自由加群のソースを表示

[[数学]]において、'''自由加群'''(じゆうかぐん、{{lang-en-short|free module}}) とは、[[加群の圏]]における{{仮リンク|自由対象|en|Free object}}である。集合 {{mvar|E}} が与えられたとき、{{mvar|E}} 上の自由加群とは {{mvar|E}} を[[#定義|基底]] にもつ自由加群である。たとえば、すべての[[ベクトル空間]]は自由であり<ref>Keown (1975), {{Google books quote|id=hC9iTw8DO7gC|page=24|text=Every vector space is free|p. 24}}</ref>、[[集合]]上の自由ベクトル空間は集合上の自由加群の特別な場合である。任意の加群はある自由加群の準同型像である。

== 定義 ==
{{mvar|R}}-[[環上の加群|加群]] {{mvar|M}} について、集合 {{math|''E'' &sub; ''M''}} が {{mvar|M}} の'''基底'''であるとは、次の2条件を満たすことである。
# {{mvar|E}} は {{mvar|M}} を生成する。すなわち、{{mvar|M}} の任意の元は {{mvar|E}} の元に {{mvar|R}} の[[線型結合|係数をかけたものの有限和]]である。
# {{mvar|E}} は一次独立である。すなわち、任意の {{mvar|E}} の互いに異なる有限個の元 <math>e_1, e_2, \dotsc , e_n</math> に対して <math>r_1 e_1 + r_2 e_2 + \dotsb + r_n e_n = 0_M</math> であれば、<math>r_1 = r_2 = \dotsb = r_n = 0_R</math> となる。（ただし {{math|0{{sub|''M''}}}} は {{mvar|M}} の零元で、{{math|0{{sub|''R''}}}} は {{mvar|R}} の零元である。）

{{mvar|R}}-[[環上の加群|加群]] {{mvar|M}} が基底をもつとき、{{mvar|M}} は'''自由加群'''であるという<ref>Hazewinkel (1989), {{Google books quote|id=s9F71NJxwzoC|page=110|text=A free module is a module with a basis|p. 110}}</ref>。

{{mvar|R}} が [[invariant basis number|基底数一定性質]] (IBN) をもてば、定義によって任意の2つの基底は同じ濃度をもつ。勝手な（したがってすべての）基底の濃度を自由加群 {{mvar|M}} の'''ランク'''（'''階数'''）と言い、濃度が有限ならば、{{mvar|M}} を'''ランク {{mvar|n}} の自由加群'''、あるいは単に'''有限ランクの自由加群'''と言う。

(2) から直ちにわかることだが、(1) の係数はすべての {{mvar|x}} について一意的である。

無限自由基底の定義は、{{mvar|E}} が無限に多くの元をもつことを除いて、同様である。しかしながら、和は有限であり、どの {{mvar|x}} についても {{mvar|E}} の有限個の元しか含まれない。

基底が無限のとき、{{mvar|M}} のランクは {{mvar|E}} の[[濃度 (数学)|濃度]]である。

== 構成 ==

集合 {{mvar|E}} が与えられたとき、{{mvar|E}} 上の自由 {{mvar|R}}-加群を作ることができる。それは単純に {{mvar|R}} の[[濃度 (数学)|{{math|{{abs|''E''}}}}]] 個のコピーの[[直和]]であり、しばしば {{math|''R''{{sup|(''E'')}}}} と表記される。この直和を {{math|''C''(''E'')}} と表記し、具体的に構成しよう。
* '''台集合：''' {{math|''C''(''E'')}} は次のような関数からなる。{{math|''f'': ''E'' → ''R''}} であって、[[補有限|有限個を除くすべて]]の {{math|''x'' ∈ ''E''}} に対して {{math|1=''f''(''x'') = 0}} である。
* '''加法：''' 2つの元 {{math|''f'', ''g'' ∈ ''C''(''E'')}} に対し、{{math|''f'' + ''g'' ∈ ''C''(''E'')}} を {{math|1=(''f'' + ''g'')(''x'') = ''f''(''x'') + ''g''(''x''), (∀''x'' ∈ ''E''}} で定義する。
* '''反元：''' {{math|''f'' ∈ ''C''(''E'')}} に対し、{{math|(&minus;''f'') ∈ ''C''(''E'')}} を {{math|1=(&minus;''f'')(''x'') = &minus;(''f''(''x'')), (∀''x'' ∈ ''E''}} で定義する。
* '''スカラー倍：''' {{math|''α'' ∈ ''R'', ''f'' ∈ ''C''(''E'')}} に対し、{{math|''αf'' ∈ ''C''(''E'')}} を {{math|1=(''αf'')(''x'') = ''α''(''f''(''x'')), (∀''x'' ∈ ''E''}} で定義する。

{{math|''C''(''E'')}} の基底は集合 {{math|{{mset|''δ{{sub|a}}'': ''a'' ∈ ''E''}}}} によって与えられる。ただし
: <math> \delta_a(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x=a; \\ 0, &\text{if } x\neq a \end{cases} </math>
である。（[[クロネッカーのデルタ]]の変形であり、 集合 {{math|{{mset|''a''}}}} の[[指示関数]]の特別な場合である。）

写像 {{math|''ι'': ''E'' → ''C''(''E'')}} を {{math|1=''ι''(''a'') = ''δ{{sub|a}}''}} で定義する。この写像は {{mvar|E}} と基底ベクトル {{math|{{mset|''δ{{sub|a}}''}}{{sub|''a''∈''E''}}}}} の間の全単射を与える。 従ってこれらの集合を同一視できる。よって {{mvar|E}} は {{math|''C''(''E'')}} の線型独立な基底と考えることができる。

== 普遍性 ==

上で定義された写像 {{math|''ι'': ''E'' → ''C''(''E'')}} は次のような意味で[[普遍性|普遍]]的である。
; 自由加群の普遍性
: 任意の {{mvar|R}}-加群 {{mvar|M}} と任意の写像 <math>\varphi\colon E\to M</math> に対して、<math>\varphi = \psi\circ\iota</math> を満たす加群準同型 <math>\psi\colon C(E)\to M</math> が一意的に存在する。
さらに自由加群の構成を[[関手]] <math>C \colon \operatorname{\mathcal{Set}} \to R\operatorname{-\mathcal{Mod}}</math> としてみれば、これは[[忘却関手]] <math>U \colon R\operatorname{-\mathcal{Mod}} \to \operatorname{\mathcal{Set}}</math> の[[左随伴]]であること、つまり[[自然同型]]
:<math> \operatorname{\mathcal{Set}}(E, U(M)) \cong R\operatorname{-\mathcal{Mod}}(C(E), M)</math>
がわかる。

== 一般化 ==

自由加群についての多くのステートメントは、一般の環上の加群については成り立たないが、自由加群のある種の一般化に対してはなお成り立つ。[[射影加群]]は自由加群の直和因子なので、自由加群への単射が存在し、その基底を射影加群に関する何らかの証明で使うことができる。より弱い一般化として[[平坦加群]]やねじれのない加群がある。平坦加群はテンソル積が完全列を保つという性質をもつ。環が特別な性質をもてば、逆が成り立つことがある。例えば、任意の完全局所デデキント環上のすべてのねじれのない加群は平坦加群、射影加群、自由加群でもある。

[[File:Module properties in commutative algebra.svg|center|Module properties in commutative algebra]]

[[局所環]]、[[完全環]]、[[デデキント環]]を見よ。

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite book | first= Iain T.|last= Adamson | title=Elementary Rings and Modules | series=University Mathematical Texts | publisher=Oliver and Boyd | year=1972 | isbn=0-05-002192-3 | pages=65–66|mr=0345993}}
* {{cite book |last1=Keown |first1=R. |title=An Introduction to Group Representation Theory |series=Mathematics in science and engineering |volume=116 |year=1975 |publisher=Academic Press |location= |isbn=978-0-12-404250-6 |mr=0387387 }}
* {{SpringerEOM | title=Free module | id=Free_module&oldid=13029  | last=Govorov | first=V. E. }}.

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|自由対象|en|Free object}}
* [[射影対象]]
* [[斜体 (数学)|斜体]] - すべての左加群が自由加群となる環

== 外部リンク ==
* {{nlab|id=free+module}}
* {{MathWorld|urlname=FreeModule|title=Free Module}}
* {{PlanetMath|urlname=freemodule|title=free module}}
* {{SpringerEOM|urlname=free_module|title=Free module}}
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{{PlanetMath attribution|id=34196|title=free vector space over a set}}

{{デフォルトソート:しゆうかくん}}
[[Category:環論]]
[[Category:加群論]]
[[Category:自由代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]