自己共分散のソースを表示

{{Expand English|Autocovariance|date=2024年5月}}
'''自己共分散'''（じこきょうぶんさん、{{lang-en-short|autocovariance}}）とは、[[統計学]]における[[確率過程]]での、自分自身の時間をずらしたバージョンとの[[共分散]]である。確率過程 ''X''(''t'') が[[平均]] E[''X''<sub>''t''</sub>]&nbsp;=&nbsp;&mu;<sub>''t''</sub> を持つとき、その自己共分散は次のように表される。

:<math>\, K_\mathrm{XX} (t,s) = E[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)] = E[X_t\cdot X_s]-\mu_t\cdot\mu_s.\,</math>

ここで、E は[[期待値]]演算子である。

== 定常性 ==
''X''(''t'') が[[定常過程]]なら、以下の条件が成り立つ。

:すべての ''t'', ''s'' について <math>\mu_t = \mu_s = \mu \,</math>

かつ

:<math>K_\mathrm{XX}(t,s) = K_\mathrm{XX}(s-t) = K_\mathrm{XX}(\tau) \, </math>

ここで

:<math>\tau = s - t \,</math>

はラグタイム、あるいは信号をシフトした時間の量である。

結果として、自己共分散は次のようになる。

:<math>\, K_\mathrm{XX} (\tau) = E \{ (X(t) - \mu)(X(t+\tau) - \mu)  \}   </math>
::::<math>  = E \{ X(t)\cdot X(t+\tau) \} -\mu^2,\,</math>
::::<math>  = R_\mathrm{XX}(\tau) - \mu^2,\,</math>

ここで ''R''<sub>XX</sub> は[[自己相関]]を表す。

== 正規化 == 
[[分散 (確率論)|分散]] &sigma;<sup>2</sup> で正規化すると、自己共分散は自己相関係数 &rho; となる。

:<math> \rho_\mathrm{XX}(\tau) = \frac{  K_\mathrm{XX}(\tau)}{\sigma^2}.\,</math>

なお、自己相関と自己共分散という用語は相互に入れ替えて使われることもあるので注意が必要である。

自己共分散とは、完全な相関を示したときを &sigma;<sup>2</sup> として、そのラグにおいて時間シフトしたバージョンと自分自身がどれだけ似ているかを示す尺度と考えることができる。正規化により、その範囲が [&minus;1,&nbsp;1] に収められる。

== 参考文献 ==
* P. G. Hoel (1984): Mathematical Statistics, New York, Wiley
* [http://w3eos.whoi.edu/12.747/notes/lect06/l06s02.html Lecture notes on autocovariance from WHOI]

{{統計学}}
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