自由度のソースを表示

{{Otheruses|自然科学・工学用語|その他}}
{{出典の明記|date=2012年8月}}
'''自由度'''（じゆうど、{{lang-en|degree of freedom}}）とは、一般に、[[変数 (数学)|変数]]のうち独立に選べるものの数、すなわち、全変数の数から、それら相互間に成り立つ関係式（束縛条件、拘束条件）の数を引いたものである。数学的に言えば、[[多様体]]の次元である。「自由度1」、「1自由度」などと表現する。

自由度は、[[力学]]、[[機構学]]、[[統計学]]などで使用され、意味は上記の定義に準じるが、それぞれの具体的に示唆する処は異なる。

== 力学 ==
[[力学]]では、系を構成する全[[質点]]の座標のうち、独立に決定できるものの数をいう。

* 1質点：3次元空間での並進が許されている場合、自由度は3である。
* 2[[質点系]]：それぞれの質点が独立に運動する場合、自由度は6である。両者の質量中心を系の代表座標とし、[[重心]]の並進3自由度、重心回りの回転2自由度、重心をはさむ2質点間の相対距離の変化すなわち[[振動]]1自由度によって表現されることが多い。
* [[剛体]]：''n'' 質点系（ただし ''n'' &ge; 3）において、全質点間の[[相対距離]]が不変であるという代数的な拘束条件が課される。このため、系全体の自由度は並進3自由度、回転3自由度の計6自由度となる。平面上に運動が拘束されているならば、並進2自由度、回転1自由度の計3自由度となる。

関連項目：[[統計力学]]、[[エネルギー等配分の法則]]

== 機構学 ==
[[機構学]]においては、機構全体の構造を決定する可動変数の数を指す。機構を構成する[[リンク]]は[[剛体]]とみなされるため力学における定義に準じ、さらにリンクの接点である[[対偶 (機械工学)|対偶]]によって拘束条件が代数的に表現されるため、自由度計算の定式化が比較的容易である。

例えば、平面上において1自由度対偶および2自由度対偶からなる機構の全自由度は次式で表される。

:<math>f = 3(n-1) - 2n_1 - n_2.</math>

ただし ''f'' は自由度、''n'' はリンクの数、''n''<sub>1</sub> は自由度1の対偶の総数、''n''<sub>2</sub> は自由度2の対偶の総数である。また、機構をなすリンクのうち一つは空間に固定されているとする。

例えば、リンクの数が5、自由度1の対偶の総数が5である平面5節閉リンク系の自由度は、

:<math>f = 3 \times (5-1) - 2 \times 5 = 2 </math>

である。

立体構造をとる機構の自由度を表す式は次の通りである。

:<math>f = 6(n-1) - \sum_{i}^{ } (6-i)n_i.</math>

ただし自由度 ''i'' の対偶の総数を ''n<sub>i</sub>'' としている。

移動機構、すなわち[[脚型ロボット]]、[[人工衛星]]などでは、基底となる一つのリンクは空間に固定されておらず、平面の場合3自由度対偶、立体の場合6自由度対偶によって仮想的に[[慣性系]]に結合されていると見なす。さらに、慣性系もリンクの一つに加えられる。例えると、全ての関節が1自由度関節からなり、片腕に7リンク7関節、片脚に6リンク6関節を持つ26関節[[ヒューマノイドロボット]]の場合、胴体リンクと慣性系を加えて全28リンクとなるので、全自由度は、

:<math>f = 6 \times (28-1) - (6-6) \times 1 - (6-1) \times 26 = 32</math>

となる。

また、例えば車輪型移動機構の場合、車輪が路面に対し滑りを生じないならば、代数的な関係で表せない拘束条件（[[非ホロノミック拘束条件]]）が課せられることになる。このため、自由度の計算は単純ではない。

== 熱力学 ==
[[熱力学]]では、[[熱力学的平衡|平衡]]状態で自由にとることのできる[[状態変数]]の数を示す。

一般に、''C'' 成分 ''P'' [[相]]が平衡状態で存在する場合には、自由度 ''F'' は

:<math>F = C - P + 2</math>

という'''[[ギブズの相律]]'''と呼ばれる式で表される。この場合、2 個の状態変数に加え、各成分の割合（から相の数を引いたもの）で状態を記述できる。

例えば、純水が液相のみで存在する場合、1 成分 1 相系であることより、自由度は 2。すなわち 2 個の状態変数（[[温度]]と[[圧力]]、温度と[[体積]]、など）で状態を記述できる。

== 統計学 ==
[[統計学]]では、各種の統計量に関して自由度を定義している。

大きさ ''n'' の標本における観測データ (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') の自由度は ''n'' とする。それらから求めた標本[[平均]] {{overline|''x''}} についても同じ。

[[不偏分散]]
:<math>s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(\bar{x} - x_i)^2}{n-1} </math>
については、
:<math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i </math>
という関係式（ここで {{overline|''x''}} は母集団平均 ''μ'' の推定量である）があるから、自由度は 1 少ない ''n'' − 1 となる。そのため分母には ''n'' − 1 を用いている。

[[日本工業規格]]では、「[[カイ二乗分布]]、[[F分布|''F'' 分布]]、[[t分布|''t'' 分布]]などの[[母数|パラメータ]]」と[[定義]]している{{sfn|JIS Z 8101-1:1999|loc=2.59 自由度}}。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2016年4月}}
* {{Cite book|和書|author=西岡康夫|year=2013|title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計|publisher=[[オーム社]]|isbn=9784274214073}}
* {{Cite book|和書|author=伏見康治|authorlink=伏見康治|year=1942|title=[[確率論及統計論]]|publisher=[[河出書房]]|isbn=9784874720127|url= http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204}}
* {{Cite book|和書|author=日本数学会|authorlink=日本数学会|year=2007|title=数学辞典|publisher=[[岩波書店]]|isbn=9784000803090}}
* {{citation | title=JIS Z 8101-1:1999 統計−用語と記号−第1部：確率及び一般統計用語 | author=日本規格協会 | authorlink=日本規格協会 | url=http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html | ref={{sfnref|JIS Z 8101-1:1999}}}}

== 関連項目 ==
* [[確率]]
** [[確率論]]
* [[統計学]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しゆうと}}
[[Category:統計学]]
[[Category:力学]]
[[Category:対称性]]
[[Category:システム]]
[[Category:数学に関する記事]]