自己数のソースを表示

[[数論]]において、ある[[底|基数]]<math>b</math>における'''自己数'''（じこすう、{{lang-en-short|self number}}）とは、[[自然数]]で、他の自然数<math>n</math>で<math>n</math>と<math>n</math>の各桁の数字の合計がその値となるようなものが無いものをいう。自己数は'''コロンビア数'''（{{lang-en-short|Colombian number}}）ともよばれる。例として、20は基数10における自己数である（<math>n</math> < 15では合計は20未満であり、<math>n</math> ≥ 15では合計は20超である）。一方、21は自己数ではない（<math>n</math> = 15で 15 + 1 + 5 = 21）。この数は、[[1949年]]に[[インド]]の[[数学者]]、[[ダッタトリヤ・ラムチャンドラ・カプレカル|D. R. カプレカル]]によって最初に記述された。

== 定義と性質 ==
<math>n</math>を自然数とする。基数<math>b > 1</math>に対して<math>b</math>-'''自己関数'''<math>F_b : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>を以下のように定義する:
:<math>F_{b}(n) = n + \sum_{i=0}^{k - 1} d_i.</math>
ここで <math>k = \lfloor \log_{b}{n} \rfloor + 1</math> は基数<math>b</math>における桁数、
:<math>d_i = \frac{n \bmod{b^{i+1}} - n \bmod b^i}{b^i}</math>
は各桁の値。自然数<math>n</math>は<math>F_b</math>による<math>n</math>の[[像 (数学)|逆像]]が[[空集合]]である場合に<math>b</math>-自己数である。

一般に、偶数基数において、基数より小さいすべての奇数は自己数である（<math>n</math>が一桁の場合のみを考えればよく、これらにおいて合計は偶数<math>2n</math>となる）。
奇数基数の場合、すべての奇数は自己数である<ref name=CS384>Sándor & Crstici (2004) p.384</ref>。
基数<math>b</math>における自己数の集合は無限個あり、その自然密度は正の値となる。<math>b</math>が奇数の場合、密度は1/2である<ref name=CS385>Sándor & Crstici (2004) p.385</ref>。

== 漸化式 ==
以下の[[漸化式]]により基数10のいくつかの自己数を得ることができる:
:<math>C_1 = 9</math>,
:<math>C_k = 8 \cdot 10^{k - 1} + C_{k - 1} + 8</math>.
基数2の場合:
:<math>C_k = 2^j + C_{k - 1} + 1</math>,
(''j'' は桁数)。

任意の基数<math>b</math>に対して以下のように一般化できる:
:<math>C_k = (b - 2)b^{k - 1} + C_{k - 1} + (b - 2)\,</math>
ここで''C''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;&minus;&nbsp;1（偶数の場合）、''C''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;&minus;&nbsp;2（奇数の場合）。

これにより任意の基数において自己数が無限に存在することが示される。

== 特定の基数における自己数 ==
基数2の場合については {{oeis|id=A010061}}を参照(基数10で記載)。

基数10の場合のはじめのいくつかは以下の通り:
: 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ... {{OEIS|id=A003052}}

基数12の場合（倒立した2（「ᘔ」）を10の意味で、倒立した3（「Ɛ」）を11の意味で使用）:
:1, 3, 5, 7, 9, Ɛ, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, ᘔ8, Ɛ9, 102, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1ᘔ9, 1Ɛᘔ, 20Ɛ, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 2ᘔᘔ, 2ƐƐ, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 39ᘔ, 3ᘔƐ, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 48ᘔ, 49Ɛ, 4Ɛ0, 501, 512, 514, 525, 536, 547, 558, 569, 57ᘔ, 58Ɛ, 5ᘔ0, 5Ɛ1, ...

== 自己素数 ==
'''自己素数'''（じこそすう、{{lang-en-short|self prime}}）とは、[[素数]]でもある自己数である。
基数10におけるはじめのいくつかの自己素数は:
:3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... {{OEIS|id=A006378}}

基数12の場合（倒立した2（「ᘔ」）を10の意味で、倒立した3（「Ɛ」）を11の意味で使用）:
:3, 5, 7, Ɛ, 31, 75, 255, 277, 2ƐƐ, 3ᘔƐ, 435, 457, 58Ɛ, 5Ɛ1, ...

2006年10月、{{仮リンク|ルーク・ピーボディ|en|Luke Pebody}}は[[メルセンヌ数#メルセンヌ素数|メルセンヌ素数]]であって基数10における自己数でもある既知の最大のものとして2<sup>24036583</sup>&minus;1を示した。これは基数10における既知の最大の自己素数である{{Refnest|group="注"|{{As of|2006|lc=on}}}}。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}
* Kaprekar, D. R. ''The Mathematics of New Self-Numbers'' Devaiali  (1963): 19 - 20. 
* {{cite journal |author=R. B. Patel |title=Some Tests for ''k''-Self Numbers |journal=Math. Student |volume=56 |year=1991 |pages=206–210}}
* {{cite journal |author=B. Recaman |title=Problem E2408 |journal=Amer. Math. Monthly |volume=81 |issue=4 |year=1974 |pages=407 |doi=10.2307/2319017}}
* {{cite book | last1=Sándor | first1=Jozsef | last2=Crstici | first2=Borislav | title=Handbook of number theory II | location=Dordrecht | publisher=Kluwer Academic | year=2004 | isbn=1-4020-2546-7 | pages=32–36 | zbl=1079.11001 }}
* {{MathWorld|urlname=SelfNumber|title=Self Number}}

{{素数の分類}}
{{DEFAULTSORT:しこすう}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]