自然数のソースを表示

[[File:Numbers_grid_in_NY.jpg|thumb|right|自然数の例]]
'''自然数'''（しぜんすう、{{lang-en-short|''natural number''}}）とは、個数もしくは順番を表す一群の[[数]]のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える[[基数]]のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す[[順序数]]のうちで有限のものであると考えることもできる。
[[File:Three_apples(1).svg|thumb|right|自然数は数えることに使用できる (リンゴ1個、リンゴ2個、リンゴ3個など)。]]
自然数を [[1]], [[2]], [[3]], … とする流儀と、[[0]], [[1]], [[2]], [[3]], … とする流儀があり<ref>{{harvtxt|ラッセル|1954|p=11}} は「この數列〔自然數列〕を1ではなく0から始める人は、多少とも數學的敎養の高い人である」と書いている。</ref>、前者は[[数論]]などでよく使われ、後者は[[集合論]]、[[論理学]]などでよく使われる（詳しくは[[#自然数の歴史と零の地位]]の節を参照）。日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることも多い（より正確には、[[代数学]]では0を含め、[[解析学]]では除外することが多い）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに前者を'''正整数'''、後者を'''非負整数'''と言い換えることによりこの問題を避けることもある。

[[数学基礎論|数学の基礎付け]]においては、自然数の間の[[加法]]についての形式的な[[逆元]]を考えることによって整数を定義する。正の[[整数]]ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も[[可算無限集合]]である。

なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。
[[File:Number-systems.svg|thumb|right|<math>\N</math>は自然数、<math>\Z</math>は[[整数]]、<math>\Q</math>は[[有理数]]、<math>\R</math>は[[実数]]。実数は[[複素数]]（<math>\Complex</math>）に含まれる。]]

== 記法 ==
{{特殊文字|ℕ}}
{{記号文字|ℕ}}
自然数全体の成す集合は普通 Natural number の頭文字をとって '''N''' または <math>\mathbb{N}</math> と表される。

0 を含むかどうかの曖昧さを避けるために、正の整数（0 を含まない）を次のように表すこともある:
* '''N'''<sup>+</sup> (<math>\mathbb{N}^+</math>) または '''N'''<sub>+</sub> (<math>\mathbb{N}_+</math>)
* '''Z'''<sup>+</sup> (<math>\mathbb{Z}^+</math>) または '''Z'''<sub>+</sub> (<math>\mathbb{Z}_+</math>) または '''Z'''<sub>&gt; 0</sub> (<math>\mathbb{Z}_{>0}</math>)

また、非負整数（0 を含む）を表すのに、次の記法が使われることもある:
* '''N'''<sup>0</sup> (<math>\mathbb{N}^0</math>) または '''N'''<sub>0</sub> (<math>\mathbb{N}_0</math>)
* '''Z'''<sup>+</sup><sub>0</sub> (<math>\mathbb{Z}^+_0</math>) または '''Z'''<sub>≥ 0</sub> (<math>\mathbb{Z}_{\geq0}</math>)
* '''Z'''<sup>+</sup> (<math>\mathbb{Z}^+</math>) または '''Z'''<sub>+</sub> (<math>\mathbb{Z}_+</math>) はこちらの意味でも使われる

== 自然数の歴史と零の地位 ==
自然数は「ものを数える言葉」を起源とし、1 から始まる正の数であったと推定されている。文明が起こり、数字が考え出されたとき、[[ローマ数字]]、[[ギリシア数字]]、[[エジプト数字]]、バビロニア数字、[[マヤ数字]]、[[漢数字]]、等のどれもが1から始まる正の数字であった。つまり、「物がある」という概念を量的に表そうとしたのが数であり、「物がない」という概念は「無い」という言葉で充分だった。

最初の大きな進歩は、数を表すための[[記数法]]の発明であり、これで大きな数を記録することが出来るようになった。[[古代エジプト]]人は 1 から百万までの 10 の累乗それぞれに異なる[[ヒエログリフ]]を割り当てる記数法を用いていた。[[バビロニア]]では、数字を離して表記することでその桁が 0 であることを示す[[六十進法]]の[[位取り記数法]]に似た方法が開発された。しかし、0 を表す文字がなかったため、例えば 10203 は 0 を空白にして "1 2 3" と正しく表記できるが、10200 は "1 2" となって 102 と区別できない欠点があった。[[オルメカ]]と[[マヤ]]の文明では[[紀元前1世紀]]までには、数字を離して 0 の桁を表す方法が独立に用いられていた。

[[抽象]]的な概念としての数の体系的な最初の研究は、[[古代ギリシア]]においてなされ、[[数論]]が高度にまで発達した。古代ギリシアの数学者[[エウクレイデス]]が編纂した『[[原論]]』の第7巻の冒頭で数の定義がなされている<ref>{{Harv|ユークリッド|1971|p=149}}</ref>。
#単位とは存在するもののおのおのがそれによって 1 とよばれるものである。
#数とは単位から成る多である。
これは定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できる。すなわち、任意に与えた線分の長さを単位として 1 を定義する。そして、その線分を延長した直線上で単位を半径とする長さをコンパスで測り、その直線上でその単位を半径とする円との交点を作図し、その円の直径を 2 と定義する。同様にその直線上で円の直径に半径を繋いだ線分を作図し、その線分の長さを 3 と定義する。したがって、1 は数ではなく単位であり、2, 3, 4, …が数になるため、古代ギリシア人は 1 を数として認識しなかったと言える。

1世紀頃、無名の[[インド]]人によって、初めて 0 を使った完全な位取り記数法が発明された。彼は[[ソロバン]]とよく似たビーズ玉計算機で計算していたとき、数のない桁を 0 で書いて、ビーズ玉計算機上の各桁の数をそのまま並べて書き表すと、計算結果を素早く書き残せることに気づいた。この 0 は、インド人の言葉で空（から）の意味を表す「スーニャ」と呼ばれた。こうしてできた記数法は、数の記録と計算に一大革命をもたらす大発明となった。しかし、ここでの 0 は数としての 0 ではなく、空の桁を表す目印に過ぎないものであった。

数としての 0 の概念は[[628年]]のインド人数学者[[ブラーマグプタ]]によって見出され、現代の 0 の概念と近い計算法が考え出された。

[[19世紀]]、自然数の[[集合論]]的な[[定義]]がなされた。この定義によれば零を自然数に含める方がより便利である。集合論、[[論理学]]などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、[[数論]]などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。どちらの流儀をとるにしろ、通常は著作あるいは論文毎に定義や注釈で明示される。とくに混乱を避けたい場合には、0 から始まる自然数を指すために'''非負整数'''、1 から始まる自然数を指すために'''正整数'''という用語を用いることもよくある。

[[計算機科学]]、特に[[プログラミング]]ではよく 0, 1, 2, … が使われるが、これは[[記憶装置]]（メモリー）の住所（アドレス）の相対位置を表すことが多く、相対位置としては 0, -1, -2, … も処理の中で使われることから、自然数というよりは整数の範疇である。

19世紀のドイツの数学者[[レオポルト・クロネッカー]]が「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、'''自然数'''という用語が定着したとされる<ref>{{Harv|ベル|田中|銀林|1997}}</ref>。

== 形式的な定義 ==
=== 自然数の公理 ===
{{see also|ペアノの公理}}
自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義可能な公理として提示されたものに[[ペアノの公理]]があり（[[1891年]]、[[ジュゼッペ・ペアノ]]）、以下のように自然数を定義することができる。

* 自然数1が存在する。
* 任意の自然数aにはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + ''1'' の 意味）。
* 異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり ''a'' ≠ ''b'' のとき suc(''a'') ≠ suc(''b'') となる。（ある種の[[単射]]性）
* ''1'' はいかなる自然数の後者でもない（''1'' より前の自然数は存在しない）。
* ''1'' がある性質を満たし、''a'' がある性質を満たせばその後者 suc(''a'') もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

最後の公理は、[[数学的帰納法]]を正当化するものである。また、上の公理に現れる数字は ''1'' だけであり、自然数 ''1'' からすべての自然数が作り出されることを意味している。一方、この公理の "''1''" を "''0''" に置き換えれば、自然数 ''0, 1, 2, 3,'' … を作り出せる。

ただし、ペアノの原典においては上とは少し違った形式で公理系が述べられており、ペアノ自身は自然数そのものを定義しようとしたわけではなかった。

[[集合論]]において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
* [[空集合]]を ''0'' と定義する。
*:<math>0 := \emptyset = \{\}.</math>
* 任意の集合 ''a'' の後者は ''a'' と {''a''} の合併集合として定義される。
*:<math>\mathrm{suc}(a) := a \cup \{a\}.</math>
* ''0'' を含み後者関数について閉じている集合のひとつを ''M'' とする。
* 自然数は「後者関数について閉じていて、''0'' を含む ''M'' の部分集合の共通部分」として定義される。

[[公理的集合論|無限集合の公理]]により集合 ''M'' が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。

* <code>0 := {}</code>
* <code>1 := suc(0) = {0} = {{}}</code>
* <code>2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }</code>
* <code>3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }</code>

等々である<ref>{{Harv|von Neumann|1923}}</ref>。

このように定義された集合 ''n'' は丁度（通常の意味で）''n'' 個の元を含むことになる。また、これは[[順序数|有限順序数]]の構成であり、（通常の意味で）''n'' ≤ ''m'' が成り立つことと ''n'' が ''m'' の部分集合であることは同値である。

以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(''a'') と最小値の定義が無限に選べるからである。

例えば、''0'' := {}, suc(''a'') := {''a''} と定義したならば、

* <code>0 := {}</code>
* <code>1 := {0} = {{}}</code>
* <code>2 := {1} = {{{}}}</code>
* <code>3 := {2} = {{{{}}}}</code>

と非常に単純な自然数になる。また、''0'' := {{}}, suc(''a'') := ''a'' ∪ {''a''} と定義したならば、
* <code>0 := {{}}</code>
* <code>1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}</code>
* <code>2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }</code>
* <code>3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }</code>

のような多少複雑な自然数になる。

=== 加法と乗法 ===
自然数の[[加法]]は再帰的に、以下のように定義できる。
* すべての自然数 ''a'' に対して、''a'' + 0 = ''a''
* すべての自然数 ''a'', ''b'' に対して、''a'' + suc(''b'') = suc(''a'' + ''b'')

1 := suc(0) と定義するならば、suc(''b'') = suc(''b'' + 0) = ''b'' + suc(0) = ''b'' + 1 となり、''b'' の後者とは単に ''b'' + 1 のことである。

加法が定義されたならば、自然数の[[乗法]]は再帰的に、以下のように定義できる。
* すべての自然数 ''a'' に対して ''a'' × 0 = 0
* すべての自然数 ''a'', ''b'' に対して ''a'' × suc(''b'') = (''a'' × ''b'') + ''a''

加法、乗法とも (i) 0 に対する演算結果を定義し、(ii) ある自然数 ''b'' に対する演算結果を用いてその次の自然数 suc(''b'') に対する演算結果を定義する、と言う形式になっている。(i), (ii) をあわせることで、あらゆる自然数に対する演算結果が一意に得られることになる（数学的帰納法）。自然数は加法について、0 を単位元とする可換[[モノイド]]になっている。また、乗法についても、1 を単位元とする可換[[モノイド]]になっている。

加法と乗法は以下の法則を満たす。
* [[結合法則]]
** (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')
** (''a'' × ''b'') × ''c'' = ''a'' × (''b'' × ''c'')
* [[交換法則]]
** ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''
** ''a'' × ''b'' = ''b'' × ''a''
* [[分配法則]]
** ''a'' × (''b'' + ''c'') = (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')

以上の法則は加法、乗法の定義から数学的帰納法を用いて証明できる。

慣例として、''a'' × ''b'' は ''ab'' と略記され、乗法は加法より先に計算される。例えば、 ''a'' + ''bc'' という式は ''a'' + (''b'' × ''c'') を意味する。

=== 順序 ===
''a''+''c''=''b'' となる自然数 ''c'' が存在するとき、またそのときに限って、 ''a'' ≤ ''b'' と書いて自然数に対する[[全順序]]を定義する。この順序は自然数の演算に対して次の性質を満たす。
* 任意の自然数 ''a'', ''b'', ''c'' に対して a ≤ b ならば
** ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''
** ''ac'' ≤ ''bc''
順序に関して自然数が持つ重要な性質の一つは、それが[[整列集合]]であるということ、つまり自然数を要素とする空でない任意の集合は必ず最小元を持つということである。

=== 除法 ===
ある自然数を他の自然数で割った結果を自然数として得ることは一般には可能でないが、[[ユークリッド除法|余りつきの除法]]は可能である。任意の二つの自然数 ''a'' と ''b''（ただし、''b'' ≠ 0）に対して次の性質を持つ二つの非負整数 ''q'' と ''r'' が求められる。
:''a'' = ''bq'' + ''r''（ただし ''r'' &lt; ''b''）
''q'' と ''r'' はそれぞれ、''a'' を ''b'' で割った'''商'''と'''余り'''といい、 ''a'' と ''b'' の任意の組み合わせに対して、一意に決まる。この除法は他のいくつかの性質（整除性）、アルゴリズム（[[ユークリッドの互除法]]など）、数論におけるアイデアにおいて鍵となる。

== 特殊な自然数 ==
{{See also|Category:整数の類}}

=== 素数 ===
{{Main|素数}}
自分自身と 1 以外の[[約数]]を持たない 1 より大きな (= 1 以外の)自然数を[[素数]]という。[[素数が無数に存在することの証明|素数が無限に存在することの証明]]は[[エウクレイデス]]の『[[ユークリッド原論|原論]]』に載っている。小さい方から列挙すると次の通りである。
: [[2]], [[3]], [[5]], [[7]], [[11]], [[13]], …
[[メルセンヌ数]]、[[フェルマー数]]も参照。

=== 双子素数 ===
{{Main|双子素数}}
差が 2 であるような素数の組のこと。例えば 3 と 5、41 と 43 などは[[双子素数]]である。双子素数は無限にあるか、という「双子素数の予想」は未解決である。類似の概念に、[[三つ子素数]]、[[いとこ素数]]、[[セクシー素数]]などがある。

=== 完全数 ===
{{Main|完全数}}
[[完全数]]は自分自身を除く[[約数]]の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。
: [[6]], [[28]], [[496]], [[8128]], [[33550336]], [[8589869056]], [[137438691328]], [[2305843008139952128]], …
[[偶数]]の完全数は[[メルセンヌ数]]と深い関係がある。知られている完全数は全て偶数であり、[[奇数]]の完全数はないと予想されている。また、無限に存在するとも予想しているが、両者とも未解決である。類似の概念に、[[友愛数]]、[[社交数]]などがある。

=== 友愛数 ===
{{Main|友愛数}}
[[友愛数]]（親和数とも言う）とは、異なる２つの自然数の組で、自分自身を除いた[[約数]]の和が互いに他方と等しくなるような数のことである。[[220]]と[[284]]、[[1184]]と[[1210]]などが例として挙げられる。
== いくつかの自然数へのリンク == 
{{自然数}}

* [[100]] [[101]] [[102]] [[103]] [[104]] [[105]] [[106]] [[107]] [[108]] [[109]]
* [[100]] [[110]] [[120]] [[130]] [[140]] [[150]] [[160]] [[170]] [[180]] [[190]]
* [[100]] [[200]] [[300]] [[400]] [[500]] [[600]] [[700]] [[800]] [[900]]
* [[10]] [[100]] [[1000]] [[10000]] [[100000]] [[1000000]] [[10000000]] [[100000000]]

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|author=E・T・ベル|others=田中勇・[[銀林浩]] 訳|origyear=1962-1963|date=1997-10|volume=上・下|title=数学をつくった人びと|publisher=[[東京図書]]|id=ISBN 4-489-00528-8 ISBN 4-489-00529-6|ref={{Harvid|ベル|田中|銀林|1997}}}}
**{{Cite book|和書|author=E・T・ベル|others=田中勇・[[銀林浩]] 訳、[[森毅]] 解説|date=2003-09-26|title=数学をつくった人びと|volume=1|series=ハヤカワ文庫 NF 283 〈数理を愉しむ〉シリーズ|publisher=[[早川書房]]|isbn=978-4-15-050283-6|ref={{Harvid|ベル|田中|銀林|2003a}}}}
**{{Cite book|和書|author=E・T・ベル|others=田中勇・[[銀林浩]] 訳、[[吉田武 (サイエンスライター)|吉田武]] 解説|date=2003-10-17|title=数学をつくった人びと|volume=2|series=ハヤカワ文庫 NF 284 〈数理を愉しむ〉シリーズ|publisher=[[早川書房]]|isbn=978-4-15-050284-3|ref={{Harvid|ベル|田中|銀林|2003b}}}}
**{{Cite book|和書|author=E・T・ベル|others=田中勇・[[銀林浩]] 訳、[[秋山仁]] 解説|date=2003-11-19|title=数学をつくった人びと|volume=3|series=ハヤカワ文庫 NF 285 〈数理を愉しむ〉シリーズ|publisher=[[早川書房]]|isbn=978-4-15-050285-0|ref={{Harvid|ベル|田中|銀林|2003c}}}}
*{{Cite book|和書|editor=ハイベア・メンゲ|others=[[中村幸四郎]]・[[寺阪英孝]]・[[伊東俊太郎]]・[[池田美恵]] 訳・解説|title=ユークリッド原論|publisher=[[共立出版]]|ref={{Harvid|ユークリッド|1971}}}} - 全13巻の最初の邦訳。
** （ハードカバー）1971年7月。ISBN 4-320-01072-8
** （縮刷版）1996年6月。ISBN 4-320-01513-4
** （追補版）2011年5月。ISBN 978-4-320-01965-2
*{{Cite book|和書|author=ラッセル|author-link=バートランド・ラッセル|title=数理哲学序説|series=岩波文庫|others=平野智治 訳|publisher=岩波書店|year=1954|ref=harv}}
*{{Citation|last=von Neumann|first=Johann|author-link=ジョン・フォン・ノイマン|year=1923|title=Zur Einführung der trasfiniten Zahlen|journal=Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum|publisher=|pages=199-208|volume=1|url=http://acta.bibl.u-szeged.hu/38552/1/math_001.pdf}}
**{{Citation|last=von Neumann|first=John|author-link=ジョン・フォン・ノイマン|editor=Jean van Heijenoort|origyear=1923|date=January 2002|title=From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931|chapter=On the introduction of transfinite numbers|edition=3rd|publisher=Harvard University Press|pages=346-354|isbn=0-674-32449-8|von Neumann|1923}} - {{Harv|von Neumann|1923}}の英訳。

== 関連文献 ==
*{{Cite book|和書|author=足立恒雄|authorlink=足立恒雄|date=2002-01-20|title=数　体系と歴史|publisher=[[朝倉書店]]|isbn=4-254-11088-X|ref={{Harvid|足立|2013}}}}
*{{Cite book|和書|author=足立恒雄|date=2011-6|title=数とは何か　そしてまた何であったか|publisher=[[共立出版]]|isbn=978-4-320-01971-3|ref={{Harvid|足立|2011}}}}
*{{Cite book|和書|author=足立恒雄|year=2013-04-08|title=フレーゲ・デデキント・ペアノを読む　現代における自然数論の成立|publisher=[[日本評論社]]|isbn=978-4-535-78697-4|ref={{Harvid|足立|2013}}}}
*{{Cite book|和書|author=足立恒雄|title=数の発明|date=2013-12-20|series=岩波科学ライブラリー 219|publisher=[[岩波書店]]|isbn=978-4-00-029619-9|ref={{Harvid|足立|2013b}}}}
*{{Cite book|和書|author=彌永昌吉|authorlink=彌永昌吉|date=1972-03-25|title=数の体系|series=岩波新書（青版）815|volume=（上）|publisher=[[岩波書店]]|isbn=978-4-00-416001-4|ref={{Harvid|彌永|1972}}}}
*{{Cite book|和書|author=彌永昌吉|date=1978-04-20|title=数の体系|series=岩波新書（黄版）43|volume=（下）|publisher=岩波書店|isbn=978-4-00-420043-7|ref={{Harvid|彌永|1978}}}}
*{{Cite book|和書|author=チャールズ・サイフェ|others=[[林大]] 訳|date=2003-10|title=異端の数ゼロ　数学・物理学が恐れるもっとも危険な概念|publisher=早川書房|isbn=978-4-15-208524-5|ref={{Harvid|サイフェ|林|2003}}}}
**{{Cite book|和書|author=チャールズ・サイフェ|others=[[林大]] 訳|date=2009-05-08|title=異端の数ゼロ　数学・物理学が恐れるもっとも危険な概念|series=ハヤカワ文庫 NF 349 〈数理を愉しむ〉シリーズ|publisher=早川書房|isbn=978-4-15-050349-9|ref={{Harvid|サイフェ|林|2009}}}}
*{{Cite book|和書|author=島内剛一|authorlink=島内剛一|origdate=1971-03-30|date=2008-12|title=数学の基礎|series=日評数学選書|publisher=[[日本評論社]]|isbn=978-4-535-60106-2|ref={{Harvid|島内|2008}}}} - [[2008年]]に復刊された。
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|authorlink=高木貞治|year=1996-12-10|title=近世数学史談・数学雑談|chapter=6. 自然数論|edition=復刻版|publisher=[[共立出版]]|pages=234-274|isbn=4-320-01551-7|ref={{Harvid|高木|1970}}}}
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|origdate=1949-08-20|date=1970-09-19|title=数の概念|edition=改版|publisher=[[岩波書店]]|isbn=4-00-005153-9|ref={{Harvid|高木|1970}}}}
**{{Cite book|和書
|author=高木貞治
|others=[[秋山仁]] 解説
|date=2019-10-17
|title=数の概念
|series=[[ブルーバックス]] B-2114
|publisher=[[講談社]]
|isbn=978-4-065-17067-0
|ref={{Harvid|高木|2019}}
}}
*{{Citation
|last=Dedekind
|first=Richard
|author-link=リヒャルト・デーデキント
|origyear=1901
|date=1963-06-01
|title=Essays on the Theory of Numbers
|publisher=Dover Publications
|edition=Paparback
|series=Dover Books on Mathematics
|isbn=978-0-486-21010-0
}}
**{{Cite book|和書|author=デーデキント|authorlink=リヒャルト・デーデキント|translator=[[河野伊三郎]]|date=1961-11-16|title=数について――連続性と数の本質――|series=岩波文庫 青924-1|publisher=岩波書店|isbn=978-4-00-339241-6|ref={{Harvid|デーデキント|1961}}}}
**{{Cite book|和書|author=リヒャルト・デデキント|others=渕野昌 訳・解説|date=2013-07-10|title=数とは何かそして何であるべきか|series=ちくま学芸文庫 テ9-1 Math & Science|publisher=[[筑摩書房]]|isbn=978-4-480-09547-3|ref={{Harvid|デデキント|2013}}}} - 「数とは何かそして何であるべきか？」・「連続性と無理数」を収録。
*{{Cite book|和書|author=フレーゲ|authorlink=ゴットロープ・フレーゲ|editor=野本和幸|editor-link=野本和幸|date=2000-09-20|title=算術の基本法則|series=フレーゲ著作集3|publisher=[[勁草書房]]|isbn=4-326-14822-5|ref={{Harvid|フレーゲ|野本|2000}}}} - 歴史的著作。抄訳。
*{{Cite book|和書|author=ジュゼッペ・ペアノ|authorlink=ジュゼッペ・ペアノ|others=小野勝次・梅沢敏郎 訳・解説|date=1969-08-30|title=数の概念について|series=現代数学の系譜 2|publisher=共立出版|isbn=978-4-320-01155-7|ref={{Harvid|ペアノ|1969}}}}
*{{Cite book|和書|author=保江邦夫|authorlink=保江邦夫|date=2002-12-20|title=数の論理　マイナスかけるマイナスはなぜプラスか？|series=ブルーバックス B-1397|publisher=[[講談社]]|isbn=4-06-257397-0|ref={{Harvid|保江|2002}}}}
*{{Citation|last=Landau|first=Edmund|authorlink=エトムント・ランダウ|year=2001|title=Foundations of Analysis|edition=Reprint|publisher=Chelsea Pub Co.|isbn=0-8218-2693-X}}
**{{Cite book|和書
|author=エトムント・ランダウ
|translator=蟹江幸博
|date=2014-01
|title=数の体系　解析の基礎
|series=数学クラシックス 第28巻
|publisher=丸善出版
|isbn=978-4-621-08713-8
|ref={{Harvid|ランダウ|2014}}
}}

== 関連項目 ==<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
*{{仮リンク|完全数の一覧|en|List of perfect numbers}}
*[[奇数]]
*[[偶数]]
*[[ゴットロープ・フレーゲ]]
*[[ジュゼッペ・ペアノ]]
*[[ジョン・フォン・ノイマン]]
*[[数論]]
*[[整数]]
*[[リヒャルト・デデキント]]
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== 外部リンク ==
* [[小学館]] 日本大百科全書[https://archive.today/lA1fw#selection-217.0-223.1 『自然数』]- [[Yahoo!百科事典]] ([[archive.today]] へのリンク)
*{{Kotobank|自然数|2=世界大百科事典 第2版}}
*{{MathWorld|title=Natural Number|urlname=NaturalNumber}}
*{{OEIS|A000027}}

{{数の体系}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しせんすう}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:数]]
[[Category:数論]]
[[Category:整数|*]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]