自己記述数のソースを表示

'''自己記述数'''（じこきじゅつすう、{{lang|en|self-descriptive number}}）とは、以下の条件を満たす[[整数]] ''m'' のことである。
* ''m'' の桁数 ''b'' が、''m'' の[[基数]]を示す。
* 先頭の桁を0桁目としたとき、''m'' の全ての ''n'' 桁目の数字 ''d'' が、''m'' における数字 ''n'' の個数を示す。

==例==
基数10において、6210001000は以下の理由で自己記述数である。

* 桁数10が、その基数10を示している。
* 0桁目の数字6が、6210001000の中に数字0が6個あることを示している。
* 1桁目の数字2が、6210001000の中に数字1が2個あることを示している。
* 2桁目の数字1が、6210001000の中に数字2が1個あることを示している。
* 3桁目の数字0が、6210001000の中に数字3が0個あることを示している。
* 4桁目の数字0が、6210001000の中に数字4が0個あることを示している。
* 5桁目の数字0が、6210001000の中に数字5が0個あることを示している。
* 6桁目の数字1が、6210001000の中に数字6が1個あることを示している。
* 7桁目の数字0が、6210001000の中に数字7が0個あることを示している。
* 8桁目の数字0が、6210001000の中に数字8が0個あることを示している。
* 9桁目の数字0が、6210001000の中に数字9が0個あることを示している。

==他の基数における自己記述数==
基数1, 2, 3, 6には自己記述数が存在しない。7以上の基数では、少なくとも以下の形式の自己記述数が必ず存在する。
:<math>(b - 4)b^{b - 1} + 2b^{b - 2} + b^{b - 3} + b^3</math>
この数は、0桁目の数字が ''b'' − 4 、1桁目の数字が 2、2桁目の数字が 1、''b'' − 4 桁目の数字が 1、それ以外の桁の数字が 0 となる。

以下に、各基数における自己記述数を示す。
{| class="wikitable"
!基数
!自己記述数 （{{OEIS|id=A138480}}）
!基数10での値 （{{OEIS|id=A108551}}）
|-
|1
|colspan=2|なし
|-
|2
|colspan=2|なし
|-
|3
|colspan=2|なし
|-
|4
|1210, 2020
|[[100]], [[136]]
|-
|5
|21200
|1425
|-
|6
|colspan=2|なし
|-
|7
|3211000
|389305
|-
|8
|42101000
|8946176
|-
|9
|521001000
|225331713
|-
|10
|6210001000
|6210001000
|-
|11
|72100001000
|186492227801
|-
|12
|821000001000
|6073061476032
|-
|13
|9210000001000
|213404945384449
|-
|14
|A2100000001000
|8054585122464440
|-
|15
|B21000000001000
|325144322753909625
|-
|16
|C210000000001000
|13983676842985394176
|-
|...
|...
|...
|-
|-
|36
|W21000...0001000<br/>（[[リーダー (記号)|省略部]]には23桁の 0 がある）
|約 2.14349{{e|53}}
|-
|...
|...
|...
|}

==特性==
上の表に記載されている数字からは、全ての自己記述数は全ての桁の数字の合計（[[数字和]]）が基数と一致する、また、全ての自己記述数は基数の倍数であるように見える。1つ目の事象については、自己記述数の定義より、全ての桁の数字の合計は桁数と一致し、桁数は基数を表しているということから自明である。

基数''b''の自己記述数が必ずその基数の倍数である（あるいは、自己記述数の最後の桁の数字が必ず0である）ことは、次のように証明できる。
* 基数''b''の自己記述数''m''が、桁数は''b''桁だが''b''の倍数ではない（最後の桁の数字が0ではない）と仮定する。
* この場合、''b'' − 1 桁目（最後の桁）の数字は少くとも1となる。これは、''m''に数字 ''b'' − 1 が少なくとも1つは存在することを意味する。
* 数字 ''b'' − 1 が''x''桁目にあるとした場合、''m'' の中に数字 ''x'' が ''b'' − 1 個存在しなければならない。
* 従って、''m'' には少くとも1の数字が1個、数字 ''x'' が少なくとも ''b'' − 1 個あることになる。ここで、''x'' > 1 の場合、''m'' の桁数が ''b'' を超えるので、最初の仮定と矛盾している。また、''x'' = 0 または 1 の場合も矛盾が生じる。

基数''b''の自己記述数は、基数''b''の[[ハーシャッド数]]である。

== 出典 ==
* Clifford Pickover, ''Keys to Infinity'', Chapter 28, "Chaos in Ontario." New York: Wiley, pp.&nbsp;217–219, 1995. 
* {{MathWorld|title=Self-Descriptive Number|urlname=Self-DescriptiveNumber}}
* {{SloanesRef |sequencenumber=A108551|name=Self-descriptive numbers in various bases|accessdate=2021-04-05 }}
* {{SloanesRef |sequencenumber=A046043|name=Autobiographical numbers|accessdate=2021-04-05}}
* {{Citation|url=http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=881|title=Autobiographical Numbers}}

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