自由代数のソースを表示

{{Otheruses|環論における自由代数|[[普遍代数学]]におけるより一般の自由な代数系|{{仮リンク|自由対象|en|free object}}}}
[[数学]]、とくに[[環論]]という[[抽象代数学]]の分野において、'''自由代数'''（じゆうだいすう、{{lang-en-short|free algebra}}）は[[多項式環]]の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は'''自由可換代数''' (free commutative algebra) と見ることができる（[[多項式環#多項式環の普遍性]]参照）。

==定義==
[[可換環]] {{mvar|R}} に対し、{{mvar|n}} [[不定元]] {{math|{{mset|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}}}} 上の自由（[[結合的]][[単位的環|単位的]]）[[環上の多元環|代数]]とは、[[アルファベット (計算機科学)|アルファベット]] {{math|{{mset|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}}}} 上のすべての[[語 (数学)|語]]（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ[[自由加群|自由 {{mvar|R}} 加群]]である。この {{mvar|R}} 加群は積を以下のように定義して {{mvar|R}} 代数となる：2つの基底元の積は対応する語の[[文字列結合|結合]]
:<math>\left(X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_m}\right) \cdot \left(X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_n}\right) = X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_m}X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_n},</math>
であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される（なぜならば {{mvar|R}} 代数における積は {{mvar|R}} 双線型でなければならないからである）。この {{mvar|R}} 代数は {{math|''R''&lang;''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''&rang;}} と書かれる。この構成は不定元の任意の集合 {{mvar|X}} に容易に一般化できる。つまり、任意の集合 {{math|1=''X'' = {{mset| ''X{{sub|i}}'' | ''i'' &isin; ''I'' }}}} に対して、{{mvar|X}} 上の自由（結合的単位的{{mvar|R}}-代数は
:<math>R\langle X\rangle:=\bigoplus_{w\in X^\ast}R w</math>
に語の積が結合となる {{mvar|R}}-双線型な積が入ったものである、ただし {{math|''X''*}} は {{mvar|X}} 上の[[モノイド#自由モノイド|自由モノイド]]（すなわちアルファベット {{mvar|X{{sub|i}}}} 上の語すべてからなるモノイド）を表し、<math>\oplus</math> は外部[[加群の直和|直和]]を表し、{{mvar|Rw}} は1元、語 {{mvar|w}} 上の[[自由加群|自由 {{mvar|R}} 加群]]を表す。

例えば、{{math|''R''&lang;''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>,''X''<sub>3</sub>,''X''<sub>4</sub>&rang;}} において、スカラー {{math|''α'', ''β'', ''γ'', ''δ'' ∈ ''R''}} に対して、2元の積の具体例は <math>(\alpha X_1X_2^2 + \beta X_2X_3)\cdot(\gamma X_2X_1 + \delta X_1^4X_4) = \alpha\gamma X_1X_2^3X_1 + \alpha\delta X_1X_2^2X_1^4X_4 + \beta\gamma X_2X_3X_2X_1 + \beta\delta X_2X_3X_1^4X_4</math> である。

自由 {{mvar|R}}-代数 {{math|''R''&lang;''X''&rang;}} は自由モノイド {{math|''X''*}} の {{mvar|R}} 上の[[モノイド環]] {{math|''R''[''X''*]}} と同一視できる。

==多項式との対照==
アルファベット {{math|{{mset|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}}}} 上の語全体は {{math|''R''&lang;''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''&rang;}} の基底をなすから、{{math|''R''&lang;''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''&rang;}} の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである：

:<math>\sum\limits_{i_1,i_2, \cdots ,i_k\in\left\lbrace 1,2, \cdots ,n\right\rbrace} a_{i_1,i_2, \cdots ,i_k} X_{i_1} X_{i_2} \cdots X_{i_k},</math>

ただし <math>a_{i_1,i_2,...,i_k}</math> は {{mvar|R}} の元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜ {{math|''R''&lang;''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''&rang;}} の元が「変数」（あるいは「不定元」{{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する；元 <math> a_{i_1,i_2,...,i_k}</math> はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、{{mvar|R}} 代数 {{math|''R''&lang;''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''&rang;}} は「{{mvar|R}} 上の {{mvar|n}} 不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の[[多項式環]]とは異なり、変数たちは[[可換]]ではないことに注意。例えば {{math|''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub>}} は {{math|''X''<sub>2</sub>''X''<sub>1</sub>}} と等しくない。

より一般に、任意の[[生成 (数学)|生成元]]の集合 {{mvar|E}} 上の自由代数 {{math|''R''&lang;''E''&rang;}} を構成することができる。環は {{math|'''Z'''}} 代数と見なすことができるから、{{mvar|E}} 上の'''自由環''' (free ring) は自由代数 {{math|'''Z'''&lang;''E''&rang;}} として定義できる。

[[可換体|体]]上では {{mvar|n}} 不定元の自由代数は {{mvar|n}} 次元[[ベクトル空間]]上の[[テンソル代数]]として構成できる。より一般の係数環に対しては、{{mvar|n}} 生成元の[[自由加群]]を取ることで同じ構成ができる。

{{mvar|E}} 上の自由代数の構成は本来[[関手]]的であり、適切な[[普遍性]]を満たす。自由代数関手は {{mvar|R}} 代数の圏から[[集合の圏]]への[[忘却関手]]の[[左随伴]]である。

[[可除環]]上の自由代数は{{仮リンク|自由イデアル環|en|free ideal ring}}である。

==関連項目==

*{{仮リンク|余自由余代数|en|Cofree coalgebra}}
*[[テンソル代数]]
*{{仮リンク|自由対象|en|Free object}}
*[[非可換環]]
*{{仮リンク|Rational series|en|Rational series}}

==参考文献==
{{参照方法|date=2023年12月|section=1}}
* {{cite book | last1=Berstel | first1=Jean | last2=Reutenauer | first2=Christophe | title=Noncommutative rational series with applications | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=137 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2011 | isbn=978-0-521-19022-0 | zbl=1250.68007 }}
* {{SpringerEOM|title=Free associative algebra|author=L.A. Bokut'|urlname=Free_associative_algebra}}

{{DEFAULTSORT:しゆうたいすう}}
[[Category:多元環]]
[[Category:環論]]
[[Category:自由代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]