自乗可積分函数のソースを表示

{{出典の明記|date=2012年12月22日 (土) 15:40 (UTC)}}
'''自乗可積分函数'''（じじょうかせきぶんかんすう、{{lang-en-short|square-integrable function}}）とは、実数値または複素数値[[可測関数|可測函数]]で絶対値の自乗の積分が有限であるものである。すなわち

: <math> \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx < \infty </math>

ならば、''f'' は実数直線 (&minus;&infin;, +&infin;) 上で自乗可積分である。場合によっては積分区間が [0, 1] のように有界区間のこともある。

== 性質 ==
自乗可積分函数の集合は次の[[内積]] <math>\langle\cdot, \cdot\rangle</math> のもとで[[計量ベクトル空間|内積空間]]となる：

: <math> \langle f, g \rangle = \int_A f(x) \overline{g(x)} \, dx </math>

ただし
* ''f'' , ''g'' は自乗可積分函数
* <math>\overline{g(x)}</math> は''g'' の[[複素共役]]
* ''A'' は積分区間（たとえば (&minus;&infin;, +&infin;) や [0, 1] など）
である。

<math>|a|^2 = a\overline{a}</math> より、自乗可積分であることは

: <math> \langle f, f \rangle < \infty. \, </math>

と同値である。

== 誘導される空間 ==
上で定義した内積により決まる[[距離函数|計量]]の下で、自乗可積分函数は[[完備距離空間]]を成すことを示すことができる<!-- cite theorem here, with an internal link?-->。この完備距離空間は、その空間における数列が[[コーシー列]]の場合にそしてそのときに限り収束するので、{{仮リンク|コーシー空間|en|Cauchy space}}とも呼ばれている。

[[ノルム]]によって決まる計量のもとで完備な空間は[[バナッハ空間]]である。したがって自乗可積分函数の空間は、内積で決まるノルムによる計量のもとでバナッハ空間である。内積に関するこの性質から、この空間は内積によって決まる計量のもとで完備であること、すなわちこれは[[ヒルベルト空間]]であることが分かる。

この内積空間は通常 <math>\left(L_2, \langle\cdot, \cdot\rangle_2\right)</math> と表記され、さらに多くの場合''L''<sub>2</sub> と略記される<ref>''L''<sub>2</sub> が自乗可積分な関数の集合を表すが、計量、ノルムや内積の選択がこの表記法で指定されていないことに注意せよ。内積 <math>\langle\cdot, \cdot\rangle_2</math> とセットで書くことで、特定の内積を持つ内積空間を指定している。</ref>。

自乗可積分函数の空間は、[[Lp空間|''L<sub>p</sub>'' 空間]]の''p'' = 2 に対応する。

== 関連項目 ==

*[[フーリエ級数#直交性|フーリエ級数]]
*[[Lp空間]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:ししようかせきふんかんすう}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]