自然単位系のソースを表示

{{数量の比較}}
'''自然単位系'''（しぜんたんいけい）とは、主に[[物理学]]で用いられる、普遍的な[[物理定数]]を基準として定義される[[単位系]]の種別、あるいはそのようなもののうち特定の単位系を指す言葉である。（種別としての）自然単位系の例としては、[[幾何学単位系]]や[[プランク単位系]]などが存在する。

例えば素粒子のような非常に小さく、かつエネルギーに満ちた過程を研究する際、[[MKS単位系|MKS]]や[[CGS単位系|CGS]]のような人間サイズの単位系はもはや自然ではない<ref group="引用">{{行内引用|The ''MKS'' and ''cgs'' systems are convenient, practical systems for most macroscopic applications. When we leave the scale of human dimensions to study very small sizes and very energetic processes, they are no longer so natural.|lang=en-us}}{{Harv|Jaffe|2007|p=8}}</ref>。他方、[[光速|光速度]]や[[プランク定数]]のような物理定数はそれぞれの次元（[[速度]]および[[作用 (物理学)|作用]]）について自然なスケールを我々に提供する。これを利用したものが自然単位系であり、結果として様々な方程式が自然単位系の下で簡素化された表示を持つ。

== 自然単位系と呼ばれる単位系 ==
[[特殊相対性理論#指導原理|光速度不変の原理]]や[[万有引力|万有引力の法則]]（あるいは[[アインシュタイン方程式]]）などによって、一部の物理定数は宇宙のどのような場所においても不変であることが分かっている。これらの物理定数の単位は様々な値を取るが、組み合わせることで長さ・質量・時間などの基本的な物理量を表現できることがある。

例えば、物理定数として光速度 {{Mvar|c}}・プランク定数 {{Mvar|h}}・万有引力定数 {{Mvar|G}} を考える。それぞれの単位はm·s<sup>-1</sup> (速度)、m<sup>2</sup>·kg·s<sup>-1</sup> ([[作用 (物理学)|作用]])、m<sup>3</sup>·kg<sup>-1</sup>·s<sup>-2</sup> であるため、これらを次のように組みあわせると距離・質量・時間を単位に持つ値が得られる<ref>{{Harvp|小谷|2022|loc=第5章}}。文献中では[[ディラック定数]]ではなくプランク定数を使用していたため、プランク単位系などの諸単位系とは定数 (<math display="inline">\sqrt{2\pi}</math>) 倍の誤差が生じている。</ref>。

* <math display="inline">\sqrt{\frac{Gh}{c^3}}\fallingdotseq4\times 10^{-35}\,\mathrm{m}</math>
* <math display="inline">\sqrt{\frac{Gh}{c^5}}\fallingdotseq 1\times 10^{-43}\,\mathrm{s}</math>
* <math display="inline">\sqrt{\frac{ch}{G}}\fallingdotseq 0.05\,\mathrm{mg}</math>

これらを距離・時間・質量の基本単位とすると、それぞれの物理定数は単なる組立単位となり、すなわち値を1と見なせる。例えば、速度の基本単位は<math display="inline">\sqrt{\tfrac{Gh}{c^3}}\div\sqrt{\tfrac{Gh}{c^5}}=c</math> となるため、光速それ自体が速度の基本単位となる。

=== 量子力学 ===
{{Harvp|Jaffe|2007}} において自然単位系は、光速度 {{Mvar|c}}・[[ディラック定数|換算プランク定数]] {{hbar}}・[[電子ボルト]] {{Math|eV}} を基本単位とする。このとき、CGSの基本単位は以下のように表される。
{| class="wikitable"
!CGS単位
!数値
!自然単位
|-
|[[秒]]
|{{Val|1.51926689|e=15}}
|{{hbar}}·{{Math|eV<sup>－1</sup>}}
|-
|[[センチメートル]]
|{{Val|5.06772886|e=4}}
|{{hbar}}·{{Mvar|c}}·{{Math|eV<sup>－1</sup>}}
|-
|[[グラム]]
|{{Val|5.60958616|e=32}}
|{{Math|eV·''c''<sup>－2</sup>}}
|}
実際は、さらに簡単のために光速度および換算プランク定数は表示されない（つまり1とみなす）。結果として、力学的な物理単位がすべて電子ボルトの冪で表現される。例えば[[電子]]の質量 <math display="inline">m_e</math> について、自然単位系においては <math display="inline">m_e\simeq0.5110\;{\mathrm{MeV}}</math> と表現される。

=== 素粒子物理学 ===
{{Harvp|Korytov|2008}} における自然単位系は、光速度 {{Mvar|c}}・換算プランク定数 {{hbar}} に加えて[[電気定数|真空の誘電率]] {{Math|ε<sub>0</sub>}} を1とする。物理量の単位は量子力学の場合と同様にエネルギーの冪によって表す。<math display="inline">c^2=\frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}</math> の関係式から、[[磁気定数|真空の透磁率]] {{Math|μ<sub>0</sub>}}も1であることがわかる。

真空の誘電率を1とするとき、[[無次元量]]である[[微細構造定数]] {{Mvar|α}} に関する式 <math display="inline">\alpha=\tfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}</math> から、[[電気素量]] {{Mvar|e}} は無次元の値<math display="block">e=\sqrt{4\pi\alpha}\fallingdotseq0.30282</math>を持つ。ここから、自然単位系における電荷の基本単位が <math display="inline">\tfrac{1.602176634\times10^{-19}}{0.30282}\fallingdotseq5.2909\times10^{-19}\;{\scriptstyle[\mathrm{C}]}</math> となることを得る<ref name=":0">{{Harvp|Myers|2016|pp=2–3}}</ref>。
{| class="wikitable"
|+単位の換算<ref name=":0" />
!物理量
!自然単位系
!係数
!国際単位系
|-
|質量
|{{Val|1|u=GeV}}
|<math display="inline">c^{-2}</math>
|{{Val|1.7827|e=-27|u=kg}}
|-
|長さ
|{{Val|1|u=GeV<sup>－1</sup>}}
|<math display="inline">\hbar c</math>
|{{Val|1.9733|e=-16|u=m}}
|-
|時間
|{{Val|1|u=GeV<sup>－1</sup>}}
|<math display="inline">\hbar</math>
|{{Val|6.5823|e=-25|u=s}}
|-
|速度
|1 (無次元量)
|<math display="inline">c</math>
|{{Val|2.9979|e=8|u=m/s}}
|-
|角運動量
|1 (無次元量)
|<math display="inline">\hbar</math>
|{{Val|1.0546|e=-34|u=J.s}}
|-
|力
|{{Val|1|u=GeV<sup>2</sup>}}
|<math display="inline">(\hbar c)^{-1}</math>
|{{Val|8.1194|e=5|u=N}}
|-
|電荷
|1 (無次元量)
|
|{{Val|5.2909|e=-19|u=C}}
|}
=== 宇宙論 ===
{{Harvp|Myers|2016}} によると、宇宙論において使われている自然単位系では光速度 {{Mvar|c}}・換算プランク定数 {{hbar}}・真空の誘電率 {{Math|ε<sub>0</sub>}}・[[ボルツマン定数]] {{Math|''k''<sub>''B''</sub>}} を1とする。これまでと同様に、物理量はエネルギー（ギガ電子ボルト {{Math|GeV}}）の冪で表す。

== 自然単位系に用いられる物理定数の候補 ==

以下のような物理定数が自然単位系によく用いられる。これらのうち次元が独立な5つを選んで正規化すれば（つまり1にすれば）、質量・長さ・時間・電荷・エントロピーから組み立てられる任意の物理量を含む単位系を作ることができる。このとき、次元が独立でない物理定数（たとえば次元が同じ電子の質量と陽子の質量）を選ぶことはできない。

{| class="wikitable" style="background-color: #ffffff"
! 定数
! 記号
! 次元
|- 
| [[真空中の光速度]]
| align="center" | {{mvar|c}}
| [[長さ|L]][[時間|T]]<sup>−1</sup>
|-
| [[重力定数]]
| align="center" | {{mvar|G}}
| [[質量|M]]<sup>−1</sup>L<sup>3</sup>T<sup>−2</sup>
|-
| 重力定数の4π倍
| align="center" | {{mvar|4πG}}
| M<sup>−1</sup>L<sup>3</sup>T<sup>−2</sup>
|-
| [[換算プランク定数]]（ディラック定数）
| align="center" | <math>\hbar</math>
| ML<sup>2</sup>T<sup>−1</sup>
|-
|[[真空の誘電率]]
| align="center" | <math> \epsilon_0 </math>
| [[電荷|Q]]<sup>2</sup> M L<sup>-3</sup> T<sup>2</sup>
|-
|[[クーロンの法則|クーロン力学定数]]
| align="center" | <math> \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} </math>
| Q<sup>−2</sup> M L<sup>3</sup> T<sup>−2</sup>
|-
| [[素電荷]]
| align="center" | {{mvar|e}}
| Q
|-
| [[電子の静止質量]]
| align="center" | {{math|''m''{{sub|e}}}}
| M
|-
| [[陽子]]の静止質量
| align="center" | {{math|''m''{{sub|p}}}}
| M
|-
| [[ボルツマン定数]]
| align="center" | {{mvar|k}}
| ML<sup>2</sup>T<sup>−2</sup>[[熱力学温度|Θ]]<sup>−1</sup>
|-
| [[ボーア半径]]
| align="center" | {{math|''a''{{sub|0}}}}
| L
|}

== 主な自然単位系 ==
{| class="wikitable"
!単位系
!基本単位
|-
|[[プランク単位系]]
|<math display="inline">c,\hbar,G,k_B</math>
|-
|(プランク単位系の拡張)
|<math display="inline">c,\hbar,G,k_B,k_{\mathrm{e}}</math>
|-
|[[幾何学単位系]]
|<math display="inline">c,G,\mathrm{m}</math>
|-
|[[原子単位系|ハートリー原子単位系]]
|<math display="inline">e,m_{\mathrm{e}},\hbar,a_0</math>
|-
|ストーニー単位系
{{Enlink|Stoney units|3=en}}
|<math display="inline">c,G,k_{\mathrm{e}},e</math>
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 引用 ===
<references group="引用" />

=== 出典 ===
<references />

=== 参考文献 ===

* {{Cite web |url=https://stuff.mit.edu/afs/athena/course/8/8.06/spring08/handouts/units.pdf |title=Natural Units and the Scales of Funcdamental Physics |access-date=2023-03-11 |publisher=MIT Department of Physics |last=Jaffe |first=R.L. |year=2007 |ref=harv}}
* {{Cite web |url=http://www.phys.ufl.edu/~korytov/phz5354/note_01_NaturalUnits_SMsummary.pdf |title=Introduction to Elementary Particle Physics |access-date=2023-03-12 |publisher=[[フロリダ大学|University of Florida]] |last=Korytov |first=Andrey |year=2008 |ref=harv}}
* {{Cite web |url=https://www.seas.upenn.edu/~amyers/NaturalUnits.pdf |title=Natural System of Units in General Relativity |access-date=2023-03-12 |publisher={{Enlinkm|Penn Engineering}} |last=Myers |first=Alan L. |ref=harv |year=2016}}
* {{Cite book|和書 |title=物理の4大定数　宇宙を支配するc、G、e、h |date=2022-07-27 |publisher=幻冬舎 |author=小谷太郎 |isbn=978-4-344-98661-9 |ref={{Harvid|小谷|2022}}}}

== 関連項目 ==
* [[次元解析]]
* [[物理定数]]
* {{仮リンク|N体単位系|en|N-body units|label=}}

{{physics-stub}}

{{SI units navbox}}

{{DEFAULTSORT:しせんたんいけい}}
[[Category:自然単位系|*]]