自由場のソースを表示

{{要改訳}}
{{場の量子論}}
[[物理学]]では、'''自由場'''とは、[[基本相互作用|相互作用]]のない[[場]]のことを言い、運動項と質量項により記述される。

==記述==
[[古典物理学]]では、'''自由場'''(free field)は、場の[[運動方程式]]が[[線型]][[偏微分方程式]](PDE)によって与えられる場合を言う。そのような線型偏微分方程式は、初期条件を与えられると一意的な解をもつ。

[[場の量子論]]では、[[ワイトマンの公理系|作用素に値を持つ超函数]](operator valued distribution)が'''自由場'''であるということは、同じ古典場（つまり作用素ではない）に対応する同じ線型偏微分方程式の場合があり、[[二次函数|二次多項式]]の[[ラグランジアン (場の理論)|ラグラジアン]]についての[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]となっている線型PDEを満たすような場のことを言う。この超函数の微分を、[[シュワルツ超函数#テスト函数と超函数|テスト函数]]の微分と定義することが可能である。詳細は[[シュワルツ超函数]]を参照。通常の超函数を扱うのではなく、作用素に値を持つ超函数を扱うので、これらの線型PDEは、状態により拘束されているのではなく、代わりに乱された場の間の関係式により記述されている。線型PDEとは別に、作用素も、交換/反交換関係式を満たす。

==正準交換関係==
基本的に、相互作用のある場の[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]は[[ボゾン]]に対して、[[反交換関係]]は[[フェルミオン]]に対して与えられ、双方のテスト函数の上を渡る PDE の（実際は函数ではなく、超函数の）場の{{仮リンク|ペイエールのブラケット|en|Peierls bracket}}(Peierls bracket)の i 倍である。これは{{仮リンク|CCR/CAR代数|en|CCR/CAR algebra}}(CCR/CAR algebra)の形を持っている。

無限自由度を持つ CCR/CAR 代数は、多くの非同値な既約なユニタリ表現を持っている。理論を[[ミンコフスキー空間]]上で定義しようとすると、いつも必要なわけではないが、[[真空状態]]を持っているユニタリな既約表現を選ぶ必要がある。

==例==
φ を作用素に値を持つ超函数とし、（クライン・ゴルドン）偏微分方程式を

:<math>\partial^\mu \partial_\mu \phi+m^2 \phi=0</math>.

とする。これはボゾン場である。この超函数をペイエールのブラケット(Peierls bracket) Δ により与えられた超函数と言う。すると、

:<math>\{\phi(x),\phi(y)\}=\Delta(x;y)</math>

となる。ここに、φ は古典場で {,}（コンマ）ペイエールのブラケットである。

すると、[[正準交換関係]] (CCR) は、

:<math>[\phi[f],\phi[g]]=i\Delta[f,g] \,</math>.

である。Δ が 2つの引数を持つ超函数であるので、乱されることがある。

同じことであるが、次の式も強調しておく。 

:<math>\mathcal{T}\{[((\partial^\mu \partial_\mu+m^2)\phi)[f],\phi[g]]\}=-i\int d^dx f(x)g(x)</math>

ここに <math>\mathcal{T}</math> は[[時間順序積]]作用素で、f と g のサポートは空間的に(spacelike)に分離されていると

:<math>[\phi[f],\phi[g]]=0</math>

となる。
<!---==Example==
Let φ be an operator valued distribution and the (Klein-Gordon) PDE be

:<math>\partial^\mu \partial_\mu \phi+m^2 \phi^2=0</math>.

This is a bosonic field. Let's call the distribution given by the Peierls bracket Δ.

Then,

:<math>\{\phi(x),\phi(y)\}=\Delta(x;y)</math>

where here, φ is a classical field and {,} is the Peierls bracket.
 
Then, the [[canonical commutation relation]] relation is

:<math>[\phi[f],\phi[g]]=i\Delta[f,g] \,</math>.

Note that Δ is a distribution over two arguments, and so, can be smeared as well.

Equivalently, we could have insisted that 

:<math>\mathcal{T}\{[((\partial^\mu \partial_\mu+m^2)\phi)[f],\phi[g]]\}=-i\int d^dx f(x)g(x)</math>

where <math>\mathcal{T}</math> is the [[time ordering]] operator and that if the supports of f and g are spacelike separated,

:<math>[\phi[f],\phi[g]]=0</math>.-->

== 参照項目 ==
*[[正規順序積]]
*[[ブロッホ＝ドミニシスの定理|ウィックの定理]]

==参考文献==
* Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, ''An Introduction to Quantum Field Theory'', Addison-Wesley, Reading, 1995. p19-p29

{{DEFAULTSORT:しゆうは}}
[[Category:場の量子論]]