自由粒子のソースを表示

'''自由粒子''' ({{lang-en-short|free particle}}) は[[束縛状態|束縛]]されていない[[粒子]]である。古典力学的には、[[場]]の影響を受けていない ("field-free") [[空間]]に存在する粒子を意味する（粒子は[[外力]]を受けない）。そのため、自由粒子の[[ポテンシャルエネルギー]]はその[[位置]]によらず一定である<ref>[http://electron6.phys.utk.edu/qm1/modules/m1/free_particle.htm A Free Particle]</ref>。

== 古典的自由粒子 ==
[[古典力学]]的な自由粒子は単純に一定の[[速度]]によって特徴付けられる。その[[運動量]]は

:<math>\mathbf{p}=m\mathbf{v}</math>

であり、その[[エネルギー]]は

:<math>E=\frac{1}{2}mv^2</math>

である。ここで、m は粒子の[[質量]]、 v は粒子の速度ベクトルである。

== 非相対論的量子力学自由粒子 ==
非相対論的[[量子力学]]において、初期状態が<math>
\psi_0(\mathbf{x})
</math>である自由粒子の[[シュレーディンガー方程式]]は以下のとおりである：

{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi (\mathbf{x}, t)
=
- \frac{\hbar^2}{2m} \sum_{j=1}^d {\partial^2\over \partial x_j{}^2} \ \psi(\mathbf{x}, t)
</math>　　　　…(1)
}}
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>
\psi(\mathbf{x}, 0) =\psi_0(\mathbf{x})
</math>               …(2)
}}
である。ここで{{Math|1='''''x'''''=(''x''{{sub|1}},...,''x''{{sub|d}})}}は{{Mvar|d}}次元空間{{Math|'''R'''{{sup|''d''}}}}の元であり、{{Math|''m''>0}}は質量を表す定数である。物理的には次元{{Mvar|1=d}}は3とするが、方程式の解法は3以外の{{Mvar|d}}に関しても同様なので、以下{{Mvar|d}}は3とは仮定しない。

=== 絶対可積分な場合 ===

本節では<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
</math>および<math>
\psi_0(\mathbf{x})
</math>
が{{Mvar|'''x'''}}に関して全空間{{Math|'''R'''{{sup|''d''}}}}上での絶対可積分性（＝絶対値の{{Math|'''R'''{{sup|''d''}}}}上[[ルベーグ積分]]が有限値である事）を仮定した上で、(1)、(2)の解を導く。波動関数<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
</math>、<math>
\psi_0(\mathbf{x})
</math>は一般には([[自乗可積分函数|自乗可積分]]ではあっても)絶対可積分とは限らないため、この仮定は常に成り立つわけではない。そこで次節ではこのような仮定を置かない一般の場合の解法を述べる。

==== 解法 ====
仮定より<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
</math>は{{Mvar|'''x'''}}に関して絶対可積分であるので、変数{{Mvar|'''x'''}}に関するフーリエ変換

:<math>
\hat{\psi} (\mathbf{p}, t)
=
{1\over (2\pi)^{d/2}}\int_{\mathbf{R}^d}\mathrm{e}^{-i\mathbf{p}\mathbf{x}/\hbar}\psi(\mathbf{x},t)\mathrm{d}\mathbf{x}
</math>
が定義でき、<math>
\hat{\psi} (\mathbf{p}, t)</math>も可積分である。

(1)、(2)の両辺をフーリエ変換する事で、

:<math>
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \hat{\psi} (\mathbf{p}, t)
=
\frac{|\mathbf{p}|^2}{2m} \ \hat{\psi}(\mathbf{p}, t)

</math>　　　　　　…(1')

:<math>
\hat{\psi}(\mathbf{p}, 0) =\hat{\psi}_0(\mathbf{p})
</math>             　　　　　　…(2')

を得る。ここで<math>
\hat{\psi}_0(\mathbf{p})
</math>は<math>
\psi_0(\mathbf{p})
</math>のフーリエ変換である。

(1')、(2')は容易に解くことができて、

:<math>
\hat{\psi}(\mathbf{p}, t)=\mathrm{exp}\left(-{i \over 2m\hbar}|\mathbf{p}|^2t\right)\hat{\psi}_0(\mathbf{p})

</math>

である。

==== 解 ====
最後に上式を{{Mvar|'''p'''}}に関して逆フーリエ変換して、(1)、(2)の一般解

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>
\psi(\mathbf{x}, t)=\int_{\mathbf{R}^d}\mathrm{exp}\left({i \over \hbar}(\mathbf{p}\mathbf{x}-E(\mathbf{p})t)\right)\hat{\psi}_0(\mathbf{p})\mathrm{d}\mathbf{p}
</math>    …(a)
}}
を得る[[#T09|<sup>T09</sup>]]{{Rp|p205}}。ここで
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>
E(\mathbf{p})={|\mathbf{p}|^2 \over 2m}.
</math>　　　　...(b)
}}
積のフーリエ逆変換が[[畳み込み|畳み込み積]]に対応している事を利用して(a)のフーリエ逆変換を具体的に計算することで、
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
=\left({m \over 2\pi i\hbar t}\right)^{n/2}\int_{\mathbf{R}^d}\mathrm{exp}\left({im|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2 \over 2\hbar t}\right)\psi_0(\mathbf{y})\mathrm{d}\mathbf{y}

</math>    …(c)
}}
と書くこともできる。なお、<math>
\mathrm{exp}\left(-{i \over 2m\hbar}|\mathbf{p}|^2t\right)

</math>が{{Math|'''R'''{{sup|''d''}}}}上の[[ルベーグ積分|可積分]]関数でない関係で(a)から(c)を直接得ることはできず、代わりに<math>
\mathrm{exp}\left(-{i+\varepsilon \over 2m\hbar}|\mathbf{p}|^2t\right)

</math>を考えてフーリエ逆変換した上で、{{Mvar|ε→0}}とする必要がある[[#T09|<sup>T09</sup>]]{{Rp|p206}}。

=== 一般の場合 ===

波動関数<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
</math>および<math>
\psi_0(\mathbf{x})
</math>は一般には([[自乗可積分函数|自乗可積分]]ではあっても)絶対可積分とは限らないため、一般の場合の解を得るには前節の議論を修正する必要がある。

==== 解法 ====
前節との違いはフーリエ変換の定義である。<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
</math>(および<math>
\psi_0(\mathbf{x})
</math>)の全空間<math>
\mathbf{R}^d
</math>上での絶対可積分性を仮定していないため、<math>
\mathbf{R}^d
</math>上のフーリエ積分
:<math>
{1\over (2\pi)^{d/2}}\int_{
\mathbf{R}^d}\mathrm{e}^{-i\mathbf{p}\mathbf{x}/\hbar}\psi(\mathbf{x},t)\mathrm{d}\mathbf{x}
</math>
は一般には意味を持たない。
そこでまず原点中心の半径{{Mvar|r}}の[[球体]]{{Math|''B''(0,''r'')}}上のフーリエ積分
:<math>
{1\over (2\pi)^{d/2}}
\int_{B(0,r)}\mathrm{e}^{-i\mathbf{p}\mathbf{x}/\hbar}\psi(\mathbf{x},t)\mathrm{d}\mathbf{x}
</math>
を考え、この積分のL<sup>2</sup>極限
:<math>\underset{r\to \infty}{\mathrm{l.\!i.\!m}}
{1\over (2\pi)^{d/2}}
\int_{B(0,r)}\mathrm{e}^{-i\mathbf{p}\mathbf{x}/\hbar}\psi(\mathbf{x},t)\mathrm{d}\mathbf{x}
</math>
によりフーリエ変換を定義する[[#新井|<sup>新井</sup>]]{{Rp|page=197}}。
ここでL<sup>2</sup>極限{{Math|l.i.m}}は以下のように定義される:
:<math>
\underset{r\to \infty}{\mathrm{l.\!i.\!m}}~F(r) = A 
\overset{\mathrm{def}}{\iff} \lim_{r\to\infty}\int_{\mathbf{R}^d}|F(r)-A|^2\mathrm{d}r =0.
</math>
なお、波動関数<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
</math>が{{Mvar|'''x'''}}に関して自乗可積分である事から、{{Math|''B''(0,''r'')}}上での<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
</math>の絶対可積分性は保証されるので、{{Math|''B''(0,''r'')}}上のフーリエ積分は意味を持つ。

==== 解 ====
以上の理由により、一般の場合の解は、(a)、(c)の右辺の積分をL<sup>2</sup>極限に置き換えた以下のものとなる[[#T09|<sup>T09</sup>]]{{Rp|p206}}：

{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>
\psi(\mathbf{x}, t)=\underset{r\to \infty}{\mathrm{l.\!i.\!m}}\int_{B(0,r)}\mathrm{exp}\left({i \over \hbar}(\mathbf{p}\mathbf{x}-E(\mathbf{p})t)\right)\hat{\psi}_0(\mathbf{p})\mathrm{d}\mathbf{p}

</math>   　...(a')
}}
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>
\psi(\mathbf{x}, t)
=\left({m \over 2\pi i\hbar t}\right)^{n/2}\underset{r\to \infty}{\mathrm{l.\!i.\!m}}\int_{B(0,r)}\mathrm{exp}\left({im|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2 \over 2\hbar t}\right)\psi_0(\mathbf{y})\mathrm{d}\mathbf{y}

</math>   ...(c')<!--(c)式と対応しているため式番号を(b')ではなく(c')とした-->
}}

ここで{{Math|''E''('''''p''''')}}は(b)で定義されたものである。

== 相対論的自由粒子 ==
[[特殊相対性理論|相対論]]的な自由粒子を記述する方程式はさまざまある。自由粒子解の記述についてはそれぞれの記事を参照のこと。

* [[クライン-ゴルドン方程式]]は荷電または中性、スピンなしの[[相対論的量子力学]]粒子を記述する。

* [[ディラック方程式]]は相対論的電子（荷電、スピン1/2）を記述する。

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
* [[井戸型ポテンシャル]]
* [[デルタポテンシャル]] ([[:en:Delta potential|en]])
* [[波束]] ([[:en:Wave packet|en]])

== 文献 ==
* [T09] {{Cite web|url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf|title=Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrodinger Operators SECOND EDITION+|accessdate=2017年9月13日|author=Gerald Teschl|date=2009/4/1|publisher=[[ウィーン大学]]|ref=T09}}
* [新井97] {{Cite book|author=新井朝雄|title=ヒルベルト空間と量子力学|series=共立講座２１正規の数学１６|date=1997/1/25|year=|publisher=[[共立出版]]|ref=新井}}
{{DEFAULTSORT:しゆうりゆうし}}
[[Category:運動 (物理学)]]
[[Category:古典力学]]
[[Category:量子力学]]